Đề tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026-2027 (Chung) Sở Thanh Hóa (có đáp án)

Đáp án đúng là: A

Chuyển vế và đổi dấu phương trình $3x - 12 = 0$, ta có $3x = 12$, suy ra $x = 4$.

Đáp án đúng là: B

$\sqrt {\frac{4}{9}} + \sqrt[3]{{\frac{{ - 8}}{{27}}}} = \frac{2}{3} + \frac{{ - 2}}{3} = 0.$

Đáp án đúng là: C

Thay tọa độ điểm $M\left( { - 2;12} \right)$ vào hàm số $y = a{x^2}$, ta có:

$12 = a \cdot {\left( { - 2} \right)^2}$ hay $12 = 4a$, suy ra $a = 3$.

Đáp án đúng là: D

Giải bất phương trình

$3x - 4 < 5$

$3x < 5 + 4$

$3x < 9$

$x < 3$.

Vậy bất phương trình $3x - 4 < 5$ có nghiệm là $x < 3$.

Đáp án đúng là: C

Bán kính đường tròn nội tiếp ($r$) của hình vuông luôn bằng một nửa độ dài cạnh của nó. Với cạnh $a = 3\sqrt 2$ cm, ta có $r = \frac{a}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$ cm.

Đáp án đúng là: C

Độ dài cung tròn được tính theo công thức $l = \frac{{\pi Rn}}{{180}}$.

Thay các dữ liệu $R = 3$ cm và $n = 50^\circ$, ta tính được $l = \frac{{\pi \cdot 3 \cdot 50}}{{180}} = \frac{{150\pi }}{{180}} = \frac{{5\pi }}{6}$ cm.

Đáp án đúng là: D

Theo bảng dữ liệu, số lượng học sinh trong nhóm $\left[ {70;\,\,90} \right)$ là $n = 28$.

Tổng số học sinh tham gia khảo sát toàn khối là $N = 70$.

Tần số tương đối của nhóm học sinh dành từ 70 đến dưới 90 phút tự học bằng:

$f = \frac{n}{N} \cdot 100\% = \frac{{28}}{{70}} \cdot 100\% = 40\% .$

Đáp án đúng là: B

Tổng không gian mẫu (toàn bộ số quả bóng trong hộp) là $5 + 9 + 6 = 20$ quả.

Biến cố có 5 kết quả thuận lợi.

Xác suất xảy ra là $P = \frac{5}{{20}} = \frac{1}{4}$.

a) $2{x^2} + 3x - 5 = 0$

Ta có: $a = 2,b = 3,c = - 5$

$\Delta = {b^2} - 4ac = {3^2} - 4 \cdot 2 \cdot \left( { - 5} \right)$

$\Delta = 9 + 40 = 49$

Vì $\Delta > 0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 3 + 7}}{4} = 1$;

${x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 3 - 7}}{4} = - \frac{5}{2}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x \in \left\{ {1;\frac{{ - 5}}{2}} \right\}$.

b) $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x - y = 6}\\{x + 2y = 2}\end{array}} \right.$

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{6x - 2y = 12}\\{x + 2y = 2}\end{array}} \right.$

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{7x = 14}\\{x + 2y = 2}\end{array}} \right.$

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{y = 0}\end{array}} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {2;0} \right)$.

Với $x \ge 0;x \ne 1$ ta có:

$A = \frac{{2x + 3\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 2}}$

$A = \frac{{2x + 3\sqrt x - 8 - \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) + 2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$A = \frac{{2x + 3\sqrt x - 8 - x + 4 + 2\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$A = \frac{{x + 5\sqrt x - 6}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$A = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$A = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 2}}$.

Để phương trình ${x^2} - 3x + m - 3 = 0$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ thì $\Delta > 0$ tức là ${\left( { - 3} \right)^2} - 4\left( {m - 3} \right) > 0$ hay $m < \frac{{21}}{4}.$

Áp dụng hệ thức Viète ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = 3}\\{{x_1}{x_2} = m - 3}\end{array}} \right.$

Vì ${x_2}$ là một nghiệm của phương trình trên nên ta có:

$x_2^2 - 3{x_2} + m - 3 = 0$ suy ra $x_2^2 - 3{x_2} = 3 - m$

Theo bài, $x_2^2 + 4{x_2}\left( {{x_1} - 1} \right) - {x_1} = m - 2$ ta có

$x_2^2 + 4{x_1}{x_2} - 4{x_2} - {x_1} = m - 2$

$\left( {x_2^2 - 3{x_2}} \right) + 4{x_1}{x_2} - \left( {{x_2} + {x_1}} \right) = m - 2$

$3 - m + 4\left( {m - 3} \right) - 3 = m - 2$

$2m = 10$

$m = 5{\rm{ (tm)}}$

Vậy $m = 5$.

