Giải chuyên đề Toán 12 CTST Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc có đáp án

X nhận các giá trị từ tập hợp {0; 1; 4}.

Xác suất X nhận giá trị 0 (khi cả hai đồng xu đều ngửa) là:

Xác suất X nhận giá trị 1 (khi chỉ có một đồng xu sấp) là:

Xác suất X nhận giá trị 4 (khi cả hai đồng xu đều sấp) là:

Vậy xác suất X nhận giá trị bằng 1 là cao nhất.

Không gian mẫu của phép thử là Ω = {(i; j)| i, j ∈ ℕ; 1 ≤ i, j ≤ 4}, trong đó (i; j) là chỉ kết quả số viết trên thẻ thứ nhất và thứ hai lần lượt là i và j.

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ từ hộp là: {(1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 3); (2; 4); (3; 4)}.

Tổng các số viết trên 2 thẻ có thể nhận các giá trị: 3; 4; 5; 6; 7.

Vậy đại lượng tổng các số viết trên 2 thẻ có thể nhận các giá trị trong tập hợp {3; 4; 5; 6; 7}.

Tích các số viết trên 2 thẻ có thể nhận các giá trị: 2; 3; 4; 6; 8; 12.

Vậy đại lượng tích các số viết trên 2 thẻ có thể nhận các giá trị trong tập hợp {2; 3; 4; 6; 8; 12}.

X có thể nhận các giá trị thuộc tập hợp {16; 17; 18}.

Xác suất để X nhận giá trị 16 là:

Xác suất để X nhận giá trị 17 là:

Xác suất để X nhận giá trị 18 là:

Tập hợp các giá trị có thể của X là: {0; 1; 2}.

Xác suất bạn Dung không được thưởng bóng bay là:

P(X = 0) = 1 – P(X = 1) – P(X = 2) = 1 – 0,2 – 0,1 = 0,7.

Vậy ta có bảng phân bố xác suất cho biến ngẫu nhiên rời rạc X như sau:

Trung bình trong mỗi gia đình các bạn lớp 12A có số xe máy là:

X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc và nhận các giá trị trong tập hợp {1; 2; 3}.

Tổng số kết quả có thể xảy ra khi chọn ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp là: n(Ω) = 3.

Do chỉ có 1 tấm thẻ được đánh số 1 nên số kết quả thuận lợi cho biến cố “X bằng 1” là 1. Vậy xác suất của biến cố “X = 1” là:

Tương tự, ta có

Bảng phân bố xác suất của X là:

X	1	2	3
P

Kì vọng của X là:

Y là biến cố ngẫu nhiên rời rạc và nhận các giá trị trong tập hợp {2; 3}.

Tổng số kết quả có thể xảy ra khi chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ từ hộp là: n(Ω) = 3.

Do chỉ có một trường hợp xảy ra mà số lớn hơn trong hai số ghi trên hai thẻ đó là 2 (một thẻ ghi số 1 và một thẻ ghi số 2) nên số kết quả thuận lợi cho biến cố “Y bằng 2” là 1.

Xác suất của biến cố “Y = 2” là:

Tương tự, ta có

Bảng phân bố xác suất của Y là:

Y	2	3
P

Kì vọng của Y là:

Gọi X là số tiền thu về cho một lần chơi.

Vì trong một lần chơi thì số tiền thu về có thể là:

⦁ –1 000 đồng nếu không có quả bóng nào cùng số với hộp;

⦁ 1 000 đồng nếu có đúng một quả bóng cùng số với hộp;

⦁ 5 000 đồng nếu cả ba quả bóng đều cùng số với hộp.

Vậy tập giá trị của X là: {–1 000; 1 000; 5 000}.

Tổng số kết quả có thể xảy ra khi đặt 3 quả bóng vào 3 cái hộp là: n(Ω) = 3! = 6.

– Biến cố “X bằng –1 000” xảy ra khi không có quả bóng nào cùng số với hộp. Số kết quả thuận lợi cho biến cố “X bằng –1 000” là: 2 . 1 . 1 = 2.

Xác suất của biến cố “X bằng –1 000” là:

– Biến cố “X bằng 1 000” xảy ra khi có đúng một quả bóng cùng số với hộp. Số kết quả thuận lợi cho biến cố “X bằng 1 000” là: (1 . 1 . 1) . 3 = 3.

Xác suất của biến cố “X bằng 1 000” là:

– Biến cố “X bằng 5 000” xảy ra khi cả ba quả bóng đều cùng số với hộp. Số kết quả thuận lợi cho biến cố “X bằng 5 000” là: 1.

