Giải chuyên đề Toán 12 CD Bài 2. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn có đáp án

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Xét hàm số G(x) = 0,025x2(30 – x) với 0 ≤ x ≤ 30.

Ta có: G’(x) = 0,025.[x2(30 – x)]’ = 0,025.(60x – 3x2) = 0,075x(20 – x).

Do đó G’(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 20.

Bảng biến thiên của hàm số:

x	0		20		30
G’(x)		+	0	–
G(x)	0		100		0

Căn cứ bảng biến thiên, ta có tại x = 20.

Vậy liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhanh nhất là 20 mg.

Gọi chiều rộng của đáy hình hộp chữ nhật đó là x (m) (x > 0).

Chiều dài của đáy hình hộp chữ nhật đó là 2x (m).

Chiều cao của hình hộp chữ nhật đó là: (m).

Diện tích đáy hình hộp chữ nhật đó là: x.2x = 2x2 (m2).

Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật đó là: (m2).

Diện tích tôn cần sử dụng là: (m2).

Xét hàm số

Ta có

f’(x) = 0 ⇔ 4x3 – 4 = 0 ⇔ x = 1.

Bảng biến thiên của hàm số:

x	0		1		+∞
f’(x)		–	0	+
f(x)	+∞		6		+∞

Căn cứ bảng biến thiên, ta có tại x = 1.

Vậy chiều rộng của đáy hình hộp chữ nhật là 1 mét để số tôn cần sử dụng là nhỏ nhất.

Đổi 100 000 đồng = 0,1 triệu đồng.

Gọi x là số lần tăng giá phòng (x ∈ ℕ*).

Số tiền tăng giá trong 1 tháng cho mỗi phòng là: 0,1x (triệu đồng).

Khi đó, giá cho thuê của mỗi căn phòng trong 1 tháng là: 2 + 0,1x (triệu đồng) và số phòng cho thuê được là: 50 – 2x.

Tổng số tiền thu được là: (2 + 0,1x)(50 – 2x) = 100 + x – 0,2x2 (triệu đồng).

Xét hàm số f(x) = 100 + x – 0,2x2, với 1 ≤ x ≤ 25.

Ta có: f’(x) = 1 – 0,4x.

f’(x) = 0 ⇔ x = 2,5.

Bảng biến thiên của hàm số:

x	1		2,5		25
f’(x)		+	0	–
f(x)	100,8		101,25		0

Căn cứ bảng biến thiên, ta có tại x = 2,5.

Vậy công ty phải cho thuê mỗi căn phòng với giá là 2 + 0,1.2,5 = 2,25 triệu đồng để tổng số tiền thu được là lớn nhất.

Cạnh đáy hình vuông của chiếc hộp không nắp là: 60 – 2x (cm).

Khi đó ta có: 60 – 2x < 37 hay x > 11,5.

Chiều cao của chiếc hộp không nắp là: x (cm). Khi đó ta có x < 28.

Diện tích đáy của chiếc hộp không nắp là: (60 – 2x)2 (cm2).

Thể tích của chiếc hộp không nắp là:

x.(60 – x)2 = x(3 600 – 240x + 4x2) = 3 600x – 240x2 + 4x3 (cm3).

Xét hàm số f(x) = 3 600x – 240x2 + 4x3 với 11,5 < x < 28.

Ta có f’(x) = 3 600 – 480x + 12x2.

Do đó f’(x) = 0 ⇔ x = 10 (thỏa mãn) hoặc x = 30 (không thỏa mãn).

Bảng biến thiên của hàm số:

x	11,5		10		28
f’(x)		+	0	–
f(x)	15 743,5		16 000		448

Căn cứ bảng biến thiên, ta có tại x = 10 (thỏa mãn điều kiện x là số nguyên dương).

Vậy để làm được cái hộp đựng đồ có thể tích lớn nhất thì x = 10.

Cách 1. Để góc quan sát BOC là lớn nhất thì là nhỏ nhất.

Giả sử AO = x (m) (x > 0).

