(Đúng sai) 16 bài tập Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes (có lời giải)

a) Chọn đúng

Theo giả thiết, ta có: ${\rm{P}}(B\mid A) = 0{,}95;{\rm{P}}(B\mid \bar A) = 0{,}8;{\rm{P}}(A) = \frac{{24}}{{50}} = 0{,}48$;

${\rm{P}}(\bar A) = \frac{{26}}{{50}} = 0{,}52.{\rm{ Suy ra }}$

${\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(A) \cdot {\rm{P}}(B\mid A) + {\rm{P}}(\bar A) \cdot {\rm{P}}(B\mid \bar A) = 0{,}48 \cdot 0{,}95 + 0{,}52 \cdot 0{,}8 = 0{,}872.$

b) Chọn Sai

Theo giả thiết, ta có: ${\rm{P}}(B\mid A) = 0{,}95;{\rm{P}}(B\mid \bar A) = 0{,}8;{\rm{P}}(A) = \frac{{24}}{{50}} = 0{,}48$;

${\rm{P}}(\bar A) = \frac{{26}}{{50}} = 0{,}52.{\rm{ Suy ra }}$

${\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(A) \cdot {\rm{P}}(B\mid A) + {\rm{P}}(\bar A) \cdot {\rm{P}}(B\mid \bar A) = 0{,}48 \cdot 0{,}95 + 0{,}52 \cdot 0{,}8 = 0{,}872.$

c) Chọn Sai

Theo giả thiết, ta có: ${\rm{P}}(B\mid A) = 0{,}95;{\rm{P}}(B\mid \bar A) = 0{,}8;{\rm{P}}(A) = \frac{{24}}{{50}} = 0{,}48$;

${\rm{P}}(\bar A) = \frac{{26}}{{50}} = 0{,}52.{\rm{ Suy ra }}$

${\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(A) \cdot {\rm{P}}(B\mid A) + {\rm{P}}(\bar A) \cdot {\rm{P}}(B\mid \bar A) = 0{,}48 \cdot 0{,}95 + 0{,}52 \cdot 0{,}8 = 0{,}872.$

d) Chọn đúng

Theo giả thiết, ta có: ${\rm{P}}(B\mid A) = 0{,}95;{\rm{P}}(B\mid \bar A) = 0{,}8;{\rm{P}}(A) = \frac{{24}}{{50}} = 0{,}48$;

${\rm{P}}(\bar A) = \frac{{26}}{{50}} = 0{,}52.{\rm{ Suy ra }}$

${\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(A) \cdot {\rm{P}}(B\mid A) + {\rm{P}}(\bar A) \cdot {\rm{P}}(B\mid \bar A) = 0{,}48 \cdot 0{,}95 + 0{,}52 \cdot 0{,}8 = 0{,}872.$

a) Chọn đúng

Ta có: $P\left( A \right) = \frac{{10}}{{22}} = \frac{5}{{11}};\,P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{5}{{11}} = \frac{6}{{11}}.$

Nếu lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh thì còn lại 21 quả bóng, trong đó có 9 quả bóng màu xanh, suy ra $P\left( {B|A} \right) = \frac{9}{{21}} = \frac{3}{7}.$

Nếu lần thứ nhất lấy được quả bóng màu đỏ thì còn lại 21 quả bóng, trong đó có 10 quả bóng màu xanh, suy ra $P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{10}}{{21}}$.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{5}{{11}}.\frac{3}{7} + \frac{6}{{11}}.\frac{{10}}{{21}} = \frac{5}{{11}}$.

b) Chọn Sai

Ta có: $P\left( A \right) = \frac{{10}}{{22}} = \frac{5}{{11}};\,P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{5}{{11}} = \frac{6}{{11}}.$

Nếu lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh thì còn lại 21 quả bóng, trong đó có 9 quả bóng màu xanh, suy ra $P\left( {B|A} \right) = \frac{9}{{21}} = \frac{3}{7}.$

