Đề thi thử TS vào 10 (Tháng 1) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_THCS Cầu Giấy_Quận Cầu Giấy

Thay $x=4$ (thỏa mãn) vào biểu thức A có: $A=\frac{4}{\sqrt{4}+3}=\frac{4}{5}.$

Vậy khi $x=4$ thì $A=\frac{4}{5}.$

2) Gọi năng suất theo kế hoạch của xưởng là x $(x>0,\ x\in ℕ,$ bộ/ ngày).

Thì năng suất trên thực tế của xưởng là x+4 (bộ/ ngày).

Thời gian làm theo kế hoạch của xưởng là: $\frac{360}{x}$ (ngày).

Thời gian làm trên thực tế của xưởng là: $\frac{360}{x+4}$ (ngày).

Vì xưởng hoàn thành kế hoạch trước một ngày nên ta có phương trình: $\frac{360}{x}-\frac{360}{x+4}=1.$

Giải phương trình:

a) Xét đường tròn (O;R) có $\widehat{\mathrm{ACB}}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{\mathrm{ACB}}=90^{\circ},$ hay $\mathrm{AC}\perp \mathrm{CB}$ suy ra $\widehat{\mathrm{DCH}}=90^{\circ}$ hay tam giác DCH vuông tại C suy ra ba điểm D,C,H cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DCH có tâm là trung điểm của DH và bán kính bằng $\frac{1}{2}\mathrm{DH}$ (đường tròn đường kính DH)

Chứng minh tương tự ta có ba điểm D,M,H cùng thuộc đường tròn đường kính DH.

Vậy bốn điểm C,D,M,H cùng thuộc đường tròn đường kính DH

b) Ta có bốn điểm A,B,M,C cùng nằm trên đường tròn (O;R) nên tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn, suy ra $\widehat{\mathrm{ACM}}+\widehat{\mathrm{ABM}}=180^{\circ}$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Mà $\widehat{\mathrm{ACM}}+\widehat{\mathrm{MCD}}=180^{\circ}$ (kề bù) nên $\widehat{\mathrm{ABM}}=\widehat{\mathrm{MCD}}$ hay $\widehat{\mathrm{DBA}}=\widehat{\mathrm{DCM}}.$

$\widehat{\mathrm{CAM}},\widehat{\mathrm{CBM}}$ là các góc nội tiếp chắn cung CM suy ra $\widehat{\mathrm{CAM}}=\widehat{\mathrm{CBM}}$ hay $\widehat{\mathrm{DAM}}=\widehat{\mathrm{DBC}}$

Xét $\mathrm{ΔDCM}$ và $\mathrm{ΔDBA}$ có: $\widehat{\mathrm{ADB}}$ là góc chung và $\widehat{\mathrm{DCM}}=\widehat{\mathrm{DBA}}$ (chứng minh trên)

Do đó $\mathrm{ΔDCM}∽\mathrm{ΔDBA}$ (g.g).

c) Xét đường tròn (O;R) có $\widehat{\mathrm{CAM}},\ \widehat{\mathrm{COM}}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CM nên $\widehat{\mathrm{COM}}=2\widehat{\mathrm{CAM}}.$ (1)

Chứng minh tương tự câu a ta có bốn điểm $A\ ,\ C\ ,\ H\ ,\ K$ cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ACHK nội tiếp đường tròn, nên $\widehat{\mathrm{CAH}}=\widehat{\mathrm{CKH}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH) hay $\widehat{\mathrm{CAM}}=\widehat{\mathrm{CKH}}$

Chứng minh tương tự, ta có $\widehat{\mathrm{CBM}}=\widehat{\mathrm{MKH}}$.

