Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Lê Quý Đôn (Hà Nội) lần 01 có đáp án

Chọn C

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy là $B$ và chiều cao là $h$ là $V = Bh$.

Chọn D

Hàm số có tiệm cận ngang là $y = 1$

Tiệm cận đứng là $x = - 1$

Đi qua điểm $\left( {0;2} \right)$,$\left( { - 2;0} \right)$ nên đồ thị trên ứng với hàm số $y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}$

Chọn D

Xét hàm số $y = - {x^3} - 3x + 1$$\Rightarrow y = - 3{x^2} - 3 < 0,\forall x \in \mathbb{R}$, suy ra hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Chọn C

Ta xét các khẳng định:
A. $|\overrightarrow {BD'} |$ là độ dài đường chéo của hình lập phương cạnh $a$. Ta có:
$B{D'^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{C'^2} = {a^2} + {a^2} + {a^2} = 3{a^2}$$\Rightarrow |\overrightarrow {BD'} | = \sqrt {3{a^2}} = a\sqrt 3$. Khẳng định A đúng.
B. Ta có $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD'}$ (quy tắc hình hộp). Khẳng định B đúng.
C. Vectơ $\overrightarrow {AC}$ là đường chéo của mặt phẳng đáy $ABCD$.
Vectơ $\overrightarrow {A'C'}$ là đường chéo của mặt phẳng trên $A'B'C'D'$.
Hai vectơ này song song và cùng hướng, nên $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'}$.
Do đó, $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AC}$.
Vì $a > 0$, nên $\overrightarrow {AC} \ne \vec 0$. Vậy $2\overrightarrow {AC} \ne \vec 0$. Khẳng định $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A'C'} = \vec 0$ là sai.
D. $|\overrightarrow {BD} |$ là độ dài đường chéo của hình vuông $ABCD$ cạnh $a$.
$B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}$
$|\overrightarrow {BD} | = \sqrt {2{a^2}} = a\sqrt 2$. Khẳng định D đúng.

Chọn B

Ta có $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$.
Theo tính chất của trọng tâm, với một điểm $A$ bất kì, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG}$.

Chọn C

Điều kiện xác định của phương trình: $2x - 1 > 0 \Leftrightarrow 2x > 1 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$.
Ta có phương trình: ${\log _5}(2x - 1) = 1$$\Leftrightarrow 2x - 1 = {5^1}$$\Leftrightarrow 2x = 5 + 1$$\Leftrightarrow x = 3$
Giá trị $x = 3$ thỏa mãn điều kiện xác định ($3 > \frac{1}{2}$).
Vậy nghiệm của phương trình là $x = 3$.

Chọn B

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[ - 1;3]$:

Giá trị lớn nhất ($M$): Quan sát đồ thị trên đoạn $[ - 1;3]$, điểm cao nhất của đồ thị là điểm tại

$x = - 1$ với giá trị $y = 2$. Vậy $M = 2$.

Giá trị nhỏ nhất ($m$): Quan sát đồ thị trên đoạn $[ - 1;3]$, điểm thấp nhất của đồ thị là điểm tại

$x = 2$ với giá trị $y = - 4$. Vậy $m = - 4$.

Khi đó, $M + m = 2 + ( - 4) = 2 - 4 = - 2$.

Vậy đáp án đúng là B.

Chọn C

Số hạng thứ hai của cấp số nhân: ${u_2} = {u_1} \times q = 7 \times 3 = 21$.

Chọn B

Số các số tự nhiên có hai chữ số: $9 \times 10 = 90$ (số).

Số các số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho $5$: $9 \times 2 = 18$ (số).

Xác suất cần tính: $\frac{{18}}{{90}} = \frac{1}{5}$.

Chọn D

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: $4{,}2 - 2{,}7 = 1{,}5$${\rm{km}}$.

Chọn A

Ta có: $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu đạo hàm:

Vậy hàm số đã cho có $2$ điểm cực trị.

