Giải chuyên đề Toán 12 CD Bài 1. Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính có đáp án

Gọi x, y lần lượt là số lít nước sinh tố loại thứ nhất và loại thứ hai mà công ty dự định sản xuất.

Tổng số tiền công ty thu được khi bán x lít nước sinh tố loại thứ nhất và y lít nước sinh tố loại thứ hai là: T = 24 000x + 18 000y (đồng).

Số lít nước anh đào có trong x lít nước sinh tố loại thứ nhất và y lít nước sinh tố loại thứ hai là 0,7x + 0,4y (lít).

Số lít nước cam có trong x lít nước sinh tố loại thứ nhất và y lít nước sinh tố loại thứ hai là 0,3x + 0,6y (lít).

Vì lượng nguyên liệu sử dụng không vượt quá lượng dự trữ nên ta có thể viết dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (x, y là các số thực):

hay

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 24 000x + 18 000y khi (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình (I’).

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I’).

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh O(0; 0), A(0; 250), B(40; 230), (hình vẽ).

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức T(x; y) = 24 000x + 18 000y tại các đỉnh của tứ giác này:

T(0; 0) = 0; T(0; 250) = 4 500 000; T(40; 230) = 5 100 000;

Bước 3. Ta đã biết biểu thức T = 24 000x + 18 000y đạt giá trị lớn nhất tại cặp số thực (x; y) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác OABC. So sánh bốn giá trị thu được của T ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là T(40; 230) = 5 100 000.

Bước 4. Vì 40 và 230 đều là số tự nhiên nên cặp số (x; y) = (40; 230) là nghiệm của bài toán (I).

Vậy công ty phải sản xuất 40 lít nước sinh tố loại thứ nhất và 230 lít sinh tố loại thứ hai để tổng số tiền công ty thu được là nhiều nhất.

Số lít nước anh đào có trong x lít nước sinh tố loại thứ nhất và y lít nước sinh tố loại thứ hai là 0,7x + 0,4y (lít).

Số lít nước cam có trong x lít nước sinh tố loại thứ nhất và y lít nước sinh tố loại thứ hai là 0,3x + 0,6y (lít).

Vì lượng nguyên liệu sử dụng không vượt quá lượng dự trữ nên ta có hệ bất phương trình:

Tổng số tiền công ty thu được khi bán x lít nước sinh tố loại thứ nhất và y lít nước sinh tố loại thứ hai là: T = 24 000x + 18 000y (đồng).

Vậy điều kiện ràng buộc đối với x và y sao cho tổng số tiền công ty thu được là nhiều nhất là:

Gọi x và y lần lượt là số chiếc hộp loại I và loại II cần dùng (x ∈ ℕ, y ∈ ℕ).

Tổng số hộp cần dùng là: T = x + y (hộp).

Số kg hàng hóa đựng được là: 2x + 3y (kg).

Do người ta cần đóng 20 kg hàng hóa nên ta có 2x + 3y ≥ 20.

Vậy để số hộp cần dùng là nhỏ nhất thì ta có thể mô hình bài toán như sau:

Gọi x, y lần lượt là số lít nước sinh tố loại thứ nhất và loại thứ hai mà công ty dự định sản xuất.

Tổng số tiền công ty thu được khi bán x lít nước sinh tố loại thứ nhất và y lít nước sinh tố loại thứ hai là: T = 24 000x + 18 000y (đồng).

Số lít nước anh đào có trong x lít nước sinh tố loại thứ nhất và y lít nước sinh tố loại thứ hai là 0,7x + 0,4y (lít).

Số lít nước cam có trong x lít nước sinh tố loại thứ nhất và y lít nước sinh tố loại thứ hai là 0,3x + 0,6y (lít).

Vì lượng nguyên liệu sử dụng không vượt quá lượng dự trữ nên ta có thể viết dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (x, y là các số thực):

hay

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 24 000x + 18 000y khi (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình (I’).

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I’).

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh O(0; 0), A(0; 250), B(40; 230), (hình vẽ).

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức T(x; y) = 24 000x + 18 000y tại các đỉnh của tứ giác này:

T(0; 0) = 0; T(0; 250) = 4 500 000; T(40; 230) = 5 100 000;

Bước 3. Ta đã biết biểu thức T = 24 000x + 18 000y đạt giá trị lớn nhất tại cặp số thực (x; y) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác OABC. So sánh bốn giá trị thu được của T ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là T(40; 230) = 5 100 000.

