Giải SBT Toán 10 Bài 3. Tổ hợp có đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là B

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.

Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó.

Vậy ta chọn phương án B.

Lời giải

Đáp án đúng là B

Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n.

Ta có $C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}} = C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}$.

Do đó phương án A, D đúng.

Theo tính chất của các số $C_n^k$, ta có $C_n^k = C_n^{n - k}$.

Do đó phương án B đúng.

Suy ra phương án C sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Lời giải

Mỗi đoạn thẳng tương ứng với một cặp điểm (không tính thứ tự) chọn trong 10 điểm phân biệt đã cho.

Mỗi cách chọn 2 trong 10 điểm phân biệt là một tổ hợp chập 2 của 10.

Số cách chọn 2 trong 10 điểm phân biệt là: $C_{10}^2 = 45$ (cách chọn).

Vậy có 45 đoạn thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải

Số đoạn thẳng có 2 đầu mút là 2 trong n điểm đã cho là: $C_n^2 = \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}$.

Theo đề, ta có số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong n điểm đã cho bằng 78.

Tức là, $\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 78$.

Suy ra $\frac{{\left( {n - 2} \right)!.\left( {n - 1} \right).n}}{{2.\left( {n - 2} \right)!}} = 78$.

Khi đó $\frac{{\left( {n - 1} \right).n}}{2} = 78$.

Do đó n$^{2}$ – n = 156.

Vì vậy n$^{2}$ – n – 156 = 0.

Suy ra n = 13 hoặc n = –12.

Vì n > 1 nên ta nhận n = 13.

Vậy n = 13 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải

Đa giác lồi có 12 đỉnh thì có 12 cạnh.

Số cách chọn 2 đỉnh trong 12 đỉnh là một tổ hợp chập 2 của 12.

Suy ra số cách chọn 2 đỉnh trong 12 đỉnh là: $C_{12}^2$ (cách chọn).

Vậy số đường chéo cần tìm là $C_{12}^2 - 12 = 54$.

Lời giải

Số đường chéo của đa giác lồi n đỉnh là một cặp đỉnh (không tính n cạnh) được chọn trong n đỉnh của đa giác lồi nên ta có $C_n^2 - n = \frac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} - n$.

Theo đề, ta có số đường chéo của đa giác đó là 170.

Tức là, $\frac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} - n = 170$.

Suy ra $\frac{{\left( {n - 2} \right)!.\left( {n - 1} \right).n}}{{2.\left( {n - 2} \right)!}} - n = 170$.

Khi đó (n – 1).n – 2n = 340.

Vì vậy n$^{2}$ – 3n – 340 = 0.

Suy ra n = 20 hoặc n = –17.

Vì n > 3 nên ta nhận n = 20.

Vậy n = 20 là giá trị cần tìm.

Lời giải

Cửa hàng đó có tất cả 20 + 15 = 35 (chiếc ghế).

Mỗi cách chọn 2 chiếc ghế trong tổng số 35 chiếc là một tổ hợp chập 2 của 35.

Vậy số cách chọn 2 chiếc ghế loại A trong tổng số 35 chiếc ghế là: $C_{35}^2 = 595$.

Lời giải

Ta có $kC_n^k = k.\frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}$

$= \frac{{k.n!}}{{k.\left( {k - 1} \right)!.\left( {n - k} \right)!}}$

$= \frac{{n.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {k - 1} \right)!.\left[ {\left( {n - 1} \right) - \left( {k - 1} \right)} \right]!}}$

$= nC_{n - 1}^{k - 1}$.

Vậy $kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}$ với 1 ≤ k ≤ n.

Lời giải

Ta có $\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{k + 1}}.\frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}$

$= \frac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left( {n - k} \right)!}}$

$= \frac{1}{{n + 1}}.\frac{{\left( {n + 1} \right).n!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left[ {\left( {n + 1} \right) - \left( {k + 1} \right)} \right]!}}$

$= \frac{1}{{n + 1}}.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left[ {\left( {n + 1} \right) - \left( {k + 1} \right)} \right]!}}$

$= \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}$.

Vậy $\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}$ với 0 ≤ k ≤ n.