Ta có $f'\left( x \right) = {\left( {{x^2}.{e^x}} \right)^\prime } = 2x.{e^x} + {x^2}.{e^x} = \left( {{x^2} + 2x} \right).{e^x}$. d). Đúng

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x} \right).{e^x} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.$. a). Sai

$f\left( { - 1} \right) = \frac{1}{e};\,f\left( 0 \right) = 0;\,f\left( 1 \right) = e \Rightarrow 0 < \frac{1}{e} < e$. $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;\,1} \right]} f\left( x \right) = 0$. b). Sai

BBT

Hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;\, - 2} \right)$ và $\left( {0;\, + \infty } \right)$; nghịch biến trên $\left( { - 2;\,0} \right)$. c). Sai

a) Từ đồ thị ta có hàm số $y = f'\left( x \right)$ có dạng $f'\left( x \right) = a{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)$.

Đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ đi qua $\left( {0; - 4} \right)$ nên $a = 1$.

Do đó $f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)$.

Vậy $f'\left( 2 \right) = 16$.

b) Dựa vào đồ thị hàm số $f'\left( x \right)$ ta có $f'\left( x \right) \le 0,\forall x \le 1$ và $f'\left( x \right) > 0,\forall x > 1$ nên

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

c) Ta có $g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Số nghiệm của $\left( 1 \right)$ là số giao điểm của $y = f\left( x \right)$) và $y = x - 1$. Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng 1 hệ trục tọa độ ta thấy 2 đồ thị cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ $x = - 3,x = - 1,x = 1$.

Bảng biến thiên

Hàm số $g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{1}{2}{x^2} + x + 2026$ đồng biến trên khoảng $\left( {1;2026} \right)$.

d) Vì từ đồ thị của hàm số $y = f'\left( x \right)$ ta thấy $y = f'\left( x \right)$ chỉ đổi dấu một lần qua $x = 1$ nên hàm số có một điểm cực trị.

a) Sai

Ta có vị trí của ra đa là $O(0;0;0);\,D(20;0;9)$

Vậy $OD = \sqrt {{{20000}^2} + {{9000}^2}} \approx 22000$($m$)

b) Đúng

Vị trí cuối cùng của máy bay là $E(0;16;12)$

Gọi điểm chính giữa của $DE$ là điểm $I \Rightarrow I\left( {10;8;\frac{{21}}{2}} \right)$

Vậy cao độ của điểm $I$ là khoảng cách của máy bay so với mặt đất, nên khi này máy bay cách mặt đất $\frac{{21}}{2} \times 1000 = 10500\,m$.

c) Đúng

Ta có $\overrightarrow {DE} ( - 20;16;3)$

Phương trình đường thẳng $DE:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 20 - 20t\\y = 16t\\z = 9 + 3t\end{array} \right.,\,t \in \mathbb{R}$

Với $t = \frac{1}{5} \Rightarrow P\left( {16;\frac{{16}}{5};\frac{{48}}{5}} \right) \in DE$

Vậy trên quãng đường bay từ $D$ đến $E$, máy bay sẽ bay qua vị trí $P\left( {16;\frac{{16}}{5};\frac{{48}}{5}} \right)$.

d) Đúng

Gọi $M \in DE \Rightarrow M\left( {20 - 20t;16t;9 + 3t} \right)$

$OM \le 20 \Rightarrow {\left( {20 - 20t} \right)^2} + {(16t)^2} + {(9 + 3t)^2} \le 400$

$\Leftrightarrow 665{t^2} - 746t + 81 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{81}}{{665}} \le t \le 1$

Với $t = \frac{{81}}{{665}} \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{{2336}}{{133}};\frac{{1296}}{{665}};\frac{{6228}}{{665}}} \right) \in DE$

Với $t = 1 \Rightarrow {M_2}\left( {0;16;12} \right) \in DE$

$\Rightarrow {M_1}{M_2} \approx 22600\,m$.

a) Áp dụng công thức: $X = \frac{{A{{(1 + r)}^n}.r}}{{{{(1 + r)}^n} - 1}}$

Trong đó: $X:$ Số tiền cần trả hàng tháng

$A:$Số tiền vay ngân hàng

$r:$lãi suất hàng tháng

$n:$Số tháng trả hết nợ

Thay số: $X = \frac{{100{{(1 + 1\% )}^{60}}.1\% }}{{{{(1 + 1\% )}^{60}} - 1}} = 2.225tr \approx 2.3tr$

$\Rightarrow a$) Sai

b) Nếu ông Minh mỗi tháng đến ngân hàng hoàn nợ $3$triệu đồng thì ngay sau khi hoàn nợ lần thứ nhất, số tiền còn nợ ngân hàng của ông Minh là: $100tr + 100tr.1\% - 3tr = 98tr$