Nếu lần thứ nhất lấy được quả bóng màu đỏ thì còn lại 21 quả bóng, trong đó có 10 quả bóng màu xanh, suy ra $P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{10}}{{21}}$.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{5}{{11}}.\frac{3}{7} + \frac{6}{{11}}.\frac{{10}}{{21}} = \frac{5}{{11}}$.

c) Chọn Sai

Ta có: $P\left( A \right) = \frac{{10}}{{22}} = \frac{5}{{11}};\,P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{5}{{11}} = \frac{6}{{11}}.$

Nếu lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh thì còn lại 21 quả bóng, trong đó có 9 quả bóng màu xanh, suy ra $P\left( {B|A} \right) = \frac{9}{{21}} = \frac{3}{7}.$

Nếu lần thứ nhất lấy được quả bóng màu đỏ thì còn lại 21 quả bóng, trong đó có 10 quả bóng màu xanh, suy ra $P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{10}}{{21}}$.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{5}{{11}}.\frac{3}{7} + \frac{6}{{11}}.\frac{{10}}{{21}} = \frac{5}{{11}}$.

d) Chọn đúng

Ta có: $P\left( A \right) = \frac{{10}}{{22}} = \frac{5}{{11}};\,P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{5}{{11}} = \frac{6}{{11}}.$

Nếu lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh thì còn lại 21 quả bóng, trong đó có 9 quả bóng màu xanh, suy ra $P\left( {B|A} \right) = \frac{9}{{21}} = \frac{3}{7}.$

Nếu lần thứ nhất lấy được quả bóng màu đỏ thì còn lại 21 quả bóng, trong đó có 10 quả bóng màu xanh, suy ra $P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{10}}{{21}}$.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{5}{{11}}.\frac{3}{7} + \frac{6}{{11}}.\frac{{10}}{{21}} = \frac{5}{{11}}$.

a) Chọn Sai

Ta có:

$\begin{array}{l}P\left( A \right) = 0{,}65;\,P\left( {\overline A } \right) = 0{,}35;\,P\left( {B|A} \right) = 1 - P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98;\\P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97.\end{array}$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}65.0{,}98 + 0{,}35.0{,}97 = 0{,}9765$.

b) Chọn Sai

Ta có:

$\begin{array}{l}P\left( A \right) = 0{,}65;\,P\left( {\overline A } \right) = 0{,}35;\,P\left( {B|A} \right) = 1 - P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98;\\P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97.\end{array}$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}65.0{,}98 + 0{,}35.0{,}97 = 0{,}9765$.

c) Chọn Sai

Ta có:

$\begin{array}{l}P\left( A \right) = 0{,}65;\,P\left( {\overline A } \right) = 0{,}35;\,P\left( {B|A} \right) = 1 - P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98;\\P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97.\end{array}$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}65.0{,}98 + 0{,}35.0{,}97 = 0{,}9765$.

d) Chọn đúng

Ta có:

$\begin{array}{l}P\left( A \right) = 0{,}65;\,P\left( {\overline A } \right) = 0{,}35;\,P\left( {B|A} \right) = 1 - P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98;\\P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97.\end{array}$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}65.0{,}98 + 0{,}35.0{,}97 = 0{,}9765$.

a) Chọn Sai

Ta có:

$\begin{array}{l}P\left( A \right) = 0{,}85;\\P\left( {\overline A } \right) = 0{,}15;\,P\left( {B|A} \right) = 1 - P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0{,}01 = 0{,}99;\\P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96.\end{array}$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}85.0{,}99 + 0{,}15.0{,}96 = 0{,}9855$

Theo công thức Bayes, ta có: $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}85.0{,}99}}{{0{,}9855}} \approx 0{,}854$.

b) Chọn đúng

Ta có:

$\begin{array}{l}P\left( A \right) = 0{,}85;\\P\left( {\overline A } \right) = 0{,}15;\,P\left( {B|A} \right) = 1 - P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0{,}01 = 0{,}99;\\P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96.\end{array}$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}85.0{,}99 + 0{,}15.0{,}96 = 0{,}9855$