Suy ra và

Ta có:

Xét hàm số

Ta có

Do đó f’(x) = 0 ⇔ 1,96x3 – 11,2896x = 0 ⇔ x = 2,4 (vì x > 0).

Bảng biến thiên của hàm số:

x	0		2,4		+∞
f’(x)		–	0	+
f(x)	+∞		0,96		+∞

Căn cứ bảng biến thiên, ta có tại x = 2,4.

Vậy để góc quan sát BOC là lớn nhất thì khoảng cách AO là 2,4 mét.

Cách 2. Để góc quan sát BOC là lớn nhất thì là lớn nhất.

Giả sử AO = x (m) (x > 0).

Ta có

Xét hàm số

Ta có:

Do đó f’(x) = 0 ⇔ x = 2,4 (do x > 0).

Bảng biến thiên của hàm số:

x	0		2,4		+∞
f’(x)		–	0	+
f(x)	+∞				+∞

Căn cứ bảng biến thiên, ta có tại x = 2,4.

Vậy để góc quan sát BOC là lớn nhất thì khoảng cách AO là 2,4 mét.

Khối lượng cá thu hoạch được sau một vụ là:

n.P(n) = n.(480 – 20n) = 480n – 20n2 (gam).

Xét hàm số f(n) = 480n – 20n2 với 0 < n < 24.

Ta có: f’(n) = 480 – 40n.

Do đó f’(n) = 0 ⇔ n = 12.

Bảng biến thiên của hàm số:

n	0		12		24
f’(n)		+	0	–
f(n)	0		2 880		0

Căn cứ bảng biến thiên, ta có tại n = 12.

Vậy phải thả 12 con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất.

Vận tốc của con cá hồi khi bơi ngược dòng là: v – 6 (km/h).

Thời gian để con cá hồi đó khi bơi ngược dòng 300 km là: (giờ).

Năng lượng tiêu hao của cá để vượt quãng đường 300 km là:

(jun).

Xét hàm số

Ta có

Do đó E’(v) = 0 ⇔ v = 0 (không thỏa mãn) hoặc v = 9 (thỏa mãn do v > 0).

Bảng biến thiên của hàm số:

v	6		9		+∞
E’(v)		–	0	+
E(v)	+∞		72 900		+∞

Căn cứ bảng biến thiên, ta có tại v = 9.

Vậy vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất là 9 km/h.

Doanh thu một ngày của nhà máy sản xuất là: P(x) = 120x (€), x ∈ [0; 130].

Lợi nhuận một ngày của nhà máy là:

G(x) = P(x) – K(x) = 120x – (0,02x3 – 3x2 + 172x + 2 400)

= –0,02x3 + 3x2 – 52x – 2 400 (€).

Vẽ đồ thị hàm số G(x) trên đoạn [0; 130]:

⦁ Ta có G’(x) = –0,06x2 + 6x – 52.

G’(x) = 0 ⇔ x ≈ 9,6 hoặc x ≈ 90,4.

Bảng biến thiên:

x	0		9,6		90,4		130
G’(x)		–	0	+	0	–
G(x)	–2 400		–2 640,4		2 640,4		–2 400

Hàm số nghịch biến trên [0; 9,6) và (90,4; 130]; đồng biến trên khoảng (9,6; 90,4).

⦁ Trên đoạn [0; 130], đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm (50; 0) và (120; 0); đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; –2 400).

Vậy đồ thị hàm số G(x) trên đoạn [0; 130] được cho như hình dưới đây:

Để nhà máy có lãi thì G(x) > 0.

Từ đồ thị hàm số ở câu a, ta có G(x) > 0 ⇔ x ∈ (50; 120).

Mà số lượng xe là số tự nhiên nên x ∈ ℕ, do đó x ∈ [51; 119].

Vậy mỗi ngày nhà máy cần sản xuất từ 51 đến 119 chiếc xe để có lãi.

Từ bảng biến thiên của hàm số G(x) ở câu a, ta có G(x) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x ≈ 90,4.

Ta có G(90) = 2 640 và G(91) = 2 639,58 nên G(90) > G(91).

