(Đúng sai) 32 bài tập Phương trình mặt phẳng (có lời giải) - Đề 2

a) Sai

$1 - 5 + 2.\left( { - 2} \right) - 1 = - 9 \ne 0$ nên $\left( \alpha \right)$ không đi qua điểm $A$

b) Sai

\(d\left( {B;\,\alpha } \right) = \frac{{\left| {3 - 1 - 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 3 \ne 11

c) Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;\, - 1;\,2} \right)$

Mặt phẳng $\left( \beta \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1;\, - 1;\, - 1} \right)$

$\overrightarrow {{n_\alpha }} .\;\overrightarrow {{n_\beta }} = 1.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 1} \right) = 0$. Suy ra, $\left( \alpha \right)$ vuông góc với $\left( \beta \right)$.

d) Gọi $M\left( {2;\,3;\,0} \right)$ là trung điểm của $AB$.

$\overrightarrow {AB} = \left( {2;\, - 4;\,4} \right)$

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ là mặt phẳng đi qua $M$ và nhận vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {AB} = \left( {2;\, - 4;\,4} \right)$ là $2.\left( {x - 2} \right) - 4.\left( {y - 3} \right) + 4.\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2z + 4 = 0$

Mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có phương trình là $z = 0$.

Gọi $\varphi$ là góc tạo bởi mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$

$\cos \varphi = \frac{{\left| {1.\,0 + \,\left( { - 2} \right).0 + 2.\,1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}.$

a) Đúng

Vectơ $\left( {1;\, - 1;\,2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$.

b) Đúng

Ta có: $2.0 + \left( { - 1} \right) - 1 + 3 = 1 \ne 0$. Suy ra, $\left( \beta \right)$ không đi qua điểm $B\left( {0;\, - 1;\,1} \right)$

c) Đúng

Ta có: $\frac{1}{2} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{2}{4} \ne \frac{{ - 1}}{3}$. Suy ra $\left( \alpha \right)//\,\left( \gamma \right)$.

d) Sai

Ta có: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;\, - 1;\,2} \right);\,\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2;\,1;\, - 1} \right)$ $\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( { - 1;\,5;\,3} \right)$

Mặt phẳng $\left( \gamma \right)$ vuông góc với hai mặt phẳng $\left( \alpha \right),\,\left( \beta \right)$ nên nhận cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\,\overrightarrow {{n_\beta }}$

Suy ra, $\left( \gamma \right)$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1;\, - 5;\, - 3} \right)$ có dạng $x - 5y - 3z + D = 0$

Mặt khác, $d\left( {A;\,\gamma } \right) = \frac{{\left| {0 - 5.\,1 - 3.\,\left( { - 3} \right) + D} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {35} }}{5}$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}D = 3\\D = - 11\end{array} \right.$

Vậy, mặt phẳng $\left( \gamma \right)$ có phương trình là $\left[ \begin{array}{l}x - 5y - 3z + 3 = 0\\x - 5y - 3z - 11 = 0\end{array} \right.$.

a) Sai

$\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\left( {3;\, - 2;\,1} \right)$.

b- Sai

Ta có : $\frac{3}{5} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 4}} \ne \frac{1}{3}$ nên $\left( P \right)$ không song song $\left( Q \right)$.

d- đúng

Mặt phẳng $\left( R \right)$ chứa $Ox$ nên $\left( R \right)$ đi qua điểm $O\left( {0;0;0} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow i = \left( {1;\,0;\,0} \right)$và mặt phẳng $\left( R \right)$vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên nhận vectơ $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;\, - 2;\,1} \right)$ làm vectơ chỉ phương

Suy ra, $\left( R \right)$có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow i ;\,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {0;\, - 1;\, - 2} \right)$.

Khi đó, mặt phẳng $\left( R \right)$có phương trình : $0.\left( {x - 0} \right) - 1.\left( {y - 0} \right) - 2.\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow y + 2z = 0$

Gọi $\varphi$ là góc tạo bởi mặt phẳng $\left( R \right)$ và $\left( Q \right)$. Vậy,

$\cos \varphi = \frac{{\left| {0.5 + 1.\left( { - 4} \right) + 2.3} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{2}{{5\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{25}}$ $\Rightarrow \varphi = {82^o}44'$.

a-Đúng

Phương trình $2x + 2y - z + 15 = 0$ có $A = 2,B = 2,C = - 1$ nên vectơ $\vec n = (2;2; - 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Vì $IH \bot (P)$ nên hai vectơ $\overrightarrow {IH}$ và $\vec n$ có giá song song hoặc trùng nhau. Suy ra $\overrightarrow {IH}$ và $\vec n$ cùng phương.

