Giải SBT Toán 10 Bài 1. Hàm số và đồ thị có đáp án

Hướng dẫn giải

Biểu thức $\frac{{4x - 1}}{{\sqrt {2x - 5} }}$ có nghĩa khi 2x – 5 > 0 hay x > $\frac{5}{2}$.

Vậy tập xác định của hàm số là D = $\left( {\frac{5}{2};\,\, + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Biểu thức $\frac{{2 - x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 7} \right)}}$ có nghĩa khi (x + 3)(x – 7) ≠ 0 ⇒ x ≠ – 3 và x ≠ 7.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {– 3; 7}.

Hướng dẫn giải

Hàm số lấy giá trị bằng 1 khi x < 0 nên hàm số xác định với mọi x < 0.

Khi x ≥ 0, hàm số xác định khi và chỉ khi x – 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {3}.

Hướng dẫn giải

+ Vẽ đồ thị hàm số g(x) = x$^{2}$ và giữ lại phần đồ thị ứng với x ≤ 2:

Đồ thị hàm số g(x) = x$^{2}$ là một parabol có đỉnh là gốc tọa độ O, trục đối xứng là trục Oy, đồ thị có bề lõm hướng lên trên, đi qua các điểm (1; 1), (– 1; 1), (2; 4), (– 2; 4).

Ta giữ lại phần đồ thị nằm bên trái đường thẳng x = 2:

+ Vẽ đồ thị hàm số h(x) = x + 2 và giữ lại phần đồ thị ứng với x > 2.

Đồ thị hàm số h(x) = x + 2 là một đường thẳng đi qua hai điểm (0; 2) và (– 2; 0).

Ta giữ lại phần đường thẳng nằm bên phải đường thẳng x = 2.

Ta được đồ thị cần vẽ như hình sau:

Hướng dẫn giải

Với x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ – 3, ta có: |x + 3| – 2 = x + 3 – 2 = x + 1.

Với x + 3 < 0 ⇔ x < – 3, ta có: |x + 3| – 2 = – (x + 3) – 2 = – x – 3 – 2 = – x – 5.

Khi đó ta có: $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge - 3\\ - x - 5\,\,\,\,khi\,\,x < - 3\end{array} \right.$.

Ta vẽ đồ thị hàm số g(x) = x + 1 và giữ lại phần đồ thị ứng với x ≥ – 3: Đồ thị hàm số g(x) = x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm (0; 1) và (– 1; 0).

Ta vẽ đồ thị hàm số h(x) = – x – 5 và giữ lại phần đồ thị ứng với x < – 3: Đồ thị hàm số h(x) = – x – 5 là đường thẳng đi qua hai điểm (– 5; 0) và (– 3; – 2).

Ta được đồ thị của hàm số cần vẽ như hình sau:

Hướng dẫn giải

Từ bảng đã cho ta có thể thấy với mỗi mức đơn giá, đều có duy nhất một giá trị về lượng cầu. Do vậy bảng giá trị cho ở đề bài xác định một hàm số.

Hàm số này có tập xác định D = {10; 20; 40; 70; 90} và có tập giá trị T = {338; 288; 200; 98; 50}.

Hướng dẫn giải

Ta có hàm cung: $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{50}}$.

Với x = 10 thì $y = f\left( {10} \right) = \frac{{{{10}^2}}}{{50}} = 2$;

Với x = 20 thì $y = f\left( {20} \right) = \frac{{{{20}^2}}}{{50}} = 8$;

Với x = 40 thì $y = f\left( {40} \right) = \frac{{{{40}^2}}}{{50}} = 32$;

Với x = 70 thì $y = f\left( {70} \right) = \frac{{{{70}^2}}}{{50}} = 98$;

Với x = 90 thì $y = f\left( {90} \right) = \frac{{{{90}^2}}}{{50}} = 162$;

Vậy ta điền được bảng sau:

Hướng dẫn giải

Từ hai bảng giá trị của lượng cung và lượng cầu, ta tìm được giá trị x = 70 thì lượng cung và lượng cầu đều bằng 98.

Vậy thị trường của sản phẩm A cân bằng khi đơn giá của sản phẩm A là 70 000 (đồng).

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là: D = ℝ \ {– 5}.

+ Xét khoảng (– ∞; – 5):

Lấy hai số x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý thuộc (– ∞; – 5) sao cho x$_{1}$ < x$_{2}$.

Ta có: $f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{ - {x_1} - 5}} - \frac{1}{{ - {x_2} - 5}}$$= \frac{{ - {x_2} - 5 - \left( { - {x_1} - 5} \right)}}{{\left( { - {x_1} - 5} \right)\left( { - {x_2} - 5} \right)}}$$= \frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\left( {{x_1} + 5} \right)\left( {{x_2} + 5} \right)}}$.

Vì x$_{1}$, x$_{2}$ ∈ (– ∞; – 5) nên x$_{1}$ + 5 < 0 và x$_{2}$ + 5 < 0.

Lại có: x$_{1}$ < x$_{2}$ nên x$_{1}$ – x$_{2}$ < 0.