Theo công thức Bayes, ta có: $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}85.0{,}99}}{{0{,}9855}} \approx 0{,}854$.

c) Chọn Sai

Ta có:

$\begin{array}{l}P\left( A \right) = 0{,}85;\\P\left( {\overline A } \right) = 0{,}15;\,P\left( {B|A} \right) = 1 - P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0{,}01 = 0{,}99;\\P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96.\end{array}$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}85.0{,}99 + 0{,}15.0{,}96 = 0{,}9855$

Theo công thức Bayes, ta có: $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}85.0{,}99}}{{0{,}9855}} \approx 0{,}854$.

d) Chọn đúng

Ta có:

$\begin{array}{l}P\left( A \right) = 0{,}85;\\P\left( {\overline A } \right) = 0{,}15;\,P\left( {B|A} \right) = 1 - P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0{,}01 = 0{,}99;\\P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96.\end{array}$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}85.0{,}99 + 0{,}15.0{,}96 = 0{,}9855$

Theo công thức Bayes, ta có: $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}85.0{,}99}}{{0{,}9855}} \approx 0{,}854$.

Ta có:

$\begin{array}{l}P\left( A \right) = 0{,}85;\\P\left( {\overline A } \right) = 0{,}15;\,P\left( {B|A} \right) = 1 - P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0{,}01 = 0{,}99;\\P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96.\end{array}$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}85.0{,}99 + 0{,}15.0{,}96 = 0{,}9855$

Theo công thức Bayes, ta có: $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}85.0{,}99}}{{0{,}9855}} \approx 0{,}854$.

b) ${\rm{P}}\left( {B\mid {A_2}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {B \cap {A_2}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {{A_2}} \right)}} = 0{,}82$

Do đó b đúng

c) Ta có: ${\rm{P}}\left( {{A_1}} \right) = 0{,}61;{\rm{P}}\left( {{A_2}} \right) = 0{,}39;{\rm{P}}\left( {B\mid {A_1}} \right) = 0{,}93;{\rm{P}}\left( {B\mid {A_2}} \right) = 0{,}82$.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}\left( B \right) = {\rm{P}}\left( {{A_1}} \right){\rm{.P}}\left( {B\mid {A_1}} \right) + {\rm{P}}\left( {{A_2}} \right){\rm{.P}}\left( {B\mid {A_2}} \right) = 0{,}61.0{,}93 + 0{,}39.0{,}82 = 0{,}8871$.

Vậy c đúng

d) Theo công thức Bayes, ta có: ${\rm{P}}\left( {{A_1}\mid B} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{A_1}} \right){\rm{.P}}\left( {B\mid {A_1}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( B \right)}} = \frac{{0{,}61 \cdot 0{,}93}}{{0{,}8871}} \approx 0{,}64$.

Vậy d sai

Gọi $A,B$ lần lượt là biến cố “Thí nghiệm thứ nhất thành công” và “Thí nghiệm thứ hai thành công”

a) Vì $P\left( A \right) = 0{,}7$ nên $P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$

Chọn đúng

Gọi $A,B$ lần lượt là biến cố “Thí nghiệm thứ nhất thành công” và “Thí nghiệm thứ hai thành công”

b) Theo giả thiết ta có $P\left( A \right) = 0{,}7,P\left( {B\mid A} \right) = 0{,}9$. Suy ra $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( {B\mid A} \right) = 0{,}7 \times 0{,}9 = 0{,}63$.

Chọn đúng

Gọi $A,B$ lần lượt là biến cố “Thí nghiệm thứ nhất thành công” và “Thí nghiệm thứ hai thành công”

c) $\bar A \cdot \bar B$ là biến cố "Cả hai thí nghiệm đều không thành công".

Theo giả thiết ta có $P\left( {\bar A} \right) = 0{,}3$, $P\left( {\bar B\mid \bar A} \right) = 0{,}6$. Suy ra $P\left( {\bar A \cdot \bar B} \right) = P\left( {\bar A} \right)P\left( {\bar B\mid \bar A} \right) = 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18$.