Gọi số tiền hộ kinh doanh vay ở ngân hàng X là x triệu đồng ($0 < x < 700$).

Gọi số tiền hộ kinh doanh vay ở ngân hàng Y là y triệu đồng ($0 < y < 700$).

Theo đề bài, tổng số tiền vay là 700 triệu đồng, nên: $x + y = 700$ (1)

Lãi suất ngân hàng X là 8%/năm, nên tiền lãi sau một năm là: 0,08x triệu đồng

Lãi suất ngân hàng Y là 9%/năm, nên tiền lãi sau một năm là: 0,09y triệu đồng

Tổng tiền lãi sau một năm là 58 triệu đồng, nên: $0{,}08x + 0{,}09y = 58$ (2)

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 700}\\{0{,}08x + 0{,}09y = 58}\end{array}} \right.$

Từ phương trình thứ nhất: $x = 700 - y$

Thay vào phương trình thứ hai:

$0{,}08\left( {700 - y} \right) + 0{,}09y = 58$

$56 - 0{,}08y + 0{,}09y = 58$

$0{,}01y = 2$

$y = 200$

Suy ra: $x = 700 - 200 = 500$

Vậy hộ kinh doanh đã vay từ ngân hàng X là 500 triệu đồng, Ngân hàng Y là 200 triệu đồng.

a) Bán kính đáy của thiết bị là: ${r_1} = \frac{{{d_1}}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6$ (cm).

Thể tích nước tối đa mà thiết bị đó có thể đựng nước là:

${V_1} = \frac{1}{3}\pi r_1^2{h_1} = \frac{1}{3}\pi \cdot {6^2} \cdot 24 = 288\pi \approx 288 \cdot 3{,}14 = 904{,}32$ (cm$^{3}$).

b) Thể tích của mỗi cốc là: ${V_2} = \pi r_2^2{h_2} = \pi \cdot {3^2} \cdot 7{,}5 = \frac{{135}}{2}\pi$ (cm$^{3}$).

Thể tích của lượng nước đổ vào thiết bị là: ${V_3} = 4{V_2} = 4 \cdot \frac{{135}}{2}\pi = 270\pi$ (cm$^{3}$).

Thể tích của ba viên bi là: ${V_4} = {V_1} - {V_3} = 288\pi - 270\pi = 18\pi$ (cm$^{3}$).

Gọi bán kính của mỗi viên bi là $R$ (cm) $\left( {R > 0} \right)$.

Ta có: $3 \cdot \frac{4}{3}\pi {R^3} = 18\pi$ nên ${R^3} = \frac{9}{2}$ hay $R = \sqrt[3]{{\frac{9}{2}}} \approx 1{,}65$ (cm).

a) Vì $MA,MB$ là các tiếp tuyến của $\left( O \right)$ lần lượt tại $A,B$ nên $MA \bot OA,\,\,MB \bot OB.$

$\Delta MAO$ vuông tại $A$ nên $\Delta MAO$ nội tiếp đường tròn đường kính $MO$

$\Delta MBO$ vuông tại $B$ nên $\Delta MBO$ nội tiếp đường tròn đường kính $MO$

Suy ra bốn điểm $M,A,O,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO.$

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $MA = MB$ nên $M$ thuộc đường trung trực của $AB$

Mà $OA = OB = R$ nên $O$ thuộc đường trung trực của $AB$

Do đó, $MO$ là đường trung trực của $AB$

Mà $OM$ cắt $AB$ tại $I$ nên $OM \bot AB$ và $I$ là trung điểm của $AB$.

Xét $\Delta OAI$ và $\Delta OMA$ có: $\widehat {OIA} = \widehat {OAM} = 90^\circ ,\widehat {AOM}$ chung

Do đó $ΔOAI∽ΔOMA$ (g.g).

Suy ra $\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{OI}}{{OA}}$ hay $OM \cdot OI = O{A^2} = {R^2}$ (1)

Xét $\Delta OIK$ và $\Delta OHM$ có: $\widehat {OIK} = \widehat {OHM} = 90^\circ ,\widehat {HOM}$ chung

Do đó $ΔOIK∽ΔOHM$ (g.g)

Suy ra $\frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OK}}{{OM}}$ hay $OI \cdot OM = OH \cdot OK$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OH \cdot OK = {R^2}$.

c) Gọi $E\prime$ là giao điểm của $AC$ và $OM$. Ta chứng minh $E\prime$ là trung điểm của $MI$.

Vì $ME\prime \,{\rm{//}}\,AD$ nên $\widehat {E\prime MC} = \widehat {CDA}$ (hai góc so le trong).

