Giải SBT Toán 10 Bài 1. Mệnh đề có đáp án

- Ba câu là mệnh đề:

+ Số 15 là một số nguyên tố.

+ Hình chữ nhật ABCD có AB = CD.

+ Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau.

- Ba câu không là mệnh đề:

+ 2$^{2022}$là số rất lớn.

+ Hôm nay trời đẹp lắm!

+ Bạn đã ăn cơm chưa?

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là mệnh đề $\overline{P}$: “Năm 2020 không là năm nhuận”.

Do 2020 chia hết cho 4 nên năm 2020 là năm nhuận, do đó $\overline{P}$ là mệnh đề sai.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là mệnh đề $\overline{Q}$ : “$\sqrt{2}$ là số vô tỉ”.

Mệnh đề $\overline{Q}$ này là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề R là mệnh đề $\overline{R}$: “Phương trình x$^{2}$ + 1 = 0 không có nghiệm” hoặc “Phương trình x$^{2}$ + 1 = 0 vô nghiệm”.

Ta có: x$^{2}$ ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ, do đó x$^{2}$ + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy phương trình x$^{2}$ + 1 = 0 vô nghiệm hay mệnh đề $\overline{R}$ là mệnh đề đúng.

Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu hai tam giác ABC và DEF bằng nhau thì hai tam giác ABC và DEF đồng dạng”.

Mệnh đề này là mệnh đề đúng.

Do hai tam giác ABC và DEF bằng nhau thì AB = DE, BC = EF, AC = DF.

Suy ra $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=1$.

Nên tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu b$^{2}$ ≥ 4ac thì phương trình ax$^{2}$ + bx + x = 0 vô nghiệm”.

Mệnh đề này là mệnh đề sai.

Vì b$^{2}$ ≥ 4ac nên b$^{2}$ – 4ac ≥ 0.

Khi đó: ∆ = b$^{2}$ – 4ac ≥ 0 nên phương trình ax$^{2}$ + bx + x = 0 có nghiệm.

Mệnh đề có dạng “Nếu P thì Q” thì mệnh đề đảo của nó là mệnh đề “Nếu Q thì P”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu một số chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3” là mệnh đề “Nếu một số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 6”. Mệnh đề này là mệnh đề sai.

Thật vậy, giả sử chọn số 3, ta có 3 chia hết cho 3 nhưng 3 không chia hết cho 6.

Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 60° thì tam giác ABC đều” là mệnh đề “ Nếu tam giác ABC đều thì nó có hai góc bằng 60°”. Mệnh đề này là mệnh đề đúng.

Vì ∆ABC đều nên ba góc của tam giác bằng nhau và bằng 60°, do đó ∆ABC đều thì nó có hai góc bằng 60°.

Ta có khi P đúng thì Q cũng đúng. Do đó, mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng.

Vậy ta có phát biểu: “Với a và b là hai số thực nào đó, a = b là điều kiện đủ để a$^{2}$ = b$^{2}$” (hoặc “a$^{2}$ = b$^{2}$ là điều kiện cần để a = b”).

Ta có khi Q đúng thì P đúng. Do đó, mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề đúng.

Vậy ta có phát biểu: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau là điều kiện cần để nó là hình thang cân” (hoặc “Tứ giác ABCD là hình thang cân là điều kiện đủ để nó có hai đường chéo bằng nhau”).

Ta có khi P đúng thì Q đúng và ngược lại Q đúng thì P cũng đúng. Do đó, P và Q là hai mệnh đề tương đương.

Vậy ta có phát biểu: “Điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông cân là tam giác ABC có hai góc bằng 45°”.

Mệnh đề “Bình phương của mọi số thực đều dương” được viết là: “∀ x ∈ ℝ, x$^{2}$ > 0”.

Mệnh đề này là mệnh đề sai, do tồn tại số thực 0 và 0$^{2}$ = 0.

+ Xét phương trình 2x$^{2}$ + x = 1 ⇔ 2x$^{2}$ + x – 1 = 0.

Phương trình bậc hai này có hai nghiệm là x = – 1 và x = $\frac{1}{2}$ . Nhưng hai nghiệm đều không phải là số tự nhiên. Do đó mệnh đề “∃ x ∈ ℕ, 2x$^{2}$ + x = 1” là mệnh đề sai.

+ Phủ định của ∃ là ∀; phủ định của = là ≠.

Vậy mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là: “∀ x ∈ ℕ, 2x$^{2}$ + x ≠ 1”.

+ Với mọi số thực x, ta có x$^{2}$ – 4x + 5 = x$^{2}$ – 4x + 4 + 1 = (x – 2)$^{2}$ + 1 > 0.

Do đó, x$^{2}$ – 4x + 5 > 0 hay x$^{2}$ + 5 > 4x.

Suy ra mệnh đề “∀ x ∈ ℝ, x$^{2}$ + 5 > 4x” là mệnh đề đúng.

+ Phủ định của ∀ là ∃; phủ định của > là ≤.

Vậy mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là: “∃ x ∈ ℝ, x$^{2}$ + 5 ≤ 4x”.