Đề thi thử vào 10 môn Toán năm 2026 THCS Tự Lập (Hà Nội) tháng 5/2026 có đáp án

Tần số của nhóm $\left[ {20\,;\,\,22} \right)$ là 86.

Tần số tương đối của nhóm $\left[ {20\,;\,\,22} \right)$ là: $\frac{{86}}{{500}} \cdot 100\% = 17{,}2\%$

Không gian mẫu Ω có 50 phần tử.

Khẳng định được các kết quả có thể xảy ra là đồng khả năng.

Có 8 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: thẻ ghi số $50\,;\,\,57\,;\,\,64\,;\,\,71\,;\,\,78\,;$$85\,;\,\,92\,;\,\,99.$

Xác suất của biến cố A là$\;P\left( A \right) = \frac{8}{{50}} = \frac{4}{{25}}.$

a) Thay $x = 36$ (TMĐK) vào biểu thức A, ta được:

$A = \frac{{\sqrt {36\;} - \;3}}{{\sqrt {36} \; + \;3}} = \frac{{6\; - \;3}}{{6\; + \;3}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$

b) Với $x \ge 0,\;x \ne 9$ ta có:

B = $\frac{{\sqrt x \; + \;3}}{{\sqrt x \; - \;3}} - \frac{5}{{\sqrt x \; + \;3}} - \frac{{30}}{{x\; - \;9}}$

= $\frac{{{{\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}} - \frac{{5\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}} - \frac{{30}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}$

= $\frac{{x\; + \;6\sqrt x \; + \;9\; - \;5\sqrt x \; + \;15\; - \;30}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}$ = $\frac{{x\; + \;\sqrt x \; - \;6}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}$

= $\frac{{x\; + \;3\sqrt x \; - \;2\sqrt x \; - \;6}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}$= $\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x \; + \;3} \right)\; - \;2\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}$

= $\frac{{\left( {\sqrt x \; - \;2} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}$= $\frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; - \;3}}$

Vậy B = $\frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; - \;3}}$ với $x \ge 0,\,\,\;x \ne 9$.

c) Với $x \ge 0,\,\,\;x \ne 9,$ ta có:

$P = A \cdot B = \frac{{\sqrt x \; - \;3}}{{\sqrt x \; + \;3}} \cdot \frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; - \;3}} = \frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; + \;3}}.$

Để $\left| P \right| > P$ hay $\left| {\frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; + \;3}}} \right| > \frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; + \;3}}$ khi và chỉ khi $\frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; + \;3}}$ < 0

Mà $\sqrt x + 3$ $\ge$ 3 > 0 với mọi $x \ge 0,\;x \ne 9$ nên $\sqrt x - 2$ < 0 hay x < 4.

Kết hợp với điều kiện $x \ge 0,\;x \ne 9$ ta có 0 ≤ x < 4 thỏa mãn $\left| P \right| > P$.

Khi đó giá trị nguyên lớn nhất của x để $\left| P \right| > P$ là x = 3 .

Vậy x = 3 là giá trị nguyên lớn nhất của x để $\left| P \right| > P$.

Gọi giá tiền niêm yết của một chiếc điện thoại là x (triệu đồng) và giá tiền niêm yết của một chiếc laptop là y (triệu đồng). Điều kiện: x, y > 0.

Tổng giá tiền niêm yết của hai sản phẩm là 39,3 triệu đồng nên x + y = 39,3.

Số tiền thực tế phải trả để mua một chiếc điện thoại là 0,85x (triệu đồng).

Số tiền thực tế phải trả để mua một chiếc laptop là 0,9y (triệu đồng).

Vì tổng số tiền thực tế bạn Phương phải trả là 34,59 triệu đồng nên$0{,}85x + 0{,}9y = 34{,}59.$

Từ đó ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x\; + \;y\; = \;39{,}3}\\{0{,}85x\; + \;0{,}9y\; = \;34{,}59}\end{array}} \right.$ .

Giải hệ phương trình ta được x = 15,6 (TMĐK), y = 23,7 (TMĐK).

Khi đó, số tiền thực tế bạn Phương đã thanh toán cho chiếc điện thoại là:

$0{,}85 \cdot 15{,}6 = \,13{,}26$ (triệu đồng).

Số tiền thực tế bạn Phương đã thanh toán cho chiếc laptop là:

$0{,}9 \cdot 23{,}7 = 21{,}33$ (triệu đồng).

Kết luận.

Gọi vận tốc xe máy điện của Nam thường ngày là x (km/h) (x > 0)

Khi đó, vận tốc xe máy điện của Nam khi tăng tốc là x + 6 (km/h)

Thời gian Nam đi từ nhà đến trường thường ngày là $\frac{{12}}{x}$ (giờ).