Xét $\Delta ME\prime C$ và $\Delta DAC$ có: $\widehat {E\prime MC} = \widehat {CDA},\widehat {MCE\prime } = \widehat {ACD}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó $ΔME'C∽ΔDAC$ (g.g).

Suy ra $\frac{{ME\prime }}{{DA}} = \frac{{MC}}{{DC}}$ (3)

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có: $\widehat {BCD} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét $\Delta MCB$ và $\Delta BCD$ có: $\widehat {MCB} = \widehat {BCD} = 90^\circ ,\widehat {MBC} = \widehat {BDC}( = 90^\circ - \widehat {CBD})$

Do đó $ΔMCB∽ΔBCD$ (g.g), suy ra $\frac{{MC}}{{BC}} = \frac{{CB}}{{CD}} = \frac{{MB}}{{BD}}$.

Khi đó $\frac{{MC}}{{DC}} = \frac{{MC}}{{BC}} \cdot \frac{{CB}}{{CD}} = {\left( {\frac{{MB}}{{BD}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{MB}}{{2R}}} \right)^2}$ (4)

Xét $\Delta ABD$ có $I,O$ lần lượt là trung điểm của $BA,BD$ nên $IO$ là đường trung bình của $\Delta ABD$ hay $IO = \frac{1}{2}AD$ (5)

Xét $\Delta MIB$ và $\Delta BIO$ có: $\widehat {MIB} = \widehat {BIO} = 90^\circ ,\widehat {MBI} = \widehat {BOI}( = 90^\circ - \widehat {IBO})$

Do đó $ΔMIB∽ΔBIO$ (g.g) suy ra $\frac{{MI}}{{BI}} = \frac{{IB}}{{IO}} = \frac{{MB}}{{BO}}$

Khi đó $\frac{{MI}}{{IO}} = \frac{{MI}}{{BI}} \cdot \frac{{IB}}{{IO}} = {\left( {\frac{{MB}}{{BO}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{MB}}{R}} \right)^2}$ (6)

Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra $\frac{{ME\prime }}{{DA}} = \frac{{MC}}{{DC}} = \frac{{M{B^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{{MI}}{{4IO}} = \frac{{MI}}{{2AD}}$

Nên $MI = 2ME'$ hay $E'$ là trung điểm của $MI$.

Do đó, $E'$ trùng $E$ nên ba điểm $A,{\rm{ }}C,{\rm{ }}E$ thẳng hàng.

a) Hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ đường kính $AC$

Theo định lý Pythagore cho $\Delta DAC$ vuông tại $D$ thì:

$A{C^2} = D{A^2} + D{C^2} = {x^2} + {y^2}$ nên $AC = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$ (m).

Bán kính của hình tròn đường kính $AC$ là: $R = \frac{{AC}}{2} = \frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{2}{\rm{ (m)}}$

Diện tích của hình tròn đường kính $AC$ là:

${S_{{\rm{tron}}}} = \pi \cdot {R^2} = \pi \cdot {\left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{2}} \right)^2} = \frac{\pi }{4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$ (m2).

Diện tích phần đất làm khu sinh thái là:

$S = {S_{{\rm{tron}}}} - {S_{{\rm{ABCD}}}} = \frac{\pi }{4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 67500$ (m2).

b) Bài toán trở thành: Cho $x;y \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $xy = 67500$. Tìm giá trị nhỏ nhất của S.

Không mất tính tổng quát, giả sử $x \le y$

Khi đó, ${x^2} \le xy = 67500$ nên $x \le \sqrt {67500} = 259{,}807...$

Vì $x \in \mathbb{N}$ nên $x \le 259$ Mà $x \in$Ư$\left( {67500} \right)$ nên $x \le 250$ (vì các số 251; 252; 253;.; 259 đều không là ước của 67500)

${\rm{Suy ra }}y = \frac{{67500}}{x} \ge \frac{{67500}}{{250}} = 270$

Do đó, ta có bất đẳng thức:

$\left( {x - 250} \right)\left( {y - 250} \right) \le 0$

$xy - 250\left( {x + y} \right) + 62500 \le 0$

$250\left( {x + y} \right) \ge 67500 + 62500 = 130000$

$x + y \ge 520$

Suy ra ${x^2} + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy \ge {520^2} - 2 \cdot 67500 = 135400$

${\rm{N\^e n }}S \ge 135400 \cdot \frac{\pi }{4} - 67500 = 33850\pi - 67500$ (m2)

Dấu “=” xảy ra khi $x = 250$ và $y = 270$.

Khi đó, chu vi của mảnh đất $ABCD$ là $2\left( {x + y} \right) = 2 \cdot \left( {250 + 270} \right) = 1040$ (m).