Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD & ĐT Bắc Ninh năm 2024-2025 có đáp án

Với $x \ge 0\,;\,\,x \ne 1$, ta có

$B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{x + 1}}{{x - 1}}$

$= \left[ {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{x + 1}}{{x - 1}}$

$= \frac{2}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{2}{{x + 1}}$.

Vậy $B = \frac{2}{{x + 1}}$.

${x^2} - 2x + m - 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)$ (ẩn $x$, tham số $m$).

1) Thay $m = - 2$ vào $\left( 1 \right)$ ta có: ${x^2} - 2x - 3 = 0$

Nhận thấy phương trình có: $1 - \left( { - 2} \right) - 3 = 0$

Do đó, phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x = - 1\,;\,\,x = 3.$

2) Ta có: $\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1 \cdot \left( {m - 1} \right) = 2 - m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thì $\Delta ' > 0$ hay $m < 2.$

Áp dụng định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = 2$.

Khi đó ${x_1} + 2{x_2} = 0$ hay $\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_2} = 0$

Suy ra $2 + {x_2} = 0$ nên ${x_2} = - 2$.

Thay $x = - 2$ vào phương trình ta có: ${\left( { - 2} \right)^2} - 2 \cdot \left( { - 2} \right) + m - 1 = 0$ hay $m = - 7\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right).$

Vậy với $m = - 7$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thoả mãn ${x_1} + 2{x_2} = 0.$

Gọi $x$ là số xe ban đầu theo dự định $\left( {x > 0,\,\,x \in \mathbb{N}*} \right)$.

Theo dự kiến mỗi xe cần chở: $\frac{{171}}{x}$ (tấn).

Số xe thực tế là: $x - 1$ (xe), thực tế mỗi xe chở: $\frac{{171}}{{x - 1}}$ (tấn).

Vì mỗi xe còn lại phải chở thêm $0{,}5$ tấn hàng so với dự định nên ta có phương trình:

$\frac{{171}}{{x - 1}} - \frac{{171}}{x} = 0{,}5$

$$\frac{{342x}}{{2x\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{342x\left( {x - 1} \right)}}{{2x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{2x\left( {x - 1} \right)}}$$

$$342x - 342x + 342 = {x^2} - x$$

$${x^2} - x - 342 = 0$$

$x = 19$ (thỏa mãn điều kiện) hoặc $x = - 18$ (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy số xe ban đầu của đội xe là 19 xe.

a) Ta có $OP \bot MF;FN \bot MN$ nên $\widehat {OPF} = 90^\circ ;\,\,\widehat {FNO} = 90^\circ .$

Suy ra $\widehat {FNO} + \widehat {OPF} = 180^\circ$.

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác $ONFP$ nội tiếp.

b) Xét $\Delta FMQ$ có $QP,MN$ là đường cao cắt nhau tại $O$ nên $O$ là trực tâm suy ra $FO \bot MQ$ hay $FD \bot MQ.$

Xét $\Delta DOM$ và $\Delta NOF$ có $\widehat {MOD} = \widehat {NOF}$ (đối đỉnh) và $\widehat {ODM} = \widehat {ONF} = 90^\circ .$ Suy ra $\widehat {OMD} = \widehat {OFN}$.

Xét $\Delta OMD$ và $\Delta QFD$ có $\widehat {OMD} = \widehat {OFN}$ và $\widehat {ODM} = \widehat {FDQ} = 90^\circ .$

Do đó . Suy ra $\frac{{OD}}{{QD}} = \frac{{MD}}{{FD}}$ hay $OD \cdot DF = MD \cdot DQ$ (đpcm).

c) Ta có $\widehat {MEN} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $NE \bot MF.$

Xét $\Delta MEN$ và $\Delta MNF$ có $\widehat {NME}$ chung và $\widehat {MEN} = \widehat {MNF} = 90^\circ .$

Do đó . Suy ra $\frac{{ME}}{{MN}} = \frac{{MN}}{{MF}}$ hay $ME \cdot MF = M{N^2}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$MF + 4ME \ge 2\sqrt {MF \cdot 4ME} = 4\sqrt {MF \cdot ME} = 4\sqrt {M{N^2}} = 4.2R = 8R$.

Dấu có khi $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{MF = 4ME}\\{ME \cdot MF = 4{R^2}}\end{array}} \right.$ nên $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{MF = 4ME}\\{ME \cdot 4ME = 4{R^2}}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ME = R}\\{MF = 4R}\end{array}} \right.$.

Mà trên $\left( O \right)$ có 2 điểm $E$ để $ME = R$.

Vậy có 2 điểm $E$ để tổng $MF + 4ME$ đạt giá trị nhỏ nhất.