Giải chuyên đề Toán 12 CTST Bài 2. Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức có đáp án

Khi trạm điều khiển thu được tín hiệu vô tuyến thì số tín hiệu vô tuyến của thuyền trưởng Vinh được thu bởi trạm điều khiển là 1.

Khi trạm điều khiển không thu được tín hiệu vô tuyến thì số tín hiệu vô tuyến của thuyền trưởng Vinh được thu bởi trạm điều khiển là 0.

Tập các giá trị của X là {0; 1}.

Xác suất để trạm điều khiển không thu được tín hiệu vô tuyến là 1 – 0,8 = 0,2.

Ta có bảng phân bố xác suất của X là:

Kì vọng của X là:

E(X) = 0 . 0,2 + 1 . 0,8 = 0,8.

Phương sai của X là:

V(X) = 02 . 0,2 + 12 . 0,8 = 0,8.

X nhận hai giá trị là: 0; 1.

Chỉ có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố “X = 1” trong tổng số 6 kết quả xảy ra nên

Vậy X có phân bố Bernoulli với tham số

Phương sai của X là:

Độ lệch chuẩn của X là:

Y nhận hai giá trị là: 0; 1.

Vì có 7 kết quả thuận lợi cho biến cố “Y bằng 1” trong tổng số 36 kết quả nên

Vậy Y có phân bố Bernoulli với tham số

Phương sai của Y là:

Độ lệch chuẩn của Y là:

Z nhận hai giá trị là: 0; 1.

Vì có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố “Z bằng 1” trong tổng số 6 kết quả nên

Vậy Z có phân bố Bernoulli với tham số

Phương sai của Z là:

Độ lệch chuẩn của Z là:

Gọi T là phép thử “Gieo ngẫu nhiên một hạt giống”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại 100 lần một cách độc lập. Gọi A là biến cố “Hạt giống nảy mầm”. Ta có P(A) = 0,9.

Gọi Ak là biến cố “Có k hạt giống nảy mầm trong 100 hạt giống được gieo”, với k = 0, 1, …, 100. Áp dụng công thức Bernoulli, ta có:

với k = 0, 1, …, 100.

Gọi B là biến cố “Trong 100 hạt giống bác Hoan gieo, có đúng 90 hạt nảy mầm”.

Do đó,

Gọi T là phép thử “Phỏng vấn ngẫu nhiên một người lao động từ khi công nghiệp”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại 10 lần một cách độc lập. Gọi X là biến cố “Người lao động có bằng đại học”. Ta có P(X) = 30% = 0,3.

Gọi Xk là biến cố “Có k người có bằng đại học trong 10 người lao động được phỏng vấn”, với k = 0, 1, …, 10. Áp dụng công thức Bernoulli, ta có:

với k = 0, 1, …, 10.

Do đó,

Ta có

Gọi T là phép thử “Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại 10 000 lần một cách độc lập. Gọi A là biến cố “Bệnh nhân có phản ứng phụ với thuốc M”. Ta có P(A) = 0,08.

Gọi Xk là biến cố “Có k bệnh nhân có phản ứng phụ trong 10 000 bệnh nhân đó”, với k = 0, 1, …, 10 000. Áp dụng công thức Bernoulli, ta có:

với k = 0, 1, 2, …, 10 000.

Kì vọng của X là:

E(X) = 0 . P(X = 0) + 1 . P(X = 1) + … + k . P(X = k) + … + 10 000 . P(X = 10 000)

Gọi T là phép thử “Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại 10 000 lần một cách độc lập. Gọi A là biến cố “Bệnh nhân có phản ứng phụ với thuốc M”. Ta có P(A) = 0,08.

Do phép thử T được thực hiện 10 000 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử đều bằng 0,08 nên X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức B(10 000; 0,08).

Do đó, kì vọng của X là:

E(X) = 10 000 . 0,08 = 800.

Ta có với k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Lần lượt tính P(X = k) với k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 từ công thức trên, ta thu được bảng phân bố xác suất của X như sau:

X	0	1	2	3	4	5
P

Xác suất của biến cố “X lớn hơn 3” là:

Ta có với k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Lần lượt tính P(X = k) với k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 từ công thức trên, ta thu được bảng phân bố xác suất của X như sau:

X	0	1	2	3	4	5
P

Kì vọng của X là:

Phương sai của X là:

Độ lệch chuẩn của X là:

Chú ý: Ta cũng có thể tính kì vọng và phương sai của X như sau:

E(X) = np = 5 . 0,2 = 1 và V(X) = np(1 – p) = 5 . 0,2 . (1 – 0,2) = 0,8.

Do đó độ lệch chuẩn của X là:

Gọi T là phép thử “Lắp ngẫu nhiên một bóng đèn” và A là biến cố “Bóng đèn A hoạt động”. Gọi X là số lần xảy ra biến cố A khi lặp lại 10 lần phép thử T.

Do phép thử T được thực hiện 10 lần một cách độc lập với nhau và xác suất của biến cố A trong mỗi lần thử đều bằng 0,8 nên X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức B(10; 0,8). Do đó:

với k = 0, 1, …, 10.

Do đàn gà sẽ đủ ấm suốt mùa đông nếu có ít nhất 7 bóng đèn hoạt động nên ta có:

P(X ≥ 7) = P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)

≈ 0,201 + 0,302 + 0,268 + 0,107 = 0,878.