Lại có $\widehat{\mathrm{CAM}}=\widehat{\mathrm{CBM}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CM của đường tròn (O)) nên $\widehat{\mathrm{CKH}}=\widehat{\mathrm{MKH}}$ hay KH là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{CKM}},$ suy ra $\widehat{\mathrm{CKM}}=2\widehat{\mathrm{CKH}}=2\widehat{\mathrm{CAM}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\mathrm{CKM}}=\widehat{\mathrm{COM}}.$

d) Ta có MP là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{AMB}}$ nên $\widehat{\mathrm{AMP}}=\widehat{\mathrm{BMP}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{AMB}}=\frac{1}{2}\cdot 90^{\circ}=45^{\circ}.$

Gọi Q là giao điểm của MP với đường tròn (O;R) Khi đó $\widehat{\mathrm{AQB}}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và $\widehat{\mathrm{ABQ}}=\widehat{\mathrm{AMQ}}=45^{\circ}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AQ của đường tròn (O))

Suy ra $\text{ΔQAB}$ vuông cân tại Q

Do đó $\sin \widehat{\mathrm{ABQ}}=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AB}}$ hay $\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AB}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AQ}}=\sqrt{2}.$

Xét $\mathrm{ΔMPA}$ và $\mathrm{ΔBPQ}$ có: $\widehat{\mathrm{AMP}}=\widehat{\mathrm{QBP}}$ (chứng minh trên) và $\widehat{\mathrm{MPA}}=\widehat{\mathrm{BPQ}}$ (đối đỉnh)

Do đó $\mathrm{ΔMPA}∽\mathrm{ΔBPQ}$ (g.g). Suy ra $\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{BP}}=\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{BQ}}$ hay $\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{MA}}=\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BQ}}.$

Tương tự $\mathrm{ΔMPB}∽\mathrm{ΔAPQ}$ (g.g), suy ra $\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{MB}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AQ}}.$

Do đó $\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{MA}}+\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{MB}}=\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BQ}}+\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AQ}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AQ}}=\sqrt{2}$ (do $\mathrm{BQ}=\mathrm{AQ}$ vì vuông cân tại Q.)

¬ Chứng minh bất đẳng thức bổ đề: Với $x > 0,\,\,y > 0$ ta luôn có $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}.$

Thật vậy, với $x > 0,\,\,y > 0$ ta có: ${\left( {x - y} \right)^2} \ge 0$

${x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0$

${x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4xy$

$\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy\left( {x + y} \right)}} \ge \frac{{4xy}}{{xy\left( {x + y} \right)}}$

$\frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left( {x - y} \right)^2} = 0$ hay $x = y.$ Bất đẳng thức trên đã được chứng minh.

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: $\frac{1}{{MA}} + \frac{1}{{MB}} \ge \frac{4}{{MA + MB}}$

Hay $\frac{{MP}}{{MA + MB}} \le MP \cdot \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{MA}} + \frac{1}{{MB}}} \right) = \frac{1}{4} \cdot \left( {\frac{{MP}}{{MA}} + \frac{{MP}}{{MB}}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $MA = MB.$

Vậy giá trị lớn nhất của $\frac{{MP}}{{MA + MB}}$ là $\frac{{\sqrt 2 }}{4}$ khi $MA\, = \,MB$ hay $M$ là điểm chính giữa cung $AB.$

Hướng dẫn giải

Gọi $a,\,\,b$ lần lượt là số thanh có độ dài là $0{,}7\,{\rm{m}}$ và $0{,}5\,{\rm{m}}$ được cắt nhỏ từ thanh sắt dài $7{,}4\,{\rm{m}}$ $\left( {a \in \mathbb{N},\,\,b \in \mathbb{N}} \right).$

Khi đó, ta có phương trình $0{,}7a + 0{,}5b = 7{,}4$ hay $7a + 5b = 74.$

Suy ra $b = \frac{{74 - 7a}}{5} = 15 - a - \frac{{1 + 2a}}{5}.$

Vì $b \in \mathbb{N}$ nên $\left( {1 + 2a} \right)\,\, \vdots \,\,5$ hay $\left( {1 + 2a} \right) \in \left\{ {0;\,\,5;\,\,10;\,\,15;\,\,20;\,\,25;\,\,...} \right\}$

Mà $1 + 2a$ là số lẻ nên $\left( {1 + 2a} \right) \in \left\{ {5;\,\,15;\,\,25;\,\,...} \right\}$ suy ra $a \in \left\{ {2;\,\,7;\,\,12;\,\,...} \right\}$

Lại có $74 = 7a + 5b \ge 7a$ nên $a \le \frac{{74}}{7}.$ Suy ra $0 \le a \le 10$ nên $a \in \left\{ {2;\,\,7} \right\}.$

Với $a = 2,$ ta có $b = 12$ (thỏa mãn).

