Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 TH,THCS& THPT Lê Thánh Tông (Hồ Chí Minh) tháng 2 có đáp án

Chọn B

$\int {{4^x}dx = } \frac{{{4^x}}}{{2\ln 2}} + C$.

Chọn C

Trung vị ${Q_2}$ của mẫu số liệu trên thuộc khoảng $\left[ {6;8} \right)$.

Chọn C

$\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;1;1} \right)$

Đường thẳng đi qua $A\left( {2;1;3} \right)$ và song song với đường thẳng BC nhận $\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;1;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc: $\frac{{z - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}$.

Chọn D

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = - \frac{b}{c} = 2 \Rightarrow b = - 2c$.

Đồ thị đi qua điểm $\left( {0; - 1} \right)$$\Rightarrow \frac{2}{b} = - 1 \Rightarrow b = - 2$$\Rightarrow c = 1$.

Chọn A

Ta có ${2^x} < 1 \Leftrightarrow x < 0.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty ;0} \right).$

Chọn A

Mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + z + 3 = 0$có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;1} \right)$.

Chọn A

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow$ý B đúng.

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SA \bot BC$

Vì $ABCD$là hình vuông nên $AB \bot BC$

Ta có $\left. \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SBC} \right).$ Vậy ý C đúng

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SA \bot BD$

Vì $ABCD$là hình vuông nên $BD \bot AC$.

Ta có $\left. \begin{array}{l}BD \bot SA\\BD \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right).$ Vậy ý D đúng.

Chọn D

Ta có: ${3^{2x + 1}} = 27$ $\Leftrightarrow$ ${3^{2x + 1}} = {3^3}$$\Leftrightarrow$ $2x + 1 = 3$$\Leftrightarrow$ $x = 1.$

Chọn D

Ta có ${u_2} = {u_1} + d \Rightarrow {u_2} = 8 + 3 = 11$.

Chọn C

Xét hình bình hành $ACC'A'$ có: $\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC'}$.

Chọn C

Từ đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đồng biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$.

Chọn C

Ta có $V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}^2}dx = \frac{{33\pi }}{5}}$.

a) ĐÚNG

Theo bài $f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\,\,\,\,(x > 0)$$\Rightarrow f'(x) = \frac{{ - {x^2} + 12}}{{{x^2}}}\, = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 3 \\x = - 2\sqrt 3 \end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Đỉnh cao nhất của hòn đảo là điểm $D\,\,\left( {2\sqrt 3 \,;\,10 - 4\sqrt 3 } \right)$ $I\,\left( {2\,;\,8} \right)$

Khi đó $DI = \sqrt {{{\left( {2 - 2\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 4\sqrt 3 } \right)}^2}} \approx 5{,}14$

Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là $100\,(m)$, nên khoảng cách thực tế từ $D$ đến $I$ là $DI \approx 514\,\,\,(m)$. Vậy (a) đúng.

b) ĐÚNG

Đồ thị hàm số $f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}$ có tiệm cận đứng là $x = 0$, và tiệm cận xiên là $y = - x + 10$

Tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số $f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}$ là giao điểm của hai đường tiệm cận đứng và xiên, nên tâm $M\,\left( {0\,;\,10} \right)$. Vậy (b) đúng.

c) SAI

Quãng đường ngắn nhất từ hòn đảo đến điểm $I$ là khoảng cách ngắn nhất giữa điểm $N\,\left( {x\,;\,\frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}} \right)$ nằm trên đồ thị hàm sô $f(x)$ với điểm $I$. Ta có $I{N^2} = \,{\left( {x - 2\,} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - {x^2} + 2x - 12}}{x}} \right)^2}$. Đặt $g(x) = \,{\left( {x - 2\,} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - {x^2} + 2x - 12}}{x}} \right)^2}$.

