(Đúng sai) 32 bài tập Phương trình mặt phẳng (có lời giải) - Đề 1

a- đúng

$\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\left( {2;\,1;\, - 1} \right)} \right| = \sqrt 6$.

b) $\overrightarrow b \,.\,\overrightarrow c = 3.\left( { - 1} \right) + 1.1 + \left( { - 2} \right).4 = - 10 \ne 0$. Suy ra, $\overrightarrow b$ không vuông góc $\overrightarrow c$.

b- Sai

b) $\overrightarrow b \,.\,\overrightarrow c = 3.\left( { - 1} \right) + 1.1 + \left( { - 2} \right).4 = - 10 \ne 0$. Suy ra, $\overrightarrow b$ không vuông góc $\overrightarrow c$.

c- Sai

c) $\left[ {\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b } \right] = \left( { - 1;1; - 1} \right)$. Suy ra $\overrightarrow a$ không cùng phương với $\overrightarrow b$.

d- Đúng

d) $\left[ {\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b } \right].\,\overrightarrow c = \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 1.1 + \left( { - 1} \right).4 = - 2 \ne 0.$

Vậy, ba vectơ $\overrightarrow a ;\;\overrightarrow b ;\,\overrightarrow c$ là ba vectơ không đồng phẳng.

Trong không gian cho hệ toạ độ $Oxyz$. Các mệnh đề

D. $\overrightarrow a$ vuông góc với $\overrightarrow b$. SAI

Ta có:

$\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = \left( { - 1; - 3; - 7} \right) \ne \overrightarrow 0$. Hai véctơ $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$không cùng phương.

$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow c = - 1 + 15 - 14 = 0$. Ba véctơ $\overrightarrow a$,$\overrightarrow b$,$\overrightarrow c$ đồng phẳng.

D. Điểm $\left( {{Q_1}} \right):3x - y + 4z + 2 = 0$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$. SAI

Điểm $\left( {{Q_2}} \right):3x - y + 4z + 8 = 0$ có tọa độ thỏa mãn phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ nên $\left( {{Q_1}} \right)$.

Điểm $a + b + c < - 2$,$K\left( { - 3;0;0} \right)$ , $\left( {{Q_1}} \right):3x - y + 4z + 2 = 0$có tọa độ không thỏa mãn phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ nên $M,K,Q \notin \left( P \right)$.

a-Sai

a) $\overrightarrow {AB} = \left( {1;\,1;\,2} \right)$.

b-Sai

b) $\overrightarrow {AC} = \left( {1;\,0;\,5} \right);\,\left[ {\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {5;\, - 3;\,1} \right)$. Suy ra, $\overrightarrow {AB}$ không cùng phương với $\overrightarrow {AC}$.

c- đúng

c) Vì $\overrightarrow {AB}$ không cùng phương với $\overrightarrow {AC}$. Do đó, $A,\,B,\,C$ không thẳng hàng.

d) Mặt phẳng đi qua ba điểm $A,\,B,\,C$ nhận vectơ $\,\left[ {\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {5;\, - 3;\,1} \right)$làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $5\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y - 1} \right) - \left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 3y - z - 8 = 0$

Ta có $5.\,0\, - \,3.\,\left( { - 2} \right)\, - 3 - 8\, = - 5 \ne 0$ nên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ không đi qua điểm $D\left( {0; - 2;3} \right)$.

a-Đúng

a) $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;\,1;\,0} \right)$.

c) $\cos \left( {P;Q} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {n{}_1} ;\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {0.\sqrt 3 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{2}$

Suy ra, góc giữa hai mặt phẳng $\overrightarrow P$ và $\overrightarrow Q$ là $60^\circ$.

d-Sai

d) Gọi điểm $M\left( {a;\,0;\,0} \right)\, \in Ox$ và cách đều hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$

Khi đó, $d\left( {M;\,P} \right) = d\left( {M;\,Q} \right)$ $\Leftrightarrow \frac{{\left| {0 - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = \frac{{\left| {a\sqrt 3 - 0 - 2024} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }}$ $\Leftrightarrow 5 = \frac{{\left| {a\sqrt 3 - 2024} \right|}}{2}$

$\Leftrightarrow \left| {a\sqrt 3 - 2024} \right| = 10$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 678\sqrt 3 \\a = \frac{{2014\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.$

Do đó, có 2 điểm ${M_1}\left( {678\sqrt 3 ;0;0} \right);\,{M_2}\left( {\frac{{2014\sqrt 3 }}{3};0;0} \right)$ thỏa yêu cầu.

