Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Thường Xuân 2 (Thanh Hóa) có đáp án

a-sai, b-đúng, c-sai, d-đúng.

a) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

$\vec n = \left( {10; - 43;7} \right)$ là một véctơ pháp tuyến của $(Q)$

b) Khẳng định đã cho là khẳng định đúng.

Tọa độ điểm $K\left( {5;2;5} \right)$ thỏa mãn phương trình $- 10x + 43y - 7z - 1 = 0$ nên điểm $K$ thuộc mặt phẳng $(Q)$ .

c) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

$\overrightarrow {{n_\gamma }} = \left( { - 10;43; - 7} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 20;86; - 14} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {{n_\gamma }} = 2\overrightarrow {{n_P}}$ và $- 1 \ne 2.\left( { - 1} \right)$ nên $(Q)$ và $\left( P \right)$ song song nhau.

d) Khẳng định đã cho là khẳng định đúng.

$\overrightarrow {{n_\gamma }} = \left( { - 10;43; - 7} \right),\overrightarrow {HC} = \left( { - 4;0; - 8} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow {{n_\gamma }} ,\overrightarrow {HC}$ làm cặp véctơ chỉ phương.

$\left[ {\overrightarrow {{n_\gamma }} ,\overrightarrow {HC} } \right] = \left( {344;52; - 172} \right)$ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Phương trình $\left( P \right):344\left( {x - 6} \right) + 52\left( {y - 2} \right) - 172\left( {z - 5} \right) = 0\; \Leftrightarrow 344x + 52y - 172z - 1308 = 0$.

Khi đó: $a + b + c = 224.$

a) Sai. Lợi nhuận khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức $P\left( x \right) = - 0.0004{x^2} + 10{,}4x$.

$P\left( x \right) = \int {P'\left( x \right)} dx = \int {\left( { - 0{,}0008x + 10{,}4} \right)dx = - 0.0004{x^2} + 10{,}4x + C}$.

Lợi nhuận ban đầu chưa có nên $P\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$.

Vậy $P\left( x \right) = - 0.0004{x^2} + 10{,}4x$.

b) Đúng. Lợi nhuận khi bán được $50$ sản phẩm đầu tiên là $519$ triệu đồng.

Ta có $P\left( {50} \right) = - 0,{0004.50^2} + 10{,}4.50 = 519$ (triệu đồng).

c) Sai. Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $50$ lên $a$ đơn vị sản phẩm lớn hơn $517$ triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của $a$ là $100$.

Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $50$ lên $a$ ($a \in \mathbb{N}$)đơn vị sản phẩm là

$\int\limits_{50}^a {P'\left( x \right)} dx = \int\limits_{50}^a {\left( { - 0{,}0008x + 10{,}4} \right)} dx = \left. {\left( { - 0{,}0004{x^2} + 10{,}4x} \right)} \right|_{50}^a = - 0{,}0004{a^2} + 10{,}4a - 519$triệu đồng.

Theo đề ta có

$- 0{,}0004{a^2} + 10{,}4a - 519 > 517 \Leftrightarrow - 0{,}0004{a^2} + 10{,}4a - 1036 > 0 \Leftrightarrow 100 < a < 25\,900$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $a$ là $101$.

d) Sai. Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $50$ lên $55$ đơn vị sản phẩm là $51{,}79$ triệu đồng.

Ta có $\int\limits_{50}^{55} {P'\left( x \right)} dx = \int\limits_{50}^{55} {\left( { - 0{,}0008x + 10{,}4} \right)} dx = \left. {\left( { - 0{,}0004{x^2} + 10{,}4x} \right)} \right|_{50}^{55} = 51{,}79$ triệu đồng.

a) Đúng. Xác suất sút không thành công tại chấm $11$ của cầu thủ Đình Bắc là $1 - 0{,}8 = 0{,}2$.

b) Sai. Xác suất sút không thành công tại chấm $11$ của cầu thủ Thái Sơn là $1 - 0{,}7 = 0{,}3$.

c) Sai. Xác suất cả hai cầu thủ sút không thành công tại chấm $11$ là $0{,}2.0{,}3 = 0{,}06$.

d) Đúng. Xác suất để ít nhất một người sút bóng thành công là: $1 - 0{,}06 = 0{,}94$.

a) Đúng

Xét hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 91$ $\Rightarrow$$f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3$.

b) Đúng

Xét $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.$.

Phương trình $f'\left( x \right) = 0$ có tập nghiệm là $S = \left\{ { - 1;1} \right\}$.

c) Sai

Ta có $f\left( 1 \right) = {1^3} - 3.1 + 9 = 7$.

d) Sai

Ta có trên $\left[ { - 2;2} \right]$

$f\left( { - 2} \right) = 7$ ; $f\left( { - 1} \right) = 11$ ; $f\left( 1 \right) = 7$ ; $f\left( 2 \right) = 7$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { - 2;2} \right]$ bằng $7$ khi $x = 1$; $x = - 2$.