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm $g(x)$ với $x > 0$

$\Rightarrow g'(x) = \,\frac{{4{x^4} - 8{x^3} + 48x - 288}}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow 4{x^4} - 8{x^3} + 48x - 288 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 3{,}13\\x \approx - 2{,}80\,\,\,(Loai)\end{array} \right.$

Vậy $\mathop {\min }\limits_{x > 0} g(x) = g(3{,}13) \approx 5{,}0908$

Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là $100\,(m)$, nên khoảng cách thực tế $IN \approx 509\,\,\left( m \right)$. Vậy (c) Sai.

d) ĐÚNG

Vì $AB{\rm{//}}Ox$, nên $A\,,\,B$ có cùng tung độ $\Rightarrow {y_A} = {y_B} = {y_0}$. Nên dây phao $AB$ nằm trên đường thẳng $y = {y_0}$, và có ${x_A}\,,\,{x_B}$ là nghiệm của phương trình ${y_0} = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{y_0} - 10} \right)\,x + 12 = 0$

Theo Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_A}\, + {x_B} = 10 - {y_0}\\{x_A}\,.\,{x_B} = 12\end{array} \right.$

Chiều dài dây phao $AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 4.{x_A}{x_B}} = \sqrt {{{\left( {10 - {y_0}} \right)}^2} - 48}$

Khoảng cách từ điểm $I\,\left( {2\,;\,8} \right)$ đến dây phao $AB$ là $h = \left| {{y_I} - {y_0}} \right| = \left| {8 - {y_0}} \right|$

Dựa vào hình vẽ, trạm $I$ nằm cao hơn dây phao $AB\,\,\left( {{y_I} > {y_0}} \right)$, nên $h = 8 - {y_0}$

Theo giả thiết khoảng cách từ điểm $I$ đến $AB$ bằng chiều dài $AB$, nên ta có:

$h = AB \Rightarrow 8 - {y_0} = \sqrt {{{\left( {10 - {y_0}} \right)}^2} - 48}$ (ĐK: $8 - {y_0} \ge 0 \Leftrightarrow {y_0} \le 8$)

$\Leftrightarrow {\left( {8 - {y_0}} \right)^2} = {\left( {10 - {y_0}} \right)^2} - 48 \Leftrightarrow 64 - 16{y_0} + y_0^2 = 100 - 20\,{y_0} + y_0^2 - 48 \Leftrightarrow {y_0} = - 3$

Vậy độ dài đáy $AB = 8 - {y_0} = 8 - ( - 3) = 11$$\Rightarrow h = 11\,\,$

Diện tích tam giác $IAB$ là $S = \frac{1}{2}.AB.h = \frac{1}{2}.11.\,11 = \frac{{121}}{2} = 60{,}5\,\,$(đvdt)

Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là $100\,(m)$, nên diện tích vùng an toàn $\Delta \,IAB$ là

$S = 60{,}5\,\,{\rm{x}}{100^2} = 605000\,\,({m^2})$

Vậy (d) đúng.

Gọi các biến cố:

$A$: "Người được chọn có kết quả xét nghiệm Dương tính". Ta có $P(A) = 0{,}12$.

$\bar A$: "Người được chọn có kết quả xét nghiệm Âm tính". Suy ra $P(\bar A) = 1 - 0{,}12 = 0{,}88$.

$B$: "Người được chọn thực sự đang nhiễm bệnh".

$\bar B$: "Người được chọn thực sự không nhiễm bệnh".

Theo giả thiết bài toán:

Trong số người Dương tính, có $5\%$ không nhiễm bệnh: $P(\bar B|A) = 0{,}05$.

Trong số người Âm tính, có $2\%$ nhiễm bệnh: $P(B|\bar A) = 0{,}02$. Suy ra $P(\bar B|\bar A) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98$.

a) SAI

Xác suất để người đó có kết quả Âm tính là$0{,}98$.

Ta cần tính xác suất biến cố $\bar A$.

Theo tính toán ở trên: $P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}12 = 0{,}88$.

Vì $0{,}88 \ne 0{,}98$, nên nhận định (a) là SAI.

b) ĐÚNG

Xác suất để người đó thực sự không nhiễm bệnh, biết rằng kết quả xét nghiệm là Âm tính, bằng $0{,}98$.

Đây chính là xác suất có điều kiện $P(\bar B|\bar A)$.

Theo dữ kiện đã phân tích ở trên: $P(\bar B|\bar A) = 0{,}98$.