Vậy để nhà máy có lợi nhuận lớn nhất thì mỗi ngày cần sản xuất 90 chiếc xe.

Chi phí mỗi ngày của nhà máy khi sản xuất 130 chiếc xe là:

K(130) = 0,02.1303 – 3.1302 + 172.130 + 2 400 = 18 000 (€).

Gọi y là đơn giá nhà máy bán ra thị trường, khi đó doanh thu nhà máy thu được là:

P(y) = 130y (€).

Lợi nhuận nhà máy thu được là: G(y) = P(y) – K(130) = 130y – 18 000 (€).

Để nhà máy có lãi thì G(y) > 0 ⇔ 130y – 18 000 > 0 ⇔ x > ≈ 138, 46.

Vậy để nhà máy có lãi thì cần chọn đơn giá lớn hơn 138,46 euro.

Chi phí cho các công việc hành chính chung trong một ngày của nhà máy cho mỗi sản phẩm là: (USD).

Các loại chi phí khác trong một ngày của nhà máy cho mỗi sản phẩm là: (USD).

Tổng chi phí cho mỗi một sản phẩm là: (USD).

Xét hàm số trên [1; +∞).

Ta có:

Do đó (do x > 0).

Bảng biến thiên của hàm số:

x	1		948,7		+∞
U’(x)		–	0	+
U(x)	90,0901		0,280		+∞

Căn cứ bảng biến thiên, ta có tại x ≈ 948,7.

Ta có U(948) ≈ 0,2797367089 và U(949) ≈ 0,2797366702 nên U(948) > U(947).

Vậy x = 947 thì U(x) nhận giá trị nhỏ nhất.

Xét hàm số với k1 > k2 > 0 và t ∈ (0; +∞).

Ta có

Do đó

Đặt

Bảng biến thiên của hàm số:

t	0				+∞
V’(t)		+	0	–
V(t)	0		V(t0)		0

Căn cứ bảng biến thiên, ta có tại

Vậy lượng khí CO2 thoát ra trong phản ứng đó có giá trị lớn nhất là (mililít).

Chiều cao h của hộp đựng nước có dạng hình trụ là: (cm).

Diện tích mặt đáy của hộp đựng nước là: Sđáy = πr2 (cm2).

Diện tích xung quanh của hộp đựng nước là:

(cm2).

Diện tích vỏ hộp (diện tích toàn phần tất cả các mặt của hộp) là:

Xét hàm số r ∈ (0; +∞).

Ta có

Do đó

Bảng biến thiên của hàm số:

r	0				+∞
S’(r)		–	0	+
S(r)	+∞		348,73		+∞

Căn cứ bảng biến thiên, ta có tại

Vậy để diện tích vỏ hộp là nhỏ nhất thì bán kính của chiếc hộp là và chiều cao của chiếc hộp là

Khi sợi dây kim loại cố định thì d và P là các hằng số.

Khi đó, ta có hàm số:

với a > 0.

Ta có:

Do đó S’(a) = 0 ⇔ 4a2 – 8a + 1 = 0

hoặc

Bảng biến thiên của hàm số:

a	0						+∞
S’(a)		+	0	–	0	+
S(a)							+∞

Căn cứ bảng biến thiên, ta có tại hay suy ra

Vậy ta phải cuộn sợi dây kim loại đó thành lò xo với đường kính để ứng xuất S là nhỏ nhất.

Với d > 0 ta có:

Đặt ta có hàm số:

Ta có

Do đó S’(a) = 0 ⇔ 12a4 – 13,08a3 – 6,84a2 + 4,92a = 0

⇔ a ≈ 1,285 hoặc a ≈ 0,476 (do a > 0).

Bảng biến thiên của hàm số:

a	0		0,476		1,285		+∞
S’(a)		+	0	–	0	+
S(a)	0		S(0,476)		S(1,285)		+∞

Căn cứ bảng biến thiên, ta có tại a ≈ 1,285 hay suy ra

Vậy ta phải chọn loại dây kim loại với đường kính để ứng xuất S là nhỏ nhất.