D. Mặt phẳng (Q) có phương trình là: $x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }}--{\rm{ }}3\; = {\rm{ }}0.$ SAI

Dùng công thức khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng, sau đó tính khoảng cách lần lượt trong mỗi trường hợp và chọn đáp án đúng và sai.

D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $3$. ĐÚNG

Nhận xét: hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau. SAI

Lấy $M(6;0;0) \in (P)$ ta có $d\left( {(P);(Q)} \right) = d\left( {M;(Q)} \right) = \frac{{\left| {1.6 + 2.0 - 2.0 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 3$.

D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $3$. SAI

$d\left( {N,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2.1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{4}{3}$

Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau.

Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ ta chọn điểm $M\left( {0; - 9;0} \right)$. Tính khoảng cách từ $M$ đến $\left( Q \right)$ ta có:

$d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4.0 - 2.( - 9) - 4.0 - 6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2$.

Vậy $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = 2$.

D. 2.$d\left( {A,(\alpha )} \right)$ = $d\left( {A,(\beta )} \right).$ ĐÚNG

$d\left( {A,(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {2.{x_A} + {y_A} + 2.{z_A} + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 1$ ; $d\left( {A,(\beta )} \right) = \frac{{\left| {{x_A}} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 2.$

Kết luận: $d\left( {A,(\beta )} \right) = 2.d\left( {A,(\alpha )} \right)$.

A. $(\alpha )//(\gamma )$. SAI

$\left( R \right): - x + 2y + nz = 0$ có VTPT $m + 2n$

$\left( P \right) \bot \left( R \right)$ có VTPT $\left( P \right)//\left( Q \right)$

$- 6$ có VTPT $\left( P \right):x + y + z - 1 = 0$

Ta có $\overrightarrow a = \left( {1;1;1} \right)$ $\left( Q \right):2x + my + 2z + 3 = 0$ và $\overrightarrow b = \left( {2;m;2} \right)$ không song song nhau

B. $Oxyz$. ĐÚNG

Ta có $\left( R \right): - x + 2y + nz = 0$

C. $\left( P \right):x + y + z - 1 = 0$. ĐÚNG

Ta có $\overrightarrow c = \left( { - 1;2;n} \right)$

D. $\left( Q \right):2x + my + 2z + 3 = 0$. ĐÚNG

Ta có $\left( P \right) \bot \left( R \right) \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow c = 0 \Leftrightarrow n = - 1$

a- Đúng

a) $\left( \alpha \right)$ có một VTPT là $\left( {3; - 1;1} \right)$.

d) Mặt phẳng song song với $\left( \alpha \right)$ có dạng: $3x - y + z + C = 0\quad \left( {C \ne - 1} \right)$

Vì mp đi qua $A$ nên $3.1 - 3 + 2 + C = 0 \Rightarrow C = - 2$

Vậy mặt phẳng đi qua điểm $A$ và song song với $\left( \alpha \right)$có phương trình $3x - y + z - 2 = 0$. Đúng

D. Điểm $M\left( {0;0;2024} \right)$ không thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$. SAI

Véctơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là ${\vec n_2}\left( {2;3;1} \right)$.

$$\vec n = \left( {6;9;3} \right) = 3\left( {2;3;1} \right)$$

$$\vec n = \left( { - 4; - 6; - 2} \right) = - 2\left( {2;3;1} \right)$$

Thay điểm $M\left( {0;0;2024} \right)$ vào mặt phẳng $\left( P \right)$:$2.0 + 3.0 + 2024 - 2024 = 0 \Rightarrow M \in \left( P \right)$