Nhận định (b) là ĐÚNG.

c) ĐÚNG

Xác suất để người đó thực sự không nhiễm bệnh là $0{,}8684$.

Ta cần tính $P(\bar B)$. Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$P(\bar B) = P(A) \cdot P(\bar B|A) + P(\bar A) \cdot P(\bar B|\bar A)$

$P(\bar B) = 0{,}12 \cdot 0{,}05 + 0{,}88 \cdot 0{,}98$

$P(\bar B) = 0{,}006 + 0{,}8624 = 0{,}8684$

Nhận định (c) là ĐÚNG.

d) SAI

Xác suất để người đó có kết quả Âm tính, biết rằng người đó thực sự không nhiễm bệnh bé hơn$0{,}99$.

Ta cần tính $P(\bar A|\bar B)$. Áp dụng định lý Bayes:

$P(\bar A|\bar B) = \frac{{P(\bar A) \cdot P(\bar B|\bar A)}}{{P(\bar B)}}$

$P(\bar A|\bar B) = \frac{{0{,}88 \cdot 0{,}98}}{{0{,}8684}} = \frac{{0{,}8624}}{{0{,}8684}} \approx 0{,}9931$

Vì $0{,}9931 > 0{,}99$, nên phát biểu "bé hơn 0,99" là không chính xác.

Nhận định (d) là SAI.

a) Ta có tọa độ trung điểm $AB$ là $\left( {2;2;1} \right)$.

Chọn ĐÚNG.

b) Tọa độ vec tơ $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} - 2\overrightarrow {OC}$ là $\left( {0;4;0} \right)$

Chọn SAI.

c) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2;2; - 2} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1 - 1} \right)$

Gọi góc giữa hai đường thẳng $AB,AC$ là $\varphi$

Ta có $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right|$$= \frac{{\left| {2 - 2 + 2} \right|}}{{\sqrt {12} .\sqrt 3 }} = \frac{1}{3}$.

Chọn ĐÚNG

d) Ta có $P = 2{c^2} - 4c + 24$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $22$ khi $c = 1$

Chọn SAI.

a) Đáp án: SAI

Tính diện tích lớn nhất của mặt cắt ngang

Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất ($x = 0$) là hình vuông có cạnh ${L_{max}} = 14\sqrt 2 {\rm{ cm}}$.

Diện tích của mặt cắt này là: ${S_{max}} = {({L_{max}})^2} = {(14\sqrt 2 )^2} = 196 \times 2 = 392{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2})$

b) Đáp án: ĐÚNG

Tìm phương trình Parabol $y = f(x) = a{x^2} + c.$

$f(0) = 14 \Rightarrow c = 14$.

$f(20) = a{(20)^2} + 14 = 10 \Rightarrow 400a = - 4 \Rightarrow a = - \frac{1}{{100}}$.

Vậy phương trình là: $y = f(x) = - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14$.

c) Đáp án: ĐÚNG

Cạnh hình vuông tại vị trí $x$ là $L(x) = \sqrt 2 \cdot f(x) = \sqrt 2 ( - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14)$.

Diện tích mặt cắt ngang tại $x$ là $S(x) = {[L(x)]^2} = 2 \cdot {( - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14)^2}$.

Thể tích đèn lồng là:

$V = \int_{ - 20}^{20} S (x)dx = \int_{ - 20}^{20} 2 {\left( { - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14} \right)^2}dx$

$V = 2\int_{ - 20}^{20} {\left( {\frac{1}{{10000}}{x^4} - 0{,}28{x^2} + 196} \right)} dx$

$V = 2\left[ {\frac{{{x^5}}}{{50000}} - \frac{{0{,}28{x^3}}}{3} + 196x} \right]_{ - 20}^{20} \approx 12949{,}33{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}$

Đổi ra lít: $V \approx 12{,}95$ lít.

d) Đáp án: ĐÚNG

Ta chỉ cần xét tại nửa trên của đèn lồng chứa bóng đèn.