Chọn Sai

d) $A\bar B$ là biến cố "Thí nghiệm thứ nhất thành công nhưng thí nghiệm thứ hai không thành công". Theo giả thiết ta có $P\left( {\bar B\mid A} \right) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$. Suy ra $P\left( {A\bar B} \right) = P\left( A \right)P\left( {\bar B\mid A} \right) = 0{,}7 \times 0{,}1 = 0{,}07$.

Chọn Sai

* Ta gọi ${A_k}$ là biến cố sản phầm thứ $k$ không đạt chất lượng $\left( {k = 1;2} \right)$.

a) Ta có: $P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{50.849}}{{850.849}} = \frac{1}{{17}}$.

Chọn đúng

b) Do sản phẩm thứ nhất không đạt chất lượng nên còn 49 sản phẩm không đạt chất lượng trong tổng số 849 sản phẩm. Vậy xác suất cần tìm là $P\left( {{A_2}\mid {A_1}} \right) = \frac{{49}}{{849}}.$

Chọn đúng

c) Do sản phẩm thứ nhất đạt chất lượng nên còn 50 sản phẩm không đạt chất lượng trong tổng số 849 sản phẩm. Vậy xác suất cần tìm là $P\left( {{A_2}\mid \overline {{A_1}} } \right) = \frac{{50}}{{849}}$.

Chọn Sai

d) Do ${A_1}$ và $\overline {{A_1}}$ là hệ biến cố đầy đủ nên theo công thức xác suất toàn phần ta có

$$P\left( {{A_2}} \right) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {{A_2}\mid {A_1}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} } \right)P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = \frac{{50}}{{850}} \cdot \frac{{49}}{{849}} + \frac{{800}}{{850}} \cdot \frac{{50}}{{849}} = \frac{1}{{17}}.$$

Chọn Sai

Kí hiệu ${A_k}$ là biĉ́n cố "lần thứ $k$ rút được quả trắng" $\left( {k = 1{,}2, \ldots } \right)$.

a) Xác suất lần thứ nhất không rút được quả cầu trắng là ${\rm{P}}\left( {\overline {{A_1}} } \right) = \frac{{50}}{{100 + 50}} = \frac{1}{3}.$

Chọn đúng

b) Lần thứ nhất rút cầu đen nên vẫn còn 100 quả cầu trắng trong hộp.

Do đó: số kết quả thuận lợi của biến cố lần 2 thứ rút được quả cầu trắng biết lần thứ nhất không rút được quả cầu trắng là $100$.

Chọn đúng

c) Xác suất lần thứ hai rút được quả cầu trắng biết lần thứ nhất rút được quả cầu đen là:

${\rm{P}}\left( {{A_2}\mid \overline {{A_1}} } \right) = \frac{{100}}{{100 + 50 - 1}} = \frac{{100}}{{149}}.$

Chọn đúng

d) Theo công thức nhân xác suất ta có

${\rm{P}}\left( {\overline {{A_1}} {A_2}} \right) = {\rm{P}}\left( {\overline {{A_1}} } \right){\rm{P}}\left( {{A_2}\mid \overline {{A_1}} } \right) = \frac{{50}}{{100 + 50}} \cdot \frac{{100}}{{100 + 50 - 1}} = \frac{{100}}{{447}}.$

Chọn Sai

Gọi $A$ : "Người này hút thuốc"

$B$ : "Người này bị viêm họng"

Theo giả thiết ta có,

a) $P\left( A \right) = 0{,}3$

Chọn đúng

Gọi $A$ : "Người này hút thuốc"

$B$ : "Người này bị viêm họng"

Theo giả thiết ta có,

b) $P\left( {B\mid A} \right) = 0{,}6$

Chọn Sai

Gọi $A$ : "Người này hút thuốc"

$B$ : "Người này bị viêm họng"