Gọi T là phép thử “Lắp ngẫu nhiên một bóng đèn” và A là biến cố “Bóng đèn A hoạt động”. Gọi X là số lần xảy ra biến cố A khi lặp lại 10 lần phép thử T.

Do phép thử T được thực hiện 10 lần một cách độc lập với nhau và xác suất của biến cố A trong mỗi lần thử đều bằng 0,8 nên X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức B(10; 0,8). Do đó:

với k = 0, 1, …, 10.

Theo bài, có một bóng đèn loại rất tốt chắc chắn có thể sử dụng hết cả mùa đông và sẽ sử dụng nó thay thế cho bóng đèn đầu tiên bị hỏng trong 10 bóng đèn ban đầu nên để đàn gà đủ ấm suốt mùa đông nếu có ít nhất 6 bóng đèn hoạt động.

Do đó ta có:

P(X ≥ 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)

≈ 0,088 + 0,201 + 0,302 + 0,268 + 0,107 = 0,966.

Gọi T là phép thử “Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp” và C là biến cố “Số ghi trên thẻ là số chẵn”. Z là số lần xảy ra biến cố C khi lặp 3 lần phép thử T.

Do phép thử T được lặp lại 3 lần độc lập với nhau (vì sau mỗi lần thử, thẻ được trả lại hộp nên không làm ảnh hưởng đến kết quả của các lần thử khác). Và xác suất xảy ra biến cố C trong mỗi lần thử đều bằng nên Z là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức

Gọi T là phép thử “Chọn ngẫu nhiên một người”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại 8 lần một cách độc lập. Gọi A là biến cố “Người đó có nhóm máu O”. Ta có P(A) = 40% = 0,4.

Gọi X là số người có nhóm máu O trong 8 người được chọn.

Do phép thử T được thực hiện 8 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử đều bằng 0,4 nên X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức B(8; 0,4). Do đó:

với k = 0, 1, …, 8.

Xác suất để có đúng 3 người được chọn có nhóm máu O là:

Xác suất để có từ 3 đến 5 người được chọn có nhóm máu O là:

≈ 0,279 + 0,232 + 0,124 = 0,635.

Kì vọng của X là: E(X) = np = 8 . 0,4 = 3,2.

Phương sai của X là: V(X) = np(1 – p) = 8 . 0,4 . (1 – 0,4) = 1,92.

Gọi T là phép thử “Chọn ngẫu nhiên một tài xế”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại 6 lần một cách độc lập. Gọi A là biến cố “Tài xế đó thường xuyên nghe tin tức giao thông trên đài khi lái xe”. Ta có P(A) = 60% = 0,6.

Gọi X là số tài xế thường xuyên nghe tin tức giao thông trên đài khi lái xe.

Do phép thử T được thực hiện 6 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử đều bằng 0,6 nên X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức B(6; 0,6). Do đó:

với k = 0, 1, …, 6.

Xác suất để có đúng 4 tài xế thường xuyên nghe tin tức giao thông trên đài là:

Xác suất để có ít nhất 5 tài xế thường xuyên nghe tin tức giao thông trên đài là:

= 0,186624 + 0,046656 = 0,23328.

Gọi T là phép thử “Vận động viên phát ngẫu nhiên một quả bóng”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại 40 lần một cách độc lập. Gọi A là biến cố “Quả bóng bị phát hỏng”. Ta có P(A) = 15% = 0,15.

Do phép thử T được thực hiện 40 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử đều bằng 0,15 nên X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức B(40; 0,15).

Kì vọng của X là: E(X) = np = 40 . 0,15 = 6.

Phương sai của X là: V(X) = np(1 – p) = 40 . 0,15 . (1 – 0,15) = 5,1.

Gọi T là phép thử “Vận động viên phát ngẫu nhiên một quả bóng”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại 40 lần một cách độc lập. Gọi A là biến cố “Quả bóng bị phát hỏng”. Ta có P(A) = 15% = 0,15.

Do phép thử T được thực hiện 40 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử đều bằng 0,15 nên X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức B(40; 0,15).

Ta có:

(với k = 0, 1, …, 40)

Khi đó: với k = 0, 1, …, 39.

⦁ Trường hợp 1. Nếu P(X = k) > P(X = k + 1) thì ta có:

⇔ 17k + 17 – 120 + 3k > 0 (do 40 – k > 0)

⇔ 20k > 103

Mà k ∈ {0; 1; …; 40} nên k ∈ {6; 7; …; 50}.

Khi đó P(X = 6) > P(X = 7) > … > P(X = 40).

⦁ Trường hợp 2. Nếu P(X = k) < P(X = k + 1) thì tương tự trường hợp 1, ta có: k < 5,15.

Mà k ∈ {0; 1; …; 39} nên k ∈ {0; 1; ..; 5}.

Khi đó P(X = 0) < P(X = 1) < … < P(X = 5).

⦁ Xét

Do đó P(X = 5) < P(X = 6).

Suy ra P(X = 0) < P(X = 1) < … < P(X = 5) < P(X = 6) > P(X = 7) > … > P(X = 40).

Vì vậy, P(X = 6) có giá trị lớn nhất.

Vậy xác suất X nhận giá trị bằng 6 là lớn nhất.