Bước 4. Vì 40 và 230 đều là số tự nhiên nên cặp số (x; y) = (40; 230) là nghiệm của bài toán (I).

Vậy công ty phải sản xuất 40 lít nước sinh tố loại thứ nhất và 230 lít sinh tố loại thứ hai để tổng số tiền công ty thu được là nhiều nhất.

Gọi x là số xe tải loại thứ nhất và y là số xe tải loại thứ hai cần dùng (x ∈ ℕ, y ∈ ℕ).

Chi phí vận chuyển là: T = 6x + 4y (triệu đồng).

Số tấn hàng hóa A chở được là: 4x + 3y (tấn).

Số tấn hàng hóa B chở được là: 3x + 2y (tấn).

Theo giả thiết, x và y cần thỏa mãn các điều kiện:

x ∈ ℕ, y ∈ ℕ;

4x + 3y ≥ 21;

3x + 2y ≥ 15.

Vì lượng nguyên liệu sử dụng không vượt quá lượng dự trữ nên ta có thể viết dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (x, y là các số thực):

Bài toán đưa về: Tìm x và y là nghiệm của hệ bất phương trình: sao cho T = 6x + 4y có giá trị nhỏ nhất và x ∈ ℕ, y ∈ ℕ.

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).

Miền nghiệm S của hệ bất phương trình (I) là hình phẳng giới hạn bởi tia Ay, các cạnh AB và BC, tia Cx kể cả biên với A(0; 7,5), B(3; 3), C(5,25; 0) (hình vẽ).

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức T(x; y) = 6x + 4y tại các đỉnh của miền nghiệm (S):

T(0; 7,5) = 30; T(3; 3) = 30; T(0; 5,25) = 21.

Bước 3. Ta thừa nhận biểu thức T = 6x + 4y có giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của miền nghiệm (S). So sánh ba giá trị thu được của T ở Bước 2, kết hợp với điều kiện x và y là các số tự nhiên, ta được giá trị nhỏ nhất cần tìm là T(3; 3) = 30.

Vậy phải dùng 3 xe tải mỗi loại để chi phí vận chuyển là ít nhất.

Gọi x và y lần lượt là số lượng công nhân làm việc cho ca I và ca II (x ∈ ℕ, y ∈ ℕ).

Số giờ làm ca I là: 15h30 – 7h30 = 8h, số giờ làm ca II là: 22h – 16h = 6h.

Thu nhập tăng thêm là: T = 20.8.x + 25.6.y = 160x + 150y (nghìn đồng).

Số công nhân làm việc ở cả hai ca là: x + y (người).

Vì số công nhân làm việc ở cả hai ca ít nhất là 100 người nên ta có thể viết dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (x, y là các số thực):

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 160x + 150y khi (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình (I’).

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I’).

Miền nghiệm là miền ngũ giác ABCDE với tọa độ các đỉnh A(40; 120), B(120; 120), C(120; 40), D(60; 40), E(40; 60) (hình vẽ).

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức T(x; y) = 160x + 150y tại các đỉnh của ngũ giác ABCDE:

T(40; 120) = 24 400; T(120; 120) = 37 200; T(120; 40) = 25 200;

T(60; 40) = 15 600; T(40; 60) = 15 400.

Bước 3. Ta đã biết biểu thức T = 160x + 150y đạt giá trị nhỏ nhất tại cặp số thực (x; y) là tọa độ một trong các đỉnh của ngũ giác ABCDE. So sánh năm giá trị thu được của T ở Bước 2, ta được giá trị nhỏ nhất cần tìm là T(40; 60) = 15 400.

Bước 4. Vì 40 và 60 đều là số tự nhiên nên cặp số (x; y) = (40; 60) là nghiệm của bài toán (I).

Vậy cần 40 nhân viên làm việc ca I và 60 nhân viên làm việc ca II thì số tiền nhà máy trả cho thu nhập tăng thêm là nhỏ nhất.

Gọi x và y lần lượt là số sản phẩm loại A và loại B người đó cần sơn (x ∈ ℕ, y ∈ ℕ).

Số tiền lãi người đó thu được là: T = 10x + 8y (triệu đồng).

Số kg sơn xanh người đó cần dùng là: 6x + 2y ≤ 12 hay 3x + y ≤ 6;

Số kg sơn vàng người đó cần dùng là: 2x + 2y ≤ 8 hay x + y ≤ 4.