Với $a = 7,$ ta có $b = 5$ (thỏa mãn).

Như vậy, có 2 cách cắt mỗi thanh sắt dài $7{,}4\,{\rm{m}}$ thành các thanh có độ dài là $0{,}7\,{\rm{m}}$ và $0{,}5\,{\rm{m}}{\rm{.}}$

Cách 1: Cắt thanh sắt dài $7{,}4\,{\rm{m}}$ thành 2 thanh $0{,}7\,{\rm{m}}$ và 12 thanh $0{,}5\,{\rm{m}}{\rm{.}}$

Cách 2: Cắt thanh sắt dài $7{,}4\,{\rm{m}}$ thành 7 thanh dài $0{,}7\,{\rm{m}}$ và 5 thanh dài $0{,}5\,{\rm{m}}{\rm{.}}$

⦁ Theo đề bài cần cắt $1000$ đoạn dài $0{,}7\,{\rm{m}}$ và $2000$ đoạn dài $0{,}5\,{\rm{m}}{\rm{.}}$

Do đó, nếu cắt theo cách 1 cần $500$ cây sắt dài $7{,}4\,{\rm{m}}$ khi đó thừa $\left( {500:2} \right) \cdot 12 - 2000 = 1000$ đoạn $0{,}5\,{\rm{m}}$ lãng phí.

Nếu cắt theo cách 2 thì cần $400$ cây sắt dài $7{,}4\,{\rm{m}}$ khi đó thừa $\left( {2000:5} \right) \cdot 7 - 1000 = 1800$ đoạn dài $0{,}7\,{\rm{m}}$ lãng phí.

Do vậy để tiết kiệm ta sẽ dùng cả 2 cách cắt trên.

⦁ Gọi $x$ là số cây sắt dài $7{,}4\,{\rm{m}}$ dùng để cắt theo cách 1, $y$ là số cây sắt dài $7{,}4\,{\rm{m}}$ dùng để cắt theo cách 2 $(x,\,y$ là các số tự nhiên khác 0)

Số đoạn sắt dài $0{,}7\,{\rm{m}}$ là: $2x + 7y$ đoạn.

Số đoạn sắt dài $0{,}5\,{\rm{m}}$ là $12x + 5y$ đoạn.

Vì cần $1000$ đoạn dài $0{,}7\,{\rm{m}}$ và $2000$ đoạn $0{,}5\,{\rm{m}}$ nên ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x + 7y = 1000\\12x + 5y = 2000\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình trên, ta được $x \approx 121{,}6$ và $y \approx 108{,}1.$

Ta lấy $x = 121$ và $y = 108$ thì sẽ cắt được tổng là $2 \cdot 121 + 7 \cdot 108 = 998$ đoạn $0{,}7\,{\rm{m}}$ và $12 \cdot 121 + 5 \cdot 108 = 1992$ đoạn $0{,}5\,{\rm{m}}.$

Ta chỉ cần cắt thêm 1 thanh theo cách 1 (thêm 2 thanh $0{,}7\,{\rm{m}}$ và 12 thanh $0{,}5\,{\rm{m),}}$ tức là đã dùng $121 + 108 + 1 = 230$ thanh sắt $7{,}4\,{\rm{m}}.$

Điều quan trọng lúc này chúng ta cần chỉ ra rằng cách này là tiết kiệm nhất.

Thật vậy, ta thấy tổng số độ dài của $1000$ đoạn $0{,}7{\rm{\;m}}$ và $2000$ đoạn $0{,}5\,{\rm{m}}$ là:

$1000 \cdot 0{,}7 + 2000 \cdot 0{,}5 = 1\,\,700{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Như vậy, phải dùng ít nhất là $1700:7{,}4 \approx 229{,}7 \approx 230$ thanh sắt $7{,}4\,{\rm{m}}.$

Vậy cần cắt 122 thanh theo cách 1 và 108 thanh theo cách 2 thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.