Theo giả thiết ta có,

c) Ta có: $P\left( A \right) = 0{,}3;\,\,P\left( {B\mid A} \right) = 0{,}6;\,\,P\left( {B\mid \bar A} \right) = 0.3$. Ta thấy rằng $\{ A,\bar A\}$ là một hệ đầy đủ các biến cố. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta tính được

$P\left( B \right) = P\left( {B\mid A} \right)P\left( A \right) + P\left( {B\mid \bar A} \right)P\left( {\bar A} \right) = 0{,}6\,.\,0{,}3 + 0{,}3\,.\,0{,}7 = 0{,}39$$P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {B\mid A} \right)P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}6\,.\,(0{,}3)}}{{0{,}39}} = 0{,}462$

Chọn đúng

Gọi $A$ : "Người này hút thuốc"

$B$ : "Người này bị viêm họng"

Theo giả thiết ta có,

d) Theo công thức Bayes, xác suất để người đó hút thuốc lá khi biết người đó không bị viêm họng là

$$P\left( {A\mid \bar B} \right) = \frac{{P\left( {\bar B\mid A} \right)P\left( A \right)}}{{P\left( {\bar B} \right)}} = \frac{{0{,}4\,.\,(0{,}3)}}{{0{,}61}} = 0{,}197$$

Chọn đúng

a) Gọi H1 là biến cố "Lấy từ hộp I sang hộp II 2 bi đen"

H2 là biến cố "Lấy từ hộp I sang hộp II 2 bi trắng "

H3 là biến cố "Lấy từ hộp I sang hộp II 1 bi trắng + 1 bi đen "

và nhớ là: Hộp I : 6 đen | 4 trắng

Hộp II: 7 đen | 3 trắng

$\Rightarrow P\left( {{H_1}} \right) = \frac{{C_6^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{1}{3}$, $P\left( {{H_2}} \right) = \frac{{C_4^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{2}{{15}}$,$P\left( {{H_3}} \right) = \frac{{C_6^1 \cdot C_4^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{8}{{15}}$

Vậy $\left\{ {{{\rm{H}}_1},{{\rm{H}}_2},{{\rm{H}}_3}} \right\}$ là một hệ đầy đủ.

Chọn Sai

b) $P\left( {{H_3}} \right) = \frac{{C_6^1 \cdot C_4^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{8}{{15}}$

Chọn đúng

c) Gọi A là biến cố "Lấy 2 bi cùng màu ở hộp II "

Cùng màu ở đây có thể là "cùng màu trắng "hoặc "cùng màu đen", vậy là ta phải cộng xác suất cả 2 truờng hợp này xảy ra:

$\Rightarrow P\left( {A/{H_1}} \right) = \frac{{C_9^2 + C_3^2}}{{C_{13}^2}} = \frac{{13}}{{22}}$$,P\left( {A/{H_2}} \right) = \frac{{C_7^2 + C_5^2}}{{C_{12}^2}} = \frac{{31}}{{66}},$$P(A/{H_3}) = \frac{{C_8^2 + C_4^2}}{{C_{12}^2}} = \frac{{17}}{{33}}.$

Chọn đúng

d) Áp dụng công thức tính xác suất đầy đủ

$P(A) = P\left( {{H_1}} \right) \cdot P\left( {A/{H_1}} \right) + P\left( {{H_2}} \right) \cdot P\left( {A/{H_2}} \right) + P\left( {{H_3}} \right) \cdot P\left( {A/{H_3}} \right) = \frac{1}{3} \times \frac{{13}}{{22}} + \frac{2}{{15}} \times \frac{{31}}{{66}} + \frac{8}{{15}} \times \frac{{17}}{{33}} = 0{,}5343$

a) Gọi $A$ là biến cố "hai sản phẩm lấy ra sau cùng là chính phẩm"; ${B_i}$ là biến cố "trong 2 sản phẩm lấy từ lô I bỏ sang lô II có $i$ chính phẩm", $i = 0{,}1{,}2$. Khi đó ${B_0},{B_1},{B_2}$ tạo thành một hệ đầy đủ với