Đổi: 3 phút = $\frac{1}{{20}}$ giờ.

Ngày hôm nay, thời gian Nam đi 3 km đầu là: $\frac{3}{x}$ (giờ).

Ngày hôm nay, thời gian Nam đi 9 km còn lại là: $\frac{9}{{x\; + \;6}}$ (giờ).

Thời gian Nam đi từ nhà đến trường ngày hôm nay là: $\frac{3}{x} + \frac{1}{{20}} + \frac{9}{{x\; + \;6}}$ (giờ)

Vì sau khi tăng tốc, Nam vẫn đến trường đúng giờ nên ta có:

$\frac{{12}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{1}{{20}} + \frac{9}{{x\; + \;6}}$

Giải phương trình tìm được x = 30 (TMĐK).

Khi đó, vận tốc xe máy điện của Nam khi tăng tốc là 30 + 6 = 36 (km/h).

Vì 36 km/h < 40 km/h nên bạn Nam không vi phạm luật giao thông.

Vì phương trình ${x^2} + 10x + 4 = 0$ có hai nghiệm âm phân biệt ${x_1},{x_2}$ nên theo định lý Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = - 10.$

Vì ${x_1}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} + 10x + 4 = 0$ nên ${x_1}^2 + 10{x_1} + 4 = 0$.

Khi đó ${x_1}^2 + 10{x_1} + 4 - 16{x_1} + 5 = - 16{x_1} + 5$

${x_1}^2 - 6{x_1} + 9 = - 16{x_1} + 5$

${\left( {{x_1} - 3} \right)^2} = - 16{x_1} + 5$

Vì ${x_1} < 0$ nên $- 16{x_1} + 5 > 0$ và ${\left( {{x_1} - 3} \right)^2} > 0$

suy ra $\sqrt { - 16{x_1} + 5{\rm{\;}}} = \sqrt {{{\left( {{x_1} - 3} \right)}^2}}$ = $\left| {{x_1} - 3} \right| = 3 - {x_1}$ (do ${x_1} < 0)$.

Ta có: $A = \sqrt { - 16{x_1} + 5} - {x_2}$

= $3 - {x_1} - {x_2}$ = $3 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 3 - \left( { - 10} \right) = 13$

Vậy $A = 13$.

a) Bán kính đáy ly nước là: $R = \frac{5}{2} = 2{,}5{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}$

Thể tích lượng nước chứa trong ly là:

${V_n} = \pi {R^2}{h_n} = \pi \cdot {\left( {2{,}5} \right)^2} \cdot 10 = 62{,}5\pi \approx 196{,}35{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Vậy thể tích lượng nước chứa trong ly là 196,35 cm$^{3}$

b) Chiều cao nước tăng lên sau khi thả 5 viên bi vào ly là: .

Vì thể tích 5 viên bi bằng thể tích nước tăng lên nên ta có:

.

Khi đó, thể tích mỗi viên bi là:

${V_{bi}} = \frac{{31{,}25\pi }}{5} = 6{,}25\pi {\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Bán kính mỗi viên bi là: ${R_{bi}} = \sqrt[3]{{\frac{{{V_{bi}}}}{{\frac{4}{3}{\rm{\pi }}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{6{,}25{\rm{\pi }}}}{{\frac{4}{3}{\rm{\pi }}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{75}}{{16}}}} \approx {\rm{ }}1{,}674\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vậy bán kính mỗi viên bi là 1,674 cm.

a) Chỉ ra $\widehat {ACH} = \widehat {AKH} = 90^\circ$

Xét $\Delta ACH$ vuông tại $C$ nên ba điểm $A,\,\,C,\,\,H$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AH$ (1)

Xét $\Delta AKH$ vuông tại K nên ba điểm $A,\,\,K,\,\,H$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AH$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm $A,\,\,C,\,\,H,\,\,K$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh: KA.KB = KH.KD

Ta có: $\widehat {CAB} + \widehat {CBA} = 90^\circ$ ($\widehat {ACB} = 90^\circ )\;$ và $\widehat {KHB} + \widehat {CBA} = 90^\circ$ ($\widehat {HKB} = 90^\circ )$

Suy ra $\widehat {CAB} = \;\widehat {KHB}$ (cùng phụ $\widehat {CBA}$) hay $\widehat {DAK} = \;\widehat {KHB}$

Chỉ ra: : $\widehat {DKA} = \;\widehat {BKH = }90^\circ$ và $\widehat {DAK} = \;\widehat {KHB}\;\left( {cmt} \right)$

Khi đó: $\frac{{AK}}{{HK}} = \frac{{DK}}{{BK}}$ suy ra AK.BK = HK.DK.