Xác suất của biến cố “X bằng 5 000” là:

Ta có bảng phân bố xác suất của X là:

X	–1 000	1 000	5 000
P

Kì vọng của X là:

Ta thấy E(X) > 0 nên nếu so sánh về mặt trung bình thì người chơi có lợi hơn.

Kì vọng của X là:

E(X) = (–3) . 0,25 + 2 . 0,5 + 3 . 0,25 = 1.

Kì vọng của Y là:

E(Y) = (–200) . 0,25 + 2 . 0,5 + 200 . 0,25 = 1.

Do đó E(X) = E(Y).

Phương sai của Y là:

V(Y) = (–200)2 . 0,25 + 22 . 0,5 + 2002 . 0,25 – 12 = 20 001.

Ta có bảng phân bố xác suất của X là:

Kì vọng của X là:

E(X) = 20 . 0,3 + 10 . 0,5 + 12 . 0,2 = 13,4.

Phương sai của X là:

V(X) = 202 . 0,3 + 102 . 0,5 + 122 . 0,2 – 13,42 = 19,24.

Gọi X và Y lần lượt là số điểm nhận được của xạ thủ Vinh và Huy khi bắn vào bia.

Xác suất xạ thủ Vinh không bắn trúng hai vòng 9 và 10 là: 1 – 0,4 – 0,3 = 0,3.

Bảng phân bố xác suất của X là:

Xác suất xạ thủ Huy không bắn trúng hai vòng 9 và 10 là: 1 – 0,6 – 0,2 = 0,2.

Bảng phân bố xác suất của Y là:

Kì vọng của X là:

E(X) = 0 . 0,3 + 1 . 0,4 + 2 . 0,3 = 1.

Kì vọng của Y là:

E(Y) = 0 . 0,2 + 1 . 0,6 + 2 . 0,2 = 1.

Ta thấy E(X) = E(Y) nên hai xạ thủ bắn tốt như nhau.

Phương sai của X là:

V(X) = 02 . 0,3 + 12 . 0,4 + 22 . 0,3 – 12 = 0,6.

Phương sai của Y là:

V(Y) = 02 . 0,2 + 12 . 0,6 + 22 . 0,2 – 12 = 0,4.

Ta thấy V(X) > V(Y) nên xạ thủ Huy bắn ổn định hơn.

⦁ Xác suất của biến cố “Z bằng 0” là: P(Z = 0) = 0,4.

⦁ Biến cố “Z là số âm” xảy ra khi Z = –2 hoặc Z = –1.

Xác suất của biến cố “Z là số âm” là:

P(Z < 0) = P(Z = –2) + P(Z = –1) = 0,1 + 0,2 = 0,3.

Ta có bảng phân số xác suất của X là:

Kì vọng của X là:

E(X) = 0 . 0,1 + 1 . 0,1 + 2 . 0,4 + 3 . 0,3 + 4 . 0,1 = 2,2.

Trung bình một ngày có khoảng 2,2 xe được sạc điện ở một cột sạc.

Phương sai của X là:

V(X) = 02 . 0,1 + 12 . 0,1 + 22 . 0,4 + 32 . 0,3 + 42 . 0,1 – 2,22 = 1,16.

Độ lệch chuẩn của Y là:

Tổng số kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ túi là:

Biến cố “Y bằng 0” xảy ra khi cả hai viên đi đều có màu xanh nên số các kết quả thuận lợi cho biến cố “Y bằng 0” là

Xác suất của biến cố “Y bằng 0” là:

Tương tự, ta có:

Ta có bảng phân bố xác suất của Y là:

Y	0	1	2
P

Kì vọng của Y là:

Phương sai của Y là:

Do có 6 trái sầu riêng có cân nặng 2 400 g nên số kết quả thuận lợi cho biến cố “X bằng 2 400” là 6. Xác suất của biến cố “X bằng 2 400” là

Tương tự, ta có

Ta có bảng phân bố xác suất của X là:

Kì vọng của X là:

E(X) = 2 400 . 0,12 + 2 500 . 0,4 + 2 600 . 0,32 + 2 700 . 0,16 = 2 552.

Phương sai của X là:

V(X) = 2 4002 . 0,12 + 2 5002 . 0,4 + 2 6002 . 0,32 + 2 7002 . 0,16 – 2 5522 = 8 096.

Độ lệch chuẩn của X là: