Giải chuyên đề Toán 12 CD Bài 2: Phân bố bernoulli. Phân bố nhị thức có đáp án

Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X là

Xác suất để An chọn được phương án đúng là .

Xác suất để An chọn phương án sai là .

Bảng phân bố của biến ngẫu nhiên rời rạc X là

X	0	1
P

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố Bernoulli.

Khi tung một đồng xu đồng cân đối và đồng chất một lần thì kết quả đồng xu có thể xuất hiện mặt sấp (S) hoặc đồng xu xuất hiện mặt ngửa (N).

Ta có n(W) = {S; N}.

Có 4 kết quả có thể xảy ra:

+) Mặt sấp (S) xuất hiện ở cả hai lần tung.

+) Lần thứ nhất xuất hiện mặt sấp (S), lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa (N).

+) Lần thứ nhất xuất hiện mặt ngửa (N), lần thứ hai xuất hiện mặt sấp (S).

+) Mặt ngửa (N) xuất hiện ở cả hai lần tung.

Ta có W1 = {SS, SN, NS, NN}.

Khi tung 1 đồng xu cân đối và đồng chất. Xác suất xuất hiện mặt sấp là , xác suất xuất hiện mặt ngửa là .

+) A0: “Mặt sấp không xuất hiện trong cả hai lần tung”.

.

+) A1: “Mặt sấp xuất hiện một lần trong cả hai lần tung”.

Xác suất để lần 1 xuất hiện mặt sấp, lần 2 xuất hiện mặt ngửa là: .

Xác suất để lần 1 xuất hiện mặt ngửa, lần 2 xuất hiện mặt sấp là: .

Do đó .

+) A2: “Mặt sấp xuất hiện hai lần trong cả hai lần tung”.

.

+) Với k = 0 thì .

+) Với k = 1 thì .

+) Với k = 2 thì .

Xét phép thử lặp T: “Xét nghiệm một loại bệnh cho 5 người liên tiếp một cách độc lập”.

Áp dụng công thức Bernoulli với p = 0,2 và k = 2, ta có:

.

Xét phép thử lặp T1: “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp một cách độc lập”.

Xác suất xuất hiện mặt ngửa là .

X nhận giá trị trong tập {0; 1; 2}.

Áp dụng công thức Bernoulli, ta có:

,

,

.

Ta có bảng phân bố xác suất của X là:

X	0	1	2
P

Gọi X là số lần xuất hiện mặt 1 chấm trong 10 lần gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất một cách độc lập.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 10 và .

Do đó

.

Gọi X là số người bị bệnh A được bác sĩ chữa khỏi bệnh.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 10 và p = 0,95.

Có 8 người khỏi bệnh tức là X = 8.

Áp dụng công thức Bernoulli, ta có:

.

Vậy xác suất để có 8 người khỏi bệnh khoảng 7,5%.

Có nhiều nhất là 9 người khỏi bệnh tức là X £ 9.

Ta có .

Vậy xác suất để có nhiều nhất 9 người khỏi bệnh khoảng 40,1%.

Gọi X là số lần bắn trúng bia.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 3 và p = 0,7.

Có ít nhất 1 lần bắn trúng bia tức là X ³ 1.

Ta có .

Gọi X là số lần bắn trúng bia.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số n và p = 0,7.

Có .

Vì P(X ³ 1) > 0,9 nên .

Mà n là giá trị bé nhất nên n = 2.

X là số gia đình có ti vi trong 20 gia đình đã chọn ra.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 20 và p = 0,7.

Có đúng 10 gia đình có ti vi tức là X = 10.

Ta có .

Vậy xác suất để có đúng 10 gia đình có ti vi khoảng 3,1%.

X là số gia đình có ti vi trong 20 gia đình đã chọn ra.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 20 và p = 0,7.

Có ít nhất 2 gia đình có ti vi tức là X ³ 2.

Ta có

.

Vậy xác suất để có ít nhất 2 gia đình có ti vi khoảng 99,99%.

Gọi X là số lần xuất hiện mặt 1 chấm.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 10 và .

Mặt 1 chấm xuất hiện đúng 3 lần tức là X = 3.

Ta có .

Vậy xác suất mặt 1 chấm xuất hiện đúng 3 lần trong 10 lần gieo đó là khoảng 15,5%.

Gọi X là số viên bi xanh trong 15 viên bi được chọn ra.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 15 và p = 0,6.

Ta có .

Vậy xác suất để có 10 viên bi xanh trong 15 viên bi được chọn ra khoảng 18,6%.

Gọi Y là số viên bi đỏ trong 15 viên bi được chọn ra.

Y là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 15 và p = 1 − 0,6 = 0,4.

Ta có .

Vậy xác suất để có 7 viên bi đỏ trong 15 viên bi được chọn ra khoảng 17,7%.

Gọi X là số lần quảng cáo thành công trong 12 lần quảng cáo đó.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 12 và .

Ta có

.

Vậy xác suất để có từ 3 đến 5 lần quảng cáo thành công khoảng 64,1%.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

;

;

.

Vậy 4 lần chạy quảng cáo thành công có xác suất lớn nhất và xác suất khoảng 23,8%.

Gọi X là số người hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 20 và p = 0,8.

Ta có .

Vậy xác suất có 15 người hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ khoảng 17,46%.

Gọi Y là số người không hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ.

Y là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 20 và p = 1 − 0,8 = 0,2.

Ta có .

Vậy xác suất có 8 người không hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ khoảng 2,22%.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Vậy 4 người không hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ có xác suất lớn nhất.

Ta đi tính xác suất để mẫu máu hỗn hợp đó không chứa kháng thể X.

Với mỗi mẫu máu thì xác suất để không chứa kháng thể X là 1 – 0,2 = 0,98.

Xác suất để mẫu máu hỗn hợp không chứa kháng thể X là 0,9820.

Vậy xác suất để một mẫu máu hỗn hợp chứa kháng thể X là: 1 – 0,9820 ≈ 0,3324.

Gọi Xi là số lần xét nghiệm ở nhóm thứ i với i Î{1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Ta có E(X1) = E(X2) = … = E(X6)

Vì S = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6.

Vì các nhóm là độc lập với nhau nên

E(S) = E(X1) + E(X2) + E(X3) + E(X4) + E(X5) + E(X6) = 6 E(X1).

TH1: Nếu kết quả của mẫu máu hỗn hợp là âm tính thì chỉ cần 1 lần xét nghiệm.

TH2: Nếu kết quả của mẫu máu hỗn hợp là dương tính thì cần 21 lần xét nghiệm tất cả.

Ta có bảng phân bố xác suất

Do đó E(X1) = 1. 0,9820 + 21. (1 – 0,9820) ≈ 7,65.

V(X1) = 12. 0,9820 + 212. (1 – 0,9820) − 7,652 ≈ 88,73.

Vậy E(S) = 6.7,65 = 45,9.

V(S) = 6.88,73 = 532,38.

Vì E(S) = 45,9 < 48.

Do đó số lần xét nghiệm trung bình cho 120 mẫu máu đó theo cách ghép nhóm trên là nhỏ hơn 48.