Số tiền còn nợ ngân hàng của ông Minh sau khi hoàn nợ lần thứ 2 là:

$98tr + 98tr.1\% - 3tr = 95{,}98tr$

$\Rightarrow b$) Sai

c) Hết tháng thứ nhất, ông Minh đến ngân hàng hoàn nợ 2 triệu đồng thì số tiền còn nợ ngân hàng

$100tr + 100tr.1\% - 2tr = 99tr$

Suy ra ngay trước ngày hoàn nợ lần hai là: $99tr + 99tr.1\% - 2tr = 99{,}99tr$

$\Rightarrow c$) đúng

d) Ông Minh vay ngân hàng $100$triệu đồng với lãi suất không đổi trong suốt quá trình vay là $1\%$/tháng. Sau tháng thứ nhất kể từ ngày vay, số tiền ông Minh nợ ngân hàng là:

$100tr + 100tr.1\% = 101tr$

$\Rightarrow d$) Đúng

Đáp án: $30{,}4$.

Cỡ mẫu $n = 30$

* Tính ${Q_1}$

Ta có $\frac{n}{4} = 7{,}5 \Rightarrow {Q_1} \in \left[ {120;140} \right)$

-> ${Q_1} = 120 + \left( {7{,}5 - 6} \right) \times \frac{{140 - 120}}{8} = \frac{{495}}{4}$

* Tính ${Q_3}$

Ta có $\frac{{3n}}{4} = 22{,}5 \Rightarrow {Q_3} \in \left[ {140;160} \right)$

-> ${Q_3} = 140 + \left[ {22{,}5 - \left( {6 + 8} \right)} \right] \times \frac{{160 - 140}}{{12}} = \frac{{925}}{6}$

Suy ra khoảng tứ phân vị của mẫu là

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{925}}{6} - \frac{{495}}{4} = \frac{{365}}{{12}} \approx 30{,}4$

Đáp án: $11{,}7$

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Lúc khó: $A\left( {0{,}0{,}0} \right),B\left( {20{,}0{,}0} \right),D\left( {0{,}20{,}0} \right),D\prime \left( {0{,}20{,}20} \right)$

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AD\prime$ là $\overrightarrow {AD'} = \left( {0{,}20{,}20} \right)$ và độ dài $\left| {\overrightarrow {AD'} } \right| = 20\sqrt 2$

Kiến vàng đi thẳng từ $A$ đến $D'$ với vận tốc $2{\rm{ cm/s}}$

⇒ Vectơ vận tốc kiến vàng: ${\vec v_1} = \frac{{\overrightarrow {AD'} }}{{\left| {\overrightarrow {AD'} } \right|}}.{v_1} = \left( {0;\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)$

- Vectơ chỉ phương đường thẳng $DB$ là $\overrightarrow {DB} = \left( {20, - 20{,}0} \right)$ và độ dài $\left| {\overrightarrow {DB} } \right| = 20\sqrt 2$

Kiến đen đi thẳng từ $D$ đến $B$ với vận tốc $3{\rm{ cm/s}}$.

⇒ Vectơ vận tốc kiến đen: ${\vec v_2} = \frac{{\overrightarrow {BD} }}{{\left| {BD} \right|}}.{v_2} = \left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}, - \frac{3}{{\sqrt 2 }},0} \right)$

Gọi $t$ (giây) là thời gian kể từ lúc xuất phát.

* Vị trí kiến vàng tại thời điểm t là $M\left( t \right) = \left( {0,\sqrt 2 t,\sqrt 2 t} \right)$

* Vị trí kiến đen tại thời điểm t là $N\left( t \right) = \left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}t,20 - \frac{3}{{\sqrt 2 }}t,0} \right)$

Khoảng cách giữa hai chú kiến là $MN$ và

$M{N^2}(t){\rm{ }} = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}t} \right)^2} + {\left( {20 - \frac{3}{{\sqrt 2 }}t - \sqrt 2 t} \right)^2} + {(\sqrt 2 t)^2} = 19{t^2} - 100\sqrt 2 t + 400$

Giá trị nhỏ nhất của $M{N^2}$ đạt được khi: $t = \frac{{50\sqrt 2 }}{{19}}$

Khi đó: $M{N_{\min }} = \sqrt {\frac{{2600}}{{19}}} \approx 11{,}7\left( {\;{\rm{cm}}} \right)$

Đáp án: 7

Số sản phẩm xuất khẩu là $E\left( x \right) = R\left( x \right) - Q\left( x \right) = 40x - 3200$.

