Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2025 phòng GD&ĐT huyện Đông Anh (Hà Nội) có đáp án

1) $3{x^2} + 10x + 3 = 0$.

Ta có: $\Delta ' = 25 - 9 = 16 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 4$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} = \frac{{ - 5 + 4}}{3} = \frac{{ - 1}}{3}$; ${x_2} = \frac{{ - 5 - 4}}{3} = - 3$

2) $13{x^2} - 14x + 1 = 0$

Vì $a + b + c = 13 + \left( { - 14} \right) + 1 = 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} = 1$; ${x_2} = \frac{1}{{13}}$

3) $\frac{{x + 2}}{3} + \frac{{x - 3}}{2} > 1$

$$\frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{6} + \frac{{3\left( {x - 3} \right)}}{6} > \frac{6}{6}$$

$$2\left( {x + 2} \right) + 3\left( {x - 3} \right) > 6$$

$$2x + 4 + 3x - 9 > 6$$

$$5x > 11$$

Vậy bất phương trình có nghiệm $x > \frac{{11}}{5}$.

a) Thay $x = 25$( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$ có $A = \frac{{\sqrt {25} }}{{\sqrt {25} + 3}} = \frac{5}{8}$.

Kết luận.

b) $B = \frac{1}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x + 12}}{{x - 9}}$

$$B = \frac{1}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x + 12}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$

$$B = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2\sqrt x + 12}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$

$$B = \frac{{\sqrt x - 3 + x + 3\sqrt x + 2\sqrt x + 12}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$

$$B = \frac{{x + 6\sqrt x + 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$

$$B = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$

$B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}}$ (đpcm)

c) $P = A.B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} \cdot \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}$

$$P = 1 + \frac{3}{{\sqrt x - 3}}$$

Để $P$ có giá trị nguyên thì $\left( {\sqrt x - 3} \right) \in$Ư(3) $= \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}$

Lập bảng:

Vậy $x \in \left\{ {16;36;4;0} \right\}$ thì $P$ đạt giá trị nguyên.

Gọi $x\,,\,y$ lần lượt là số tiền chị M đã mua trái phiếu doanh nghiệp và gửi tiết kiệm ngân hàng (đơn vị : triệu đồng ; $0 < x\,;\,y < 500$)

Chị M đầu tư $500$ triệu đồng nên ta có phương trình $x + y = 500\,\,\,\left( 1 \right)$

Theo đề bài, trái phiếu doanh nghiệp với lãi suất $8{\rm{\% }}$ một năm và gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất $7{,}7\,{\rm{\% }}$ một năm. Chị M nhận được tất cả là $39{,}4$ triệu đồng tiền lãi nên ta có phương trình

$x.8\,{\rm{\% }}{\rm{.}} + y.7{,}7\,{\rm{\% }} = 39{,}4\,\,\left( 2 \right)$

Kết hợp, ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x.8\,{\rm{\% }}{\rm{.}} + y.7{,}7\,{\rm{\% }} = 39{,}4\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình, ta được $x = 300\,;\,y = 200$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy chị M đã mua trái phiếu doanh nghiệp với $300$ triệu đồng và gửi tiết kiệm ngân hàng với $200$ triệu đồng.

Gọi chiều dài, chiều rộng ban đầu của mảnh vườn lần lượt là $x\,,\,y$ (đơn vị ${\rm{m}}$; $10 < x\,;\,y < 40$)

Chu vi của mảnh vườn là $80\,{\rm{m}}$, nửa chu vi là $80:2 = 40\,\left( {\rm{m}} \right)$

Ta có phương trình: $x + y = 40\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Diện tích của mảnh vườn ban đầu là $x.y\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$

Nếu tăng chiều dài lên $3$ lần và giảm chiều rộng $10\,{\rm{m}}$ thì diện tích của mảnh vườn đó tăng thêm là $132\,{{\rm{m}}^2}$, ta có phương trình $3x.\left( {y - 10} \right) = xy + 132\,\,\,\,\left( 2 \right)$

$3xy - 30x = xy + 132$

$2xy - 30x - 132 = 0$ (*)

Từ phương trình (1), ta được $y = 40 - x$, ta thay vào phương trình (*) ta được

$2x\left( {40 - x} \right) - 30x - 132 = 0$

$- 2{x^2} + 80x - 30x - 132 = 0$

$- 2{x^2} + 50x - 132 = 0$

$2{x^2} - 50x + 132 = 0$

$2{x^2} - 44x - 6x + 132 = 0$

$2x\left( {x - 22} \right) - 6\left( {x - 2} \right) = 0$

$\left( {x - 22} \right)\left( {2x - 6} \right) = 0$

$x - 22 = 0$ hoặc $2x - 6 = 0$

$x = 22$ (thỏa mãn điều kiện) hoặc $x = 3$ (tmđk, Loại)

Chiều dài ban đầu của mảnh vườn hình chữ nhật là $22\,{\rm{m}}$

Chiều rộng ban đầu của mảnh vườn hình chữ nhật là $40 - 22 = 18\,{\rm{m}}$

Vậy mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài $22\,{\rm{m}}$; chiều rộng $18\,{\rm{m}}$.