Do đó, f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) $= \frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\left( {{x_1} + 5} \right)\left( {{x_2} + 5} \right)}}$ < 0 hay f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; – 5). (1)

+ Xét khoảng (– 5; + ∞):

Lấy hai số x$_{3}$, x$_{4}$ tùy ý thuộc (– 5; + ∞) sao cho x$_{3}$ < x$_{4}$.

Ta có: $f\left( {{x_3}} \right) - f\left( {{x_4}} \right) = \frac{1}{{ - {x_3} - 5}} - \frac{1}{{ - {x_4} - 5}}$$= \frac{{ - {x_4} - 5 - \left( { - {x_3} - 5} \right)}}{{\left( { - {x_3} - 5} \right)\left( { - {x_4} - 5} \right)}}$$= \frac{{{x_3} - {x_4}}}{{\left( {{x_3} + 5} \right)\left( {{x_4} + 5} \right)}}$.

Vì x$_{3}$, x$_{4}$ ∈ (– 5; + ∞) nên x$_{3}$ + 5 > 0 và x$_{4}$ + 5 > 0.

Lại có: x$_{3}$ < x$_{4}$ nên x$_{3}$ – x$_{4}$ < 0.

Do đó, f(x$_{3}$) – f(x$_{4}$) $= \frac{{{x_3} - {x_4}}}{{\left( {{x_3} + 5} \right)\left( {{x_4} + 5} \right)}}$ < 0 hay f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (– 5; + ∞). (2)

Từ (1) và (2) suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (– ∞; – 5) và (– 5; + ∞).

Hướng dẫn giải

Với 3x – 1 ≥ 0 hay x ≥ $\frac{1}{3}$, ta có: |3x – 1| = 3x – 1.

Với 3x – 1 < 0 hay x < $\frac{1}{3}$, ta có: |3x – 1| = – (3x – 1) = – 3x + 1.

Khi đó ta có: $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - 1\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge \frac{1}{3}\\ - 3x + 1\,\,\,khi\,x < \frac{1}{3}\end{array} \right.$.

Ta xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x) = 3x – 1 trên khoảng $\left( {\frac{1}{3};\, + \infty } \right)$ và của hàm số h(x) = – 3x + 1 trên khoảng $\left( { - \infty ;\,\,\frac{1}{3}} \right)$.

+ Lấy hai số x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý thuộc khoảng $\left( {\frac{1}{3};\, + \infty } \right)$ sao cho x$_{1}$ < x$_{2}$:

Ta có: f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) = (3x$_{1}$ – 1) – (3x$_{2}$ – 1) = 3(x$_{1}$ – x$_{2}$) < 0 (do x$_{1}$ < x$_{2}$ nên x$_{1}$ – x$_{2}$ < 0).

Suy ra f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$).

Vậy hàm số g(x) đồng biến trên $\left( {\frac{1}{3};\, + \infty } \right)$ hay f(x) đồng biến trên $\left( {\frac{1}{3};\, + \infty } \right)$. (1)

+ Lấy hai số x$_{3}$, x$_{4}$ tùy ý thuộc khoảng $\left( { - \infty ;\,\,\frac{1}{3}} \right)$ sao cho x$_{3}$ < x$_{4}$:

Ta có: f(x$_{3}$) – f(x$_{4}$) = (– 3x$_{3}$ + 1) – (– 3x$_{4}$ + 1) = 3(x$_{4}$ – x$_{3}$) > 0 (do x$_{3}$ < x$_{4}$ nên x$_{4}$ – x$_{3}$ > 0).

Suy ra f(x$_{3}$) > f(x$_{4}$).

Vậy hàm số h(x) nghịch biến trên $\left( { - \infty ;\,\,\frac{1}{3}} \right)$ hay f(x) nghịch biến khoảng $\left( { - \infty ;\,\,\frac{1}{3}} \right)$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;\,\,\frac{1}{3}} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {\frac{1}{3};\, + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Quan sát Hình 3 ta thấy:

- Đồ thị hàm số có dạng đi lên từ điểm có tọa độ (– 1; 1) đến điểm có tọa độ (1; 4) nên hàm số đồng biến trên khoảng (– 1; 1);

- Đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ điểm có tọa độ (1; 4) đến điểm có tọa độ (5; – 2) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 5);

- Đồ thị hàm số có dạng đi lên từ điểm có tọa độ (5; – 2) đến điểm có tọa độ (9; 6) nên hàm số đồng biến trên khoảng (5; 9).

Vậy hàm số có đồ thị như Hình 3 đồng biến trên các khoảng (– 1; 1) và (5; 9), nghịch biến trên khoảng (1; 5).

Hướng dẫn giải

Ta vẽ đồ thị hàm số g(x) = – x + 1 trên khoảng (– ∞; – 1), đồ thị hàm số h(x) = 1 trên nửa khoảng [– 1; 1), đồ thị hàm số k(x) = x$^{2}$ trên nửa khoảng [1; + ∞).

Khi đó ta có đồ thị hàm số f(x) như sau:

Hướng dẫn giải

Hai đường biểu diễn ở Hình b và Hình c không phải là đồ thị hàm số vì ứng với một giá trị của x, có đến hai (hay nhiều) giá trị khác nhau của y (quan sát trên hình sau).