Khi đó, $\overrightarrow {IH} = t\vec n$ với $t$ là một số thực nào đó. Với $\overrightarrow {IH} = \left( {{x_H} - 1;{y_H} - 2;{z_H} - 3} \right)$, $t\vec n = (2t;2t; - t)$, ta có:

$\overrightarrow {IH} = t\vec n \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_H} - 1 = 2t}\\{{y_H} - 2 = 2t}\\{{z_H} - 3 = - t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_H} = 1 + 2t}\\{{y_H} = 2 + 2t}\\{{z_H} = 3 - t}\end{array}} \right.} \right.$

Suy ra $H(1 + 2t;2 + 2t;3 - t)$. Mà $H$ thuộc $(P):2x + 2y - z + 15 = 0$ nên

$2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) - (3 - t) + 15 = 0 \Leftrightarrow t = - 2.{\rm{ }}$Vậy $H( - 3; - 2;5)$.

b- Sai

= (2;2; - 1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Vì $IH \bot (P)$ nên hai vectơ $\overrightarrow {IH}$ và $\vec n$ có giá song song hoặc trùng nhau. Suy ra $\overrightarrow {IH}$ và $\vec n$ cùng phương.

Khi đó, $\overrightarrow {IH} = t\vec n$ với $t$ là một số thực nào đó. Với $\overrightarrow {IH} = \left( {{x_H} - 1;{y_H} - 2;{z_H} - 3} \right)$, $t\vec n = (2t;2t; - t)$, ta có:

$\overrightarrow {IH} = t\vec n \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_H} - 1 = 2t}\\{{y_H} - 2 = 2t}\\{{z_H} - 3 = - t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_H} = 1 + 2t}\\{{y_H} = 2 + 2t}\\{{z_H} = 3 - t}\end{array}} \right.} \right.$

Suy ra $H(1 + 2t;2 + 2t;3 - t)$. Mà $H$ thuộc $(P):2x + 2y - z + 15 = 0$ nên

$2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) - (3 - t) + 15 = 0 \Leftrightarrow t = - 2.{\rm{ }}$Vậy $H( - 3; - 2;5)$.

c - Đúng

Phương trình $2x + 2y - z + 15 = 0$ có $A = 2,B = 2,C = - 1$ nên vectơ $\vec n = (2;2; - 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Vì $IH \bot (P)$ nên hai vectơ $\overrightarrow {IH}$ và $\vec n$ có giá song song hoặc trùng nhau. Suy ra $\overrightarrow {IH}$ và $\vec n$ cùng phương.

Khi đó, $\overrightarrow {IH} = t\vec n$ với $t$ là một số thực nào đó. Với $\overrightarrow {IH} = \left( {{x_H} - 1;{y_H} - 2;{z_H} - 3} \right)$, $t\vec n = (2t;2t; - t)$, ta có:

$\overrightarrow {IH} = t\vec n \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_H} - 1 = 2t}\\{{y_H} - 2 = 2t}\\{{z_H} - 3 = - t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_H} = 1 + 2t}\\{{y_H} = 2 + 2t}\\{{z_H} = 3 - t}\end{array}} \right.} \right.$

Suy ra $H(1 + 2t;2 + 2t;3 - t)$. Mà $H$ thuộc $(P):2x + 2y - z + 15 = 0$ nên

$2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) - (3 - t) + 15 = 0 \Leftrightarrow t = - 2.{\rm{ }}$Vậy $H( - 3; - 2;5)$.

d- Sai

Phương trình $2x + 2y - z + 15 = 0$ có $A = 2,B = 2,C = - 1$ nên vectơ $\vec n = (2;2; - 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Vì $IH \bot (P)$ nên hai vectơ $\overrightarrow {IH}$ và $\vec n$ có giá song song hoặc trùng nhau. Suy ra $\overrightarrow {IH}$ và $\vec n$ cùng phương.