Vì $E\left( x \right) > 0$ nên $x > 80$

Lợi nhuận xuất khẩu là

$$L\left( x \right) = \left( {150 - x - a} \right)\left( {40x - 3200} \right)$$

Thuế nhà nước thu là $T\left( x \right) = a\left( {40x - 3200} \right)$

Theo đề bài tỉ lệ 4:1 nên $\frac{{L\left( x \right)}}{{T\left( x \right)}} = 4 \Leftrightarrow x = 150 - 5a$.

Với $x = 150 - 5a$ ta có $L\left( a \right) = 4a\left( {2800 - 200a} \right) \le 100{\left( {2a + 28 - 2a} \right)^2} = 78400$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $2a = 28 - 2a \Leftrightarrow a = 7$.

Đáp án: $0{,}5$.

Dễ thấy $BD \bot \left( {SAC} \right)$ và cắt $\left( {SAC} \right)$ tại $O$, nên trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$từ $O$ kẻ $OH \bot SC$ thì $OH$ là đường vuông góc chung của $SC$ và $BD$ và $BD$. Suy ra $d\left( {BD,SC} \right) = OH$

Trong tam giác vuông $SAC$ kẻ $AK||OH$ ($OK \bot SC$) và $OH = \frac{1}{2}AK$.

Do $AK$ là đường cao của tam giác vuông $SAC$ nên $\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{S^2}}} = \frac{2}{{A{C^2}}} = \frac{2}{{{{\left( {1\sqrt 2 } \right)}^2}}} = 1 \Rightarrow AK = 1$ (do tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$)

Vậy $d\left( {BD,SC} \right) = \frac{1}{2}.1 = 0{,}5$.

Đáp án: 0,88.

Ta có: ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AB.AD.AA' = 10.30.2 = 600{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}.$

$\begin{array}{l}FC' = ED' = 2 - 1{,}7 = 0{,}3{\rm{ m}}\\{S_{B'C'FM}} = \frac{{MF + B'C'}}{2}.FC' = \frac{{20 + 30}}{2}.0{,}3 = 25.0{,}3 = 7{,}5{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\\{V_{B'C'FM.A'D'EN}} = {S_{B'C'FM}}.A'B' = 7{,}5.10 = 75{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}.\end{array}$

Vậy tỉ số cần tìm là: $t = \frac{{600 - 75}}{{600}} = \frac{{525}}{{600}} = \frac{7}{8} = 0{,}875 \approx 0{,}88.$

Đáp án: –37.

+ Gọi C: “lấy được 3 bi đỏ từ hộp$C$”

${B_i}$: “lấy $i$bi đỏ hộp$B$”

${A_i}$: “Lấy $i$bi đổ hộp$A$”

+ Ta có

$$\begin{array}{l}P\left( C \right) = P\left( {{A_0}} \right)P\left( {{B_1}/{A_0}} \right)P\left( {C/{B_1}} \right) + P\left( {{A_0}} \right)P\left( {{B_2}/{A_0}} \right)P\left( {C/{B_2}} \right) + P\left( {{A_1}} \right)P\left( {{B_1}/{A_1}} \right)P\left( {C/{B_1}} \right) + \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + P\left( {{A_1}} \right)P\left( {{B_2}/{A_1}} \right)P\left( {C/{B_2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{3}{8}.\frac{{2.3}}{{C_5^2}}.\frac{1}{{C_6^3}} + \frac{3}{8}.\frac{1}{{C_5^2}}.\frac{{C_4^3}}{{C_6^3}} + \frac{5}{8}.\frac{{2.3}}{{C_5^2}}.\frac{1}{{C_6^3}} + \frac{5}{8}.\frac{{C_3^2}}{{C_5^2}}.\frac{{C_4^3}}{{C_6^3}} = \frac{3}{{40}} \Rightarrow a = 3;b = 40.\end{array}$$

Vậy $a - 40 = - 37$.