Giải SBT Toán 10 Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ có đáp án

a) Ta có:

Trục lớn 2a = 12 ⇒ a = 6;

Trục bé 2b = 8 ⇒ b = 4.

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$ .

b) Ta có:

Tiêu cự 2c = 18 ⇒ c = 9.

Trục thực 2a = 14 ⇒ a = 7.

Mặt khác, ta có: b$^{2}$ = c$^{2}$ – a$^{2}$ = 9$^{2}$ – 7$^{2}$ = 32.

Vậy phương trình chính tắc của Hypebol là: $\frac{{x}^{2}}{49}-\frac{{y}^{2}}{32}=1$.

c) Parabol có tiêu điểm F(5; 0) nên ta có $\frac{p}{2}=5$ suy ra p = 10.

Vậy Parabol có phương trình y$^{2}$ = 20x.

a) $({C}_{1}):7{x}^{2}+13{y}^{2}=1$

$\Leftrightarrow \frac{{x}^{2}}{\frac{1}{7}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{13}}=1$

Đây là phương trình chính tắc của Elip:

Ta có $a=\frac{\sqrt{7}}{7};b=\frac{\sqrt{13}}{13}$ và c = $\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{\frac{1}{7}-\frac{1}{13}}=\frac{\sqrt{546}}{91}$ .

Các tiêu điểm ${F}_{1}(-\frac{\sqrt{546}}{91};0);{F}_{2}(\frac{\sqrt{546}}{91};0)$ .

b) (C$_{2}$): 25x$^{2}$ – 9y$^{2}$ = 225

$\Leftrightarrow \frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{25}=1$

$\Leftrightarrow \frac{{x}^{2}}{{3}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{5}^{2}}=1$

Đây là phương trình chính tắc của Hypebol:

Ta có a = 3; b = 5 và c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ = 3$^{2}$ + 5$^{2}$ = 34.

Các tiêu điểm ${F}_{1}=(-\sqrt{34};0),{F}_{2}(\sqrt{34};0)$.

c) (C$_{3}$): x = 2y$^{2}$

$\Leftrightarrow$ y$^{2}$ = $\frac{1}{2}$x.

Đây là phương trình chính tắc của Parabol.

Ta có 2p = $\frac{1}{2}$ suy ra p = $\frac{1}{4}$

Tiêu điểm $F(\frac{1}{8};0).$

Ta có:

Trục lớn 2a = 1 ⇒ a = 0,5.

Trục bé 2b = 0,6 ⇒ b = 0,3.

Khi đó: c$^{2}$ = a$^{2}$ – b$^{2}$ = 0,5$^{2}$ – 0,3$^{2}$ = 0,16

$\Rightarrow$ c = 0,4 m = 40 cm

Các tiêu điểm F$_{1}$(- 40, 0), F$_{2}$(40; 0)

Độ dài vòng dây là: MF$_{1}$ + MF$_{2}$ + F$_{1}$F$_{2}$ = 2a + 2c = 2.0,5 + 2. 0,4 = 1,8 m.

Vậy hai cái đinh để cách mép phải và mép trái của tấm ván ép 10 cm. Lấy vòng dây có độ dài 1,8 m = 180 cm.

a) Ta có a = 120; b = 100.

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{{x}^{2}}{14400}+\frac{{y}^{2}}{10000}=1$.

b)

Giả sử thang có hình Elip như hình vẽ

Gọi F là điểm cách chân khung 20 cm.

⇒ OF = 120 – 20 = 100 cm.

Suy ra độ dài đoạn FE là khoảng cách cần tìm.

Vậy toạ độ của E(100; y); (y > 0)

Vì E thuộc Elip nên ta có $\frac{{100}^{2}}{14400}+\frac{{y}^{2}}{10000}=1\Leftrightarrow$ y$^{2}$ = $\frac{27500}{9}$

$\Rightarrow y=\frac{50\sqrt{11}}{3}$

Vậy $E(100;\frac{50\sqrt{11}}{3})$

Ta có khoảng cách thẳng đứng từ điểm cách chân khung 20 cm đến khung thép là $\frac{50\sqrt{11}}{3}\approx$ 55 cm.

Gọi bán kính nóc tháp là r, đáy tháp là R

Vì khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng $\frac{1}{2}$ khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy nên ta có khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối là 40 m, khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy là 80 m.

Do điểm M(r, 40) và điểm N(R; - 80) thuộc hypebol nên ta có:

$\frac{{r}^{2}}{{30}^{2}}-\frac{{40}^{2}}{{50}^{2}}=1\Rightarrow r=30\sqrt{1+\frac{{40}^{2}}{{50}^{2}}}=6\sqrt{41}\approx$ 38 m

$\frac{{R}^{2}}{{30}^{2}}-\frac{{(-80)}^{2}}{{50}^{2}}=1\Rightarrow R=30\sqrt{1+\frac{{(-80)}^{2}}{{50}^{2}}}=6\sqrt{89}\approx 57$ m

Vậy bán kính nóc tháp là 38 m; bán kính đáy tháp là 57 m.

Ta chọn hệ quy chiếu như hình vẽ.

Parabol có phương trình y$^{2}$ = 2px (p > 0).

Thay toạ độ điểm M(40; 60) vào phương trình ta được

60$^{2}$ = 2.p.40 $\Rightarrow$ p = 45

Vậy phương trình chính tắc của Parabol là: y$^{2}$ = 90x

Vì thanh cách điểm giữa cầu là 20 m nên ta có điểm N(x; 20) thuộc Parabol nên ta có: 20$^{2}$ = 90.x $\Rightarrow x=4{,}4$

Vậy thanh có độ dài 8 + 4,4 = 12,4 m.