$P\left( {{B_0}} \right) = \frac{{C_3^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{1}{{15}};P\left( {{B_1}} \right) = \frac{{C_7^1 \times C_3^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{7}{{15}};P\left( {{B_2}} \right) = \frac{{C_7^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{7}{{15}}.$

Chọn đúng

b) Gọi $A$ là biến cố "hai sản phẩm lấy ra sau cùng là chính phẩm"; ${B_i}$ là biến cố "trong 2 sản phẩm lấy từ lô I bỏ sang lô II có $i$ chính phẩm", $i = 0{,}1{,}2$. Khi đó ${B_0},{B_1},{B_2}$ tạo thành một hệ đầy đủ với

$$P\left( {A\mid {B_1}} \right) = \frac{{C_7^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{21}}{{45}}$$

Chọn đúng

c) Gọi $A$ là biến cố "hai sản phẩm lấy ra sau cùng là chính phẩm"; ${B_i}$ là biến cố "trong 2 sản phẩm lấy từ lô I bỏ sang lô II có $i$ chính phẩm", $i = 0{,}1{,}2$. Khi đó ${B_0},{B_1},{B_2}$ tạo thành một hệ đầy đủ với

$P\left( {A\mid {B_2}} \right) = \frac{{C_8^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{28}}{{45}}.$

Chọn Sai

d) Áp dụng công thức tính xác suất đầy đủ:

$$P(A) = P\left( {{B_0}} \right)P\left( {A\mid {B_0}} \right) + P\left( {{B_1}} \right)P\left( {A\mid {B_1}} \right) + P\left( {{B_2}} \right)P\left( {A\mid {B_2}} \right) = \frac{1}{{15}} \times \frac{{15}}{{45}} + \frac{7}{{15}} \times \frac{{21}}{{45}} + \frac{7}{{15}} \times \frac{{28}}{{45}} = \frac{{358}}{{675}} \approx 0{,}5304$$

Chọn Sai

a) Không gian mẫu của phép thử bốc ngẫu nhiên 15 quân bài từ bộ 52 cây là $n\left( \Omega \right) = C_{52}^{15}$

Chọn đúng

b) Gọi biến cố A: “Bốc được Át cơ”. $P(A) = \frac{{1.C_{51}^{14}}}{{C_{52}^{15}}} = \frac{{15}}{{52}}$

Chọn đúng

c) Gọi biến cố B: “Ít nhất hai quân Át được bốc”.

$P(A \cdot \bar B) = \frac{{1.C_{48}^{14}}}{{C_{52}^{15}}}$.

Chọn Sai

d) Xác suất ít nhất 2 quân Át được bốc là

$P(\bar B\mid A) = \frac{{P(A \cdot \bar B)}}{{P(A)}} = \frac{{\frac{{1.C_{48}^{14}}}{{C_{52}^{15}}}}}{{\frac{{15}}{{52}}}} = \frac{{222}}{{595}} \Rightarrow P(B\mid A) = 1 - P(\bar B\mid A) = \frac{{373}}{{595}}$

Chọn Sai

Đặt ${T_i}$ : "bệnh nhân điều trị bệnh $i$ " với $i \in \{ 1;\,2;\,3\}$

$K$ : "bệnh nhân được khỏi bệnh"

a) Theo đề bài ta có: $P\left( {{T_A}} \right) = 0{,}5;P\left( {{T_B}} \right) = 0{,}3;P\left( {{T_C}} \right) = 0{,}2$

Chọn đúng

Đặt ${T_i}$ : "bệnh nhân điều trị bệnh $i$ " với $i \in \{ 1;\,2;\,3\}$

$K$ : "bệnh nhân được khỏi bệnh"

b) $P\left( {K/{T_A}} \right) = 0{,}7;P\left( {K/{T_B}} \right) = 0{,}8;P\left( {K/{T_C}} \right) = 0{,}9$