IC là tiếp tuyến của (O)

Ta có $OB = OC = R$ suy ra $\Delta OBC$ cân tại $O$ nên $\widehat {OCB} = \;\widehat {OBC}$

Xét $\Delta HCD$ vuông tại $C$ và $I$ là trung điểm của $DH$ nên $IC = DI = IH$.

Vì $IC = IH$ nên $\Delta ICH$ cân tại $I$ nên $\widehat {ICH} = \;\widehat {IHC}$.

Mà $\widehat {IHC} = \;\widehat {KHB}$ (2 góc đối đỉnh) nên $\widehat {ICH} = \;\widehat {KHB}$.

Do đó $\widehat {ICO} = \;\widehat {ICH} + \widehat {OCB} = \widehat {KHB} + \widehat {OBC} = 90^\circ \;$suy ra $IC \bot OC.$

Mà $OC$ là bán kính của $\left( O \right)$ nên $IC$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

c)

Xét $\Delta ICO$ vuông tại $C$ và $\Delta IKO$ vuông tại $K.$

Từ đó, bốn điểm $I,\,\,C,\,\,K,\,\,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OI$.

Mà $S$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ICK$ nên $S$ là trung điểm của $OI$.

Chỉ ra $IP,\,\,OQ$ là các đường trung bình trong $\Delta AHD$ và $\Delta AHB$ nên $IP = OQ = \frac{1}{2}AH$ và $IP\,{\rm{//}}\,OQ.$

Suy ra $IPOQ$ là hình bình hành có $OI,\,\,PQ$ là đường chéo.

Mà $S$ là trung điểm của $OI$ nên theo tính chất.

hình bình hành ta có $S$ cũng là trung điểm của $PQ$. Khi đó, $P,\,\,Q,\,\,S$ thẳng hàng.

Vì chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là $\frac{{20}}{x} + 100$ (nghìn đồng) nên chi phí sản xuất mà doanh nghiệp phải chi trong một tháng là:

$\left( {\frac{{20}}{x} + 100} \right).x = 20 + 100x$ (nghìn đồng).

Lợi nhuận mà doanh nghiệp đạt được trong một tháng là:

$- 20{x^2} + 2200x - 19\,\,980 - \left( {20 + 100x} \right)$

$= - 20{x^2} + 2200x - 19\,\,980 - 20 - 100x$

$= - 20{x^2} + 2100x - 20\,\,000$ (nghìn đồng)

Đổi: 10 triệu đồng = 10 000 nghìn đồng

Để lợi nhuận đạt trên 10 triệu đồng (10 000 nghìn đồng) một tháng thì:

$- 20{x^2} + 2100x - 20\,\,000 > 10\,\,000$

$- 20{x^2} + 2100x > 30\,\,000$

$- 20\left( {{x^2} - 105x} \right) > 30\,\,000$

$- 20\left[ {{x^2} - 2 \cdot \frac{{105}}{2}x\; + \;{{\left( {\frac{{105}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{105}}{2}} \right)}^2}} \right] > 30\,\,000$

$- 20\left[ {{x^2} - 2 \cdot \frac{{105}}{2}x\; + \;{{\left( {\frac{{105}}{2}} \right)}^2}} \right] + 20 \cdot {\left( {\frac{{105}}{2}} \right)^2} > 30\,\,000$

$- 20{\left( {x - \frac{{105}}{2}\;} \right)^2} + 55\,\,125 > 30\,\,000$

$- 20{\left( {x - \frac{{105}}{2}\;} \right)^2} > - 25\,\,125$

${\left( {x - \frac{{105}}{2}\;} \right)^2} < \frac{{5025}}{4}$

$\frac{{ - \sqrt {5025} }}{2} < x - \frac{{105}}{2} < \frac{{\sqrt {5025} }}{2}$

$\frac{{105 - \sqrt {5025} }}{2} < x < \frac{{105 + \sqrt {5025} }}{2}$

$17{,}056 < x < 87{,}944$

Vì $x \in {\mathbb{N}^*}$nên giá trị nhỏ nhất của x để lợi nhuận đạt trên 10 triệu đồng một tháng là x = 18.

Khi đó, lợi nhuận của doanh nghiệp là:

$- 20 \cdot {18^2} + 2100 \cdot 18 - 20\,\,000 = 11\,\,320$ (nghìn đồng) $= 11{,}32$ (triệu đồng).

Vậy để lợi nhuận đạt trên 10 triệu đồng một tháng thì doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 18 sản phẩm. Khi đó, lợi nhuận là 11,32 triệu đồng.