Giải SBT Toán 10 Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp có đáp án

a) Mỗi đoạn thẳng tương ứng với một tổ hợp chập 2 của 7 điểm.

Số đoạn thẳng bằng ${\text{C}}_{7}^{\text{2}}$ = 21.

b) Mỗi vectơ tương ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 7 điểm.

Số vectơ bằng ${\text{A}}_{7}^{\text{2}}$ = 42.

Mỗi cách chọn 4 trong 6 giống hoa khác nhau và trồng trên 4 mảnh đất khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 6 giống hoa.

Do đó, số cách thực hiện là ${\text{A}}_{6}^{4}\text{=}\frac{6!}{4!}$ = 360.

Có ${\text{C}}_{\text{9}}^{\text{3}}$ cách chọn 3 trong 9 người để lau cửa sổ.

Có ${\text{C}}_{6}^{4}$ cách chọn 4 trong 6 người còn lại để lau sàn.

Có ${\text{C}}_{2}^{2}$ cách chọn 2 người còn lại để lau cầu thang.

Áp dụng quy tắc nhân ta có ${\text{C}}_{\text{9}}^{\text{3}}{\text{.C}}_{6}^{4}{\text{.C}}_{2}^{2}$ = 84.15.1 = 1260 cách phân công.

a) Số cách chọn 4 bạn gồm 2 nam và 2 nữ tham dự một kì thi gồm 2 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 2 nam có ${\text{C}}_{3}^{2}$ cách chọn 2 trong số 3 học sinh nam.

Công đoạn 2: Ứng với 2 bạn nam được chọn, cách chọn 2 bạn nữ là ${\text{C}}_{5}^{2}$ cách chọn 2 trong số 5 học sinh nữ.

Áp dụng quy tắc nhân ta có ${\text{C}}_{3}^{2}{\text{.C}}_{5}^{2}$ = 3.10 = 30 cách chọn 2 nam và 2 nữ.

c) Chia thành 3 phương án: chỉ có A, chỉ có B, có cả A và B.

Phương án 1: Trong 4 học sinh chỉ có A không có B. Sau khi chọn A, ta chọn tiếp 3 trong 6 học sinh còn lại không có B. Có ${\text{C}}_{6}^{3}$ cách chọn.

Phương án 2: Trong 4 học sinh chỉ có B không có A. Sau khi chọn B, ta chọn tiếp 3 trong 6 học sinh còn lại không có A. Có ${\text{C}}_{6}^{3}$ cách chọn.

Phương án 3: Trong 4 học sinh có cả A và B. Sau khi chọn A và B, ta chọn tiếp 2 trong 6 học sinh còn lại. Có ${\text{C}}_{6}^{2}$ = 15 cách chọn.

Áp dụng quy tắc cộng, ta có ${\text{C}}_{6}^{3}{\text{+C}}_{6}^{3}{\text{+C}}_{6}^{2}$ = 20 + 20 + 15 = 55 cách chọn thỏa mãn yêu cầu.

d) Chia thành 3 phương án: có 1 học sinh nam, có 2 học sinh nam, có 3 học sinh nam.

Phương án 1: Trong 4 học sinh có 1 học sinh nam. Có 3 cách chọn 1 trong 3 học sinh nam và ${\text{C}}_{5}^{3}$ cách chọn 3 trong 5 học sinh nữ. Có 3. ${\text{C}}_{5}^{3}$ cách chọn.

Phương án 2: Trong 4 học sinh có 2 học sinh nam. Có ${\text{C}}_{3}^{2}$ cách chọn 2 trong 3 học sinh nam và ${\text{C}}_{5}^{2}$ cách chọn 2 trong 5 học sinh nữ. Có ${\text{C}}_{3}^{2}{\text{.C}}_{5}^{2}$ cách chọn.

Phương án 3: Trong 4 học sinh có 3 học sinh nam. Có 1 cách chọn 3 học sinh nam và 5 cách chọn 1 trong 5 học sinh nữ. Có 5 cách chọn.

Áp dụng quy tắc cộng ta có $3.{\text{C}}_{5}^{3}{\text{+C}}_{3}^{2}{\text{.C}}_{5}^{2}\text{+5}$ = 3.10 + 3.10 + 5 = 65 cách chọn thỏa mãn yêu cầu.

a) Chia thành 3 công đoạn.

Công đoạn 1: Chọn 2 trong 5 chữ số lẻ. Có ${\text{C}}_{5}^{2}$ cách chọn.

Công đoạn 2: Chọn 2 trong 4 chữ số chẵn. Có ${\text{C}}_{4}^{2}$ cách chọn.

Công đoạn 3: Sắp xếp 4 chữ số chọn được. Có 4! cách sắp xếp.

Áp dụng quy tắc nhân ta có ${\text{C}}_{5}^{2}{\text{.C}}_{4}^{2}$.4! = 10.6.24 = 1440 số thoả mãn yêu cầu.

b) Chia làm 2 công đoạn.

Công đoạn 1: Chọn 2 chữ số lẻ và sắp xếp vào hai vị trí hàng nghìn và hàng đơn vị. Có ${\text{A}}_{\text{5}}^{\text{2}}$ cách.

Công đoạn 2: Chọn 2 chữ số chẵn và sắp xếp vào hai vị trí hàng trăm và hàng chục. Có ${\text{A}}_{4}^{\text{2}}$ cách.

Áp dụng quy tắc nhân ta có ${\text{A}}_{\text{5}}^{\text{2}}{\text{.A}}_{4}^{\text{2}}$ = 20.12 = 240 số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chia thành 3 công đoạn.

Công đoạn 1: Sắp xếp 4 tiết mục ca nhạc vào 4 vị trí 1, 2, 5, 8. Có 4! cách xếp.

Công đoạn 2: Sắp xếp 2 tiết mục múa vào 2 vị trí 3, 6. Có 2! cách xếp.

Công đoạn 1: Sắp xếp 2 tiết mục hài vào 2 vị trí 4, 7. Có 2! cách xếp.

Áp dụng quy tắc nhân ta có 4!. 2!. 2! = 96 cách xếp khác nhau.