Đáp án: 20

Chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ sao cho $A \equiv O$

$\Rightarrow$ cạnh cong $AE$ nằm trên parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$

$\left( P \right)$ đi qua các điểm $\left( {0;\,0} \right)$, $\left( {2;\,1} \right)$ và $\left( {4;\,\frac{7}{2}} \right)$ nên $\left( P \right):y = \frac{3}{{16}}{x^2} + \frac{1}{8}x$

Khi đó diện tích tam giác cong $ACE$ có diện tích $S = \int\limits_0^4 {\left( {\frac{3}{{16}}{x^2} + \frac{1}{8}x} \right)\,{\rm{d}}x} = 5\,{{\rm{m}}^2}$.

Vậy thể tích khối bê tông cần sử dụng là $V = 5.4 = 20\,{{\rm{m}}^3}$.

Đáp án: 48

Do $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = 10;AD = 12$ nên toạ độ điểm $B\left( {10;0;0} \right);\,C\left( {10;12;0} \right)$

Hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ là trung điểm của $BC$ nên toạ độ điểm $I\left( {10;12;9} \right)$

Khi đó: $E\left( {0;0;7} \right),F\left( {10;0;7} \right),I\left( {10;12;9} \right)$$\overrightarrow {EF} = \left( {10;0;0} \right),\overrightarrow {EI} = \left( {10;12;2} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {EFIK} \right)$ có vec tơ pháp tuyến $\vec n = \left[ {\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {EI} } \right] = \left( {0;1; - 6} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {EFIK} \right):y - 6z + 42 = 0$.Suy ra $a - b + c = 48$.

Đáp án: 1555.

Do chiếc may bay di duyển với tốc độ và hướng không đổi từ $A$ đến $B$ trong 10 phút và từ $B$ đến $C$ trong 10 phút.

Nên suy ra $AB = BC$ và $A,\,B,\,C$ thẳng hàng.

Suy ra $B$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\\{y_B} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2}\\{z_B} = \frac{{{z_A} + {z_C}}}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}950 = \frac{{812 + x}}{2}\\530 = \frac{{600 + y}}{2}\\6 = \frac{{5 + z}}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1088\\y = 460\\z = 7\end{array} \right.$.

Vậy $x + y + z = 1555$.

Đáp án: 1347

Lợi nhuận khi bán hết $x$ sản phẩm với $\left( {x \in {\mathbb{N}^*};\;1 \le x \le 4500} \right)$ là:

$L\left( x \right) = F\left( x \right) - x.G\left( x \right)$$= - 0{,}01{x^2} + 450x - 30000 - 340x$

$\Rightarrow L\left( x \right) = - 0{,}01{x^2} + 110x - 30000$ (nghìn đồng).

Để lợi nhuận thu được lớn hơn $100$ triệu đồng $= 100000$ (nghìn đồng).

$\Rightarrow L\left( x \right) > 100000$$\Leftrightarrow - 0{,}01{x^2} + 110x - 30000 > 100000$.

$\Leftrightarrow - 0{,}01{x^2} + 110x - 130000 > 0$$\Leftrightarrow 1346{,}68... < x < 9653{,}31...$

Giao với điều kiện $\left( {x \in {\mathbb{N}^*};\;1 \le x \le 4500} \right)$$\Rightarrow 1346{,}68... < x \le 4500$$\Rightarrow {x_{\min }} = 1347$ (sản phẩm)

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất $1347$ (sản phẩm).

Đáp án: 0,18

Gọi $A$ là biến cố không có hai người liền kề cùng đứng.

Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = {2^8} = 256$.

Rõ ràng nếu nhiều hơn $4$ đồng xu ngửa thì biến cố $A$ không xảy ra.

Để biến cố $A$ xảy ra có các trường hợp sau:

TH1: Có nhiều nhất $1$ đồng xu ngửa. Kết quả của trường hợp này là $1 + 8 = 9$.

TH2: Có $2$ đồng xu ngửa.

Hai đồng xu ngửa kề nhau: có $8$ khả năng.

Suy ra số kết quả của trường hợp này là $C_8^2 - 8 = 20$.

TH3: Có $3$ đồng xu ngửa.

Cả $3$ đồng xu ngửa kề nhau: có 8 kết quả.

Trong $3$ đồng xu ngửa, có đúng một cặp kề nhau: có $8.4 = 32$ kết quả.

Suy ra số kết quả của trường hợp này là $C_8^3 - 8 - 32 = 16$.

TH4: Có $4$ đồng xu ngửa.

Trường hợp này có $2$ kết quả thỏa mãn biến cố $A$ xảy ra.

Như vậy $n\left( A \right) = 9 + 20 + 16 + 2 = 47$.

Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là $P = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{47}}{{256}}$.

Đáp án: 0,5

Gọi $P$ là trung điểm$AC$, ta có $PM{\rm{//}}CD$ và $PN{\rm{//}}AB$, suy ra $\left( {\widehat {AB,CD}} \right) = \left( {\widehat {PM,PN}} \right)$.

Dễ thấy $PM = PN = a$.

Xét $\Delta PMN$ ta có ${\rm{cos}}\widehat {MPN} = \frac{{P{M^2} + P{N^2} - M{N^2}}}{{2PM.PN}} = \frac{{{a^2} + {a^2} - 3{a^2}}}{{2.a.a}} = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat {MPN} = 120^\circ \Rightarrow \left( {\widehat {AB,CD}} \right) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \Rightarrow \cos \left( {\widehat {AB,CD}} \right) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} = 0{,}5$.