Khi đó, $\overrightarrow {IH} = t\vec n$ với $t$ là một số thực nào đó. Với $\overrightarrow {IH} = \left( {{x_H} - 1;{y_H} - 2;{z_H} - 3} \right)$, $t\vec n = (2t;2t; - t)$, ta có:

$\overrightarrow {IH} = t\vec n \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_H} - 1 = 2t}\\{{y_H} - 2 = 2t}\\{{z_H} - 3 = - t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_H} = 1 + 2t}\\{{y_H} = 2 + 2t}\\{{z_H} = 3 - t}\end{array}} \right.} \right.$

Suy ra $H(1 + 2t;2 + 2t;3 - t)$. Mà $H$ thuộc $(P):2x + 2y - z + 15 = 0$ nên

$2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) - (3 - t) + 15 = 0 \Leftrightarrow t = - 2.{\rm{ }}$Vậy $H( - 3; - 2;5)$.

a- Đúng

Ta có: $( - 3) - 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 1 = - 6 \ne 0$ nên $I$ không thuộc $(P)$.

Vectơ $\vec n = (1; - 3;4)$ không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Vì $(P)//(Q)$ mà $\vec n = (1; - 3;4)$ không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$, tức là giá của $\vec n$ không vuông góc với $(P)$ nên giá của $\vec n$ không vuông góc với $(Q)$, hay $\vec n = (1; - 3;4)$ không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$.

Ta có: $\vec m = (1; - 3; - 4)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$. Vì $(R)//(P)$ nên $\vec m$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(R)$. Phương trình mặt phẳng $(R)$ là:

${\rm{ 1}}{\rm{.}}(x + 3) - 3 \cdot (y - 0) - 4 \cdot (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 7 = 0.{\rm{ }}$

b ) Sai

Ta có: $( - 3) - 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 1 = - 6 \ne 0$ nên $I$ không thuộc $(P)$.

Vectơ $\vec n = (1; - 3;4)$ không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Vì $(P)//(Q)$ mà $\vec n = (1; - 3;4)$ không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$, tức là giá của $\vec n$ không vuông góc với $(P)$ nên giá của $\vec n$ không vuông góc với $(Q)$, hay $\vec n = (1; - 3;4)$ không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$.

Ta có: $\vec m = (1; - 3; - 4)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$. Vì $(R)//(P)$ nên $\vec m$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(R)$. Phương trình mặt phẳng $(R)$ là:

${\rm{ 1}}{\rm{.}}(x + 3) - 3 \cdot (y - 0) - 4 \cdot (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 7 = 0.{\rm{ }}$

c- Sai

Ta có: $( - 3) - 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 1 = - 6 \ne 0$ nên $I$ không thuộc $(P)$.

Vectơ $\vec n = (1; - 3;4)$ không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Vì $(P)//(Q)$ mà $\vec n = (1; - 3;4)$ không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$, tức là giá của $\vec n$ không vuông góc với $(P)$ nên giá của $\vec n$ không vuông góc với $(Q)$, hay $\vec n = (1; - 3;4)$ không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$.

Ta có: $\vec m = (1; - 3; - 4)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$. Vì $(R)//(P)$ nên $\vec m$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(R)$. Phương trình mặt phẳng $(R)$ là:

${\rm{ 1}}{\rm{.}}(x + 3) - 3 \cdot (y - 0) - 4 \cdot (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 7 = 0.{\rm{ }}$

d- Sai

Ta có: $( - 3) - 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 1 = - 6 \ne 0$ nên $I$ không thuộc $(P)$.

Vectơ $\vec n = (1; - 3;4)$ không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Vì $(P)//(Q)$ mà $\vec n = (1; - 3;4)$ không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$, tức là giá của $\vec n$ không vuông góc với $(P)$ nên giá của $\vec n$ không vuông góc với $(Q)$, hay $\vec n = (1; - 3;4)$ không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$.

Ta có: $\vec m = (1; - 3; - 4)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$. Vì $(R)//(P)$ nên $\vec m$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(R)$. Phương trình mặt phẳng $(R)$ là:

${\rm{ 1}}{\rm{.}}(x + 3) - 3 \cdot (y - 0) - 4 \cdot (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 7 = 0.{\rm{ }}$