Xét phương trình ${x^2} - 3x + a = 0$ (1) có dạng phương trình bậc 2 ẩn $x$

Xét $\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4a = 9 - 4a$

Để phương trình có hai nghiệm thì $\Delta \ge 0$

$9 - 4a \ge 0$

$a \le \frac{9}{4}$

Với $a \le \frac{9}{4}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$

Áp dụng định lý Vi-et, ta có

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}\,.\,{x_2} = a\end{array} \right.$

Theo đề bài, phương trình có một nghiệm $x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$, nghiệm còn lại là

$x = 3 - \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}$

Khi đó ${x_1}\,.\,{x_2} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \cdot \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = 1$

Tổng lập phương hai nghiệm của phương trình là

${x_1}^3 + {x_2}^3$$= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}.{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$

$= {3^3} - 3.1.3$

$= 18$

Vậy tổng lập phương hai nghiệm của phương trình là $18$.

a) Hàng rào có chiều dài là:

$l + 2R = \frac{{\pi .200.72}}{{180}} + 2.200 = 80\pi + 400 \approx 651{,}2$ (m)

b) Diện tích khu đất là: $\frac{{\pi {{.200}^2}.72}}{{360}} = 8000\pi$ $\left( {{m^2}} \right)$

Diện tích trồng cỏ là: $8000\pi .\frac{{30}}{{100}} = 2400\pi \approx 7536$ $\left( {{m^2}} \right)$

a) Ta có $\widehat {ACB}$ chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ACB} = 90^\circ$

$\Delta EIB$ vuông tại $I$, cạnh huyền $EB$ nên ba điểm $E,I,B$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $EB$

$\Delta ECB$ vuông tại $C$, cạnh huyền $EB$ nên ba điểm $E,C,B$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $EB$

Do đó bốn điểm $I,E,C,B$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $EB$

Vậy tứ giác $IECB$ nội tiếp được trong đường tròn.

b) Ta có $\widehat {AME} = 90^\circ - \widehat {MAB} = \widehat {ABM} = \widehat {ACM}$ (Góc nội tiếp cùng chắn cung $AM$)

Xét $\Delta AME$ và $\Delta ACM$ có :

$\widehat {AME} = \widehat {ACM}$

$\widehat {CAM}$ chung

Suy ra $\Delta AME$$\Delta ACM$ (g.g)

Suy ra $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AM}}$ Suy ra $A{M^2} = AE.AC$

c) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta CME$

Vì $\widehat {AME} = \widehat {ACM}$ (cùng chắn hai cung bằng nhau) suy ra $AM$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta CME$ tại $M$

Mà $\widehat {AMB} = 90^\circ$ nên $BM \bot AM$ nên $J$ luôn thuộc đường thẳng$MB$

Do đó $NJ$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $J$ trung hình chiếu $H$ của $N$ trên cạnh $MB$, hay khi $C$ trùng với giao điểm của đường tròn $\left( {H;HM} \right)$ với $\left( O \right)$ thì khoảng cách từ $N$ đến tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta CME$ là nhỏ nhất.

Gọi độ dài của cạnh hình vuông nhỏ đã được cắt bỏ đi là $x$ ($m,0 < x < \frac{1}{2}$)

Khi đó chiều dài mặt đáy của hình hộp chữ nhật là $1 - 2x$ ($m$)

chiều rộng mặt đáy của hình hộp chữ nhật là $1 - 2x$ ($m$)

chiều cao của hộp là $x$ (m)

Thể tích của chiếc hộp là $x{\left( {1 - 2x} \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {1 - 2x} \right).\left( {1 - 2x} \right).4x$ (${m^3}$)

Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm và áp dụng cho bộ $1 - 2x;1 - 2x$ và $4x$.

$$\frac{1}{4}\left( {1 - 2x} \right).\left( {1 - 2x} \right).4x \le \frac{1}{4}{\left( {\frac{{1 - 2x + 1 - 2x + 4x}}{3}} \right)^3} \le \frac{2}{{27}}$$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $1 - 2x = 1 - 2x = 4x$. Từ đó tìm được $x = \frac{1}{6}$ (tmđk).