Vì vậy, yêu cầu của người đó có thể viết ở dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (x, y là các số thực):

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 10x + 8y khi (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình (I’).

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I’).

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh O(0; 0), A(0; 4), B(1; 3), C(2; 0) (hình vẽ).

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức T(x; y) = 10x + 8y tại các đỉnh của tứ giác này:

T(0; 0) = 0; T(0; 4) = 32; T(1; 3) = 34; T(2; 0) = 20.

Bước 3. Ta đã biết biểu thức T = 10x + 8y đạt giá trị lớn nhất tại cặp số thực (x; y) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác OABC. So sánh bốn giá trị thu được của T ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là T(1; 3) = 34.

Bước 4. Vì 1 và 3 đều là các số tự nhiên nên cặp số (1; 3) là nghiệm của bài toán (I).

Vậy để số tiền lãi thu được là lớn nhất thì cần sơn 1 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B.

Đổi 40 triệu đồng = 40 000 nghìn đồng.

Gọi x là số chiếc bàn và y là số chiếc tủ cần sản xuất (x ∈ ℕ, y ∈ ℕ).

Số ghế cần sản xuất là: 6x (chiếc).

Tổng doanh thu đạt được là: T = 260.x + 120.6x + 600.y = 980x + 600y (nghìn đồng).

Công lao động để sản xuất các loại sản phẩm trên là:

2x + 1.6x + 3y ≤ 500 hay 8x + 3y ≤ 500.

Chi phí sản xuất các loại sản phẩm trên là:

100x + 40.6x + 250y ≤ 40 000 hay 34x + 25y ≤ 4 000.

Vì vậy, yêu cầu của cơ sở sản xuất có thể viết ở dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (x, y là các số thực):

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 980x + 600y khi (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình (I’).

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I’).

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh O(0; 0), A(0; 160), C(62,5; 0) (hình vẽ).

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức T(x; y) = 980x + 600y tại các đỉnh của tứ giác này:

T(0; 0) = 0; T(0; 160) = 96 000; T(62,5; 0) = 61 250.

Bước 3. Ta đã biết biểu thức T = 980x + 600y đạt giá trị lớn nhất tại cặp số thực (x; y) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác OABC. So sánh bốn giá trị thu được của T ở Bước 2, kết hợp điều kiện x và y là các số tự nhiên, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là T(0; 160) = 96 000.

Vậy chỉ cần sản xuất 160 chiếc tủ để tổng doanh thu đạt được cao nhất.

Gọi bác Dũng cần mua x cổ phiếu A và y cổ phiếu B (x ∈ ℕ, y ∈ ℕ).

Khi đó, số tiền bác Dũng cần chi ra là: 30 000x + 40 000y (đồng).

Vì số tiền bác Dũng đầu tư không quá 1,2 tỉ đồng nên ta có:

30 000x + 40 000y ≤ 1 200 000 000 hay 3x + 4y ≤ 120 000.

Vì số lượng cổ phiếu B được mua không quá 10 000 cổ phiếu nên y ≤ 10 000.

Một cổ phiếu A sẽ nhận được số tiền chi trả cổ tức là: 5% . 30 000 = 1 500 (đồng).

Một cổ phiếu B sẽ nhận được số tiền chi trả cổ tức là: 12% . 40 000 = 4 800 (đồng).

Do đó, bác Dũng nhận được số tiền chi trả cổ tức là: T = 1 500x + 4 800y (đồng).

Vì vậy, yêu cầu của bác Dũng có thể viết ở dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (x, y là các số thực):

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 1 500x + 4 800y khi (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình (I’).

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I’).

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh O(0; 0), A(0; 10 000), C(40 000; 0) (hình vẽ).

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức T(x; y) = 1 500x + 4 800y tại các đỉnh của tứ giác này:

T(0; 0) = 0; T(0; 10 000) = 48 000 000;

T(40 000; 0) = 60 000 000.

Bước 3. Ta đã biết biểu thức T = 1 500x + 4 800y đạt giá trị lớn nhất tại cặp số thực (x; y) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác OABC. So sánh bốn giá trị thu được của T ở Bước 2, kết hợp điều kiện x và y là các số tự nhiên, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là T(40 000; 0) = 60 000 000.

Vậy bác Dũng nên đầu tư loại A 40 000 cổ phiếu để lợi nhuận thu được là lớn nhất.