Giải SBT Toán 10 Bài 3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế có đáp án

Lời giải

Áp dụng định lí côsin ta có:

c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ – 2abcosC

mà a = b nên

c$^{2}$ = a$^{2}$ + a$^{2}$ – 2a$^{2}$cosC

c$^{2}$ = 2a$^{2}$ – 2a$^{2}$cosC

c$^{2}$ = 2a$^{2}$ (1 – cosC ).

Lời giải

Tam giác ABC có: $\widehat {\rm{A}}$ + $\widehat {\rm{B}}$ + $\widehat {\rm{C}}$ = 180°.

⇒ $\widehat {\rm{C}}$ = 180° – $\widehat {\rm{A}}$– $\widehat {\rm{B}}$ = 180° – 42° – 63° = 75°.

Vậy $\widehat {\rm{C}}$ = 75°.

Lời giải

Áp dụng định lí côsin ta có:

AB$^{2}$ = BC$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2BC.AC.cos$\widehat {\rm{C}}$

AB$^{2}$ = 10$^{2}$ + 20$^{2}$ – 2.10.20.cos80°

AB = $\sqrt {{{10}^2} + {\rm{ }}{{20}^2}--{\rm{ }}2.10.20.{\rm{cos}}80^\circ }$

AB ≈ 20,75.

Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{sinC}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{sinB}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{sinA}}}}$≈ $\frac{{20{,}75}}{{\sin 80^\circ }}$.

⇒ sinB = AC : $\frac{{20{,}75}}{{\sin 80^\circ }}$ = 20 : $\frac{{20{,}75}}{{\sin 80^\circ }}$ ≈ 0,949 ⇒ $\widehat {\rm{B}}$ ≈ 71°37’.

⇒ sinA = BC : $\frac{{20{,}75}}{{\sin 80^\circ }}$ = 10 : $\frac{{20{,}75}}{{\sin 80^\circ }}$ ≈ 0,475 ⇒ $\widehat {\rm{C}}$ ≈ 28°21’.

Vậy $\widehat {\rm{B}}$ ≈ 71°37’ và $\widehat {\rm{C}}$ ≈ 28°21’.

Lời giải

Theo định lí côsin ta có: AB$^{2}$ = BC$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2BC.AC.cos$\widehat {\rm{C}}$

⇒ cos$\widehat {\rm{C}}$ = $\frac{{{\rm{B}}{{\rm{C}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{B}}^2}}}{{2.{\rm{BC}}.{\rm{AC}}}}$ = $\frac{{{{30}^2} + {{25}^2} - {{15}^2}}}{{2.30.25}}$ = $\frac{{13}}{{15}}$ ⇒ $\widehat {\rm{C}}$ ≈ 29°55’.

Tương tự như trên, ta có:

cos$\widehat {\rm{A}}$ = $\frac{{{\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} - {\rm{BC}}{^2}}}{{2.{\rm{AB}}.{\rm{AC}}}}$= $\frac{{{{15}^2} + {{25}^2} - {{30}^2}}}{{2.15.25}}$ = $\frac{{ - 1}}{{15}}$ ⇒ $\widehat {\rm{A}}$ ≈ 93°49’.

cos$\widehat {\rm{B}}$ = $\frac{{{\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{B}}{{\rm{C}}^2} - {\rm{AC}}{^2}}}{{2.{\rm{AB}}.{\rm{BC}}}}$= $\frac{{{{15}^2} + {{30}^2} - {{25}^2}}}{{2.15.30}}$ = $\frac{5}{9}$ ⇒ $\widehat {\rm{B}}$ ≈ 56°15’.

Lời giải

Đặt d = PQ = 50m; h = AR là chiều cao từ giác kế đến đỉnh tòa nhà.

Ta có: $\widehat {{\rm{RQA}}}$= 79° và $\widehat {{\rm{RPA}}}$= 65°

tan$\widehat {{\rm{RQA}}}$ = $\frac{{{\rm{AR}}}}{{{\rm{QR}}}}$ = $\frac{{\rm{h}}}{{{\rm{QR}}}}$ ⇒ QR = $\frac{{\rm{h}}}{{{\rm{tan}}\widehat {{\rm{RQA}}}}}$ = $\frac{{\rm{h}}}{{{\rm{tan79^\circ }}}}$.

tan$\widehat {{\rm{RPA}}}$ = $\frac{{{\rm{AR}}}}{{{\rm{PR}}}}$ = $\frac{{\rm{h}}}{{{\rm{PR}}}}$ ⇒ PR = $\frac{{\rm{h}}}{{{\rm{tan}}\widehat {{\rm{RPA}}}}}$ = $\frac{{\rm{h}}}{{{\rm{tan65^\circ }}}}$.

Ta có:

PQ = PR – QR = $\frac{{\rm{h}}}{{{\rm{tan65^\circ }}}}$ – $\frac{{\rm{h}}}{{{\rm{tan79^\circ }}}}$ = h $\left( {\frac{1}{{\tan 65^\circ }} - \frac{1}{{\tan 79^\circ }}} \right)$ = 50 (m)

⇒ h ≈ 183,9 (m)

Vậy chiều cao của tòa nhà là AR + RO ≈ 183,9 + 1,4 = 185,3 (m).

Lời giải

Tam giác ABC có: $\widehat {\rm{A}}$ + $\widehat {\rm{B}}$ + $\widehat {\rm{C}}$ = 180°.

⇒ $\widehat {\rm{C}}$ = 180° – $\widehat {\rm{A}}$– $\widehat {\rm{B}}$ = 180° – 80° – 55° = 45°.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{sinC}}}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{sinB}}}}$ ⇒ AC = $\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{sinC}}}}$.sinB = $\frac{{127}}{{\sin 45^\circ }}$.sin55° ≈ 147 (km).

Vậy khoảng cách giữa trạm Cần Thơ và vệ tinh khoảng 147 km.

Lời giải

Gọi điểm O đại diện cho vệ tinh.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OAB:

AB$^{2}$ = OA$^{2}$ + OB$^{2}$ – 2.OA.OB.cos$\widehat {\rm{O}}$

AB$^{2}$ = 360$^{2}$ + 340$^{2}$ – 2.360.340.cos13,2°

AB = $\sqrt {{{360}^2} + {\rm{ }}{{340}^2}--{\rm{ }}2.360.340.{\rm{cos}}13{,}2^\circ }$

AB ≈ 82,87 km.

Vậy khoảng cách giữa hai nóc nhà tòa cao ốc khoảng 82,87 km.

Lời giải

Ta có hình vẽ sau:

AB là đoạn đường mà tàu đi được ban đầu nên AB = 15 km. AC là đoạn tàu đi được sau khi bẻ sang hướng tây bắc 20° nên AC = 12 km và $\widehat {{\rm{CAm}}}$= 20°. BC là khoảng cách từ tàu đến bến cảng.

$\widehat {{\rm{CAm}}}$ và $\widehat {{\rm{CAB}}}$ là hai góc kề bù ⇒ $\widehat {{\rm{CAB}}}$ = 180° – 20° = 160°.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC$^{2}$ = AC$^{2}$ + BC$^{2}$ – 2.AC.BC.cos$\widehat {{\rm{CAB}}}$

BC$^{2}$ = 15$^{2}$ + 12$^{2}$ – 2.12.15.cos20°

BC = $\sqrt {{{15}^2} + {\rm{ }}{{12}^2}--{\rm{ }}2.12.15.{\rm{cos}}20^\circ }$

BC ≈ 26,59 km.

Vậy khoảng cách từ tàu đến bến cảng khoảng 26,59 km.