Chọn đúng

Đặt ${T_i}$ : "bệnh nhân điều trị bệnh $i$ " với $i \in \{ 1;\,2;\,3\}$

$K$ : "bệnh nhân được khỏi bệnh"

c) Xác suất để bệnh nhân khỏi bệnh là

$P(K) = \sum\limits_{i = A}^C P \left( {{T_i}} \right) \cdot P\left( {K/{T_i}} \right) = 0{,}5 \cdot 0{,}7 + 0{,}3 \cdot 0{,}8 + 0{,}2 \cdot 0{,}9 = 0{,}77$

Chọn Sai

Đặt ${T_i}$ : "bệnh nhân điều trị bệnh $i$ " với $i \in \{ 1;\,2;\,3\}$

$K$ : "bệnh nhân được khỏi bệnh"

d) Xác suất để bệnh nhân trị khỏi bệnh A là

$P\left( {{T_A}\mid K} \right) = \frac{{P\left( {{T_A}} \right) \cdot P\left( {K\mid {T_A}} \right)}}{{P(K)}} = \frac{{0{,}5 \cdot 0{,}7}}{{0{,}77}} = 45{,}45\%$

Chọn đúng

a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là $60\% .50 = 30$.

Chọn đúng

b) Số viên bi màu vàng không đánh số là $50\% .30 = 15$ .

Chọn đúng

c)

Gọi $A$ là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số”

Gọi $B$ là biến cố “viên bi được lấy ra có màu đỏ”, suy ra $\bar B$ là biến cố “viên bi được lấy ra có màu vàng”,

Lúc này ta đi tính $P\left( A \right)$ theo công thức: $P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A|\bar B} \right)$

Ta có:

$$P\left( B \right) = \frac{{50}}{{80}} = \frac{5}{8}$$

$$P\left( {\bar B} \right) = \frac{{30}}{{80}} = \frac{3}{8}$$

$$P\left( {A|B} \right) = 60\% = \frac{3}{5}$$

$$P\left( {A|\bar B} \right) = 100\% - 50\% = \frac{1}{2}$$

Vậy $P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A|\bar B} \right) = \frac{5}{8}.\frac{3}{5} + \frac{3}{8}.\frac{1}{2} = \frac{9}{{16}}$

Chọn Sai

d)

$A$ là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số” suy ra $\bar A$ là biến cố “viên bi được lấy ra không có đánh số”

Ta có:$P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{9}{{16}} = \frac{7}{{16}}$

Chọn đúng

Gọi $A$ là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu”

Gọi $B$ là biến cố “bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu”, suy ra $\bar B$ là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu ”

a) Xác suất để bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu là $P\left( B \right) = \frac{{70}}{{100}} = \frac{7}{{10}}$

Chọn đúng

Gọi $A$ là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu”

Gọi $B$ là biến cố “bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu”, suy ra $\bar B$ là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu ”

b)

Ta có:

$$P\left( B \right) = \frac{{70}}{{100}} = \frac{7}{{10}}$$

$$P\left( {\bar B} \right) = \frac{{30}}{{100}} = \frac{3}{{10}}$$

$$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{{70.69}}{{70.99}} = \frac{{23}}{{33}}$$

$$P\left( {A|\bar B} \right) = 1 - P\left( {A|B} \right) = 1 - \frac{{23}}{{33}} = \frac{{10}}{{33}}$$

Sơ đồ cây biểu thị tình huống trên là

Chọn đúng

Gọi $A$ là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu”

Gọi $B$ là biến cố “bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu”, suy ra $\bar B$ là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu ”

c) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu là

$$P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A|\bar B} \right) = \frac{7}{{10}}.\frac{{23}}{{33}} + \frac{3}{{10}}.\frac{{10}}{{33}} = \frac{{191}}{{330}}$$

Chọn đúng

Gọi $A$ là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu”

Gọi $B$ là biến cố “bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu”, suy ra $\bar B$ là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu ”

d)

$A$ là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu” suy ra $\bar A$ là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu”

Ta có:$P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{{191}}{{330}} = \frac{{139}}{{330}}$

Chọn đúng