Tại độ cao $x$(so với mặt cắt ngang có diện tích lớn nhất), mặt cắt ngang của đèn là hình vuông $\left( {{H_x}} \right)$ có cạnh $L(x) = \sqrt 2 \cdot f(x) = \sqrt 2 \left( { - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14} \right)$.

Khoảng cách ngắn nhất từ tâm đèn đến cạnh của hình vuông $\left( {{H_x}} \right)$ là

$d(x) = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{[h(x)]}^2}} = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + \frac{1}{2}{{\left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right)}^2}}$

Xét hàm số $g(x) = {[d(x)]^2} = {(x - 2)^2} + \frac{1}{2}{\left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right)^2}$.

$g'(x) = 2(x - 2) + \left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right) \cdot \left( { - \frac{{2x}}{{100}}} \right) = 2x - 4 - \frac{{28x}}{{100}} + \frac{{2{x^3}}}{{10000}}$

$g'(x) = \frac{{{x^3}}}{{5000}} + 1.72x - 4$

Giải phương trình $g'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^3}}}{{5000}} + 1.72x - 4 = 0$, tìm được nghiệm ${x_0} \approx 2.32$.

Giá trị khoảng cách nhỏ nhất là ${d_{min}} = d\left( {{x_0}} \right).$.

Theo quy định an toàn, khoảng cách từ mặt bóng đèn (cách tâm bóng đèn một khoảng $R$) đến thành đèn phải ít nhất $7{\rm{ cm}}$nên

${d_{min}} - R \ge 7 \Rightarrow R \le {d_{min}} - 7$

${R_{max}} = 2{,}8666{\rm{ (cm)}}$

Bán kính lớn nhất của chiếc bóng đèn được chọn là $2{,}8666{\rm{ cm}}$.

Đáp án: 71.

Xác định không gian mẫu:

+ Số cách để sau 4 bước đi, Mã quay về ô D4 (Bước 3 và 4 chỉ có $1$ cách đi để quay về ô D4):

Bước 1 có $8$ cách đi.

Bước 2 có $6$ cách đi.

Trừ ra $4$ cách đi Mã vượt khỏi giới hạn bàn cờ.

$\Rightarrow$ Có $8 \times 6 - 4 = 44$ cách đi.

+ Số cách để sau 3 bước đi, Vua quay về ô F6 (Bước 3 chỉ có $1$ cách đi để quay về ô F6):

Vua đi ngang hoặc dọc: Bước 1 có $4$ cách đi, Bước 2 có $4$ cách đi.

Vua đi chéo: Bước 1 có $4$ cách đi, Bước 2 có $2$ cách đi.

$\Rightarrow$ Có $4 \times 4 + 4 \times 2 = 24$ cách đi.

+ Số phần tử không gian mẫu: $44 \times 24 = 1056$ cách đi.

Xác định các trường hợp thuận lợi:

Mã và Vua có thể cùng đứng ở các ô E5, E6, E7, F5, G5, G7.

+ Mã đi Bước 1 và Vua đi Bước 1 cùng đứng ở ô E6/F5:

Mã: Bước 2 có có $6$ cách đi.

Vua: Bước 2 có có $4$ cách đi.

$\Rightarrow$ Có $\left( {6 \times 4} \right) \times 2 = 48$ cách đi.

+ Mã đi Bước 2 và Vua đi Bước 1 cùng đứng ở ô E5/E7/G5/G7:

Mã: Bước 1 có $2$ cách đi.

Vua: Bước 2 có $2$ cách đi.

$\Rightarrow$ Có $\left( {2 \times 2} \right) \times 4 = 16$ cách đi.

+ Mã đi Bước 2 và Vua đi Bước 2 cùng đứng ở ô E5/E7/G5/G7:

Mã: Bước 1 có $2$ cách đi.

Vua: Bước 1 có $2$ cách đi.

$\Rightarrow$ Có $\left( {2 \times 2} \right) \times 4 = 16$ cách đi.

+ Mã đi Bước 3 và Vua đi Bước 2 cùng đứng ở ô E6/F5:

Mã: Bước 1 có $6$ cách đi.

Vua: Bước 1 có $4$ cách đi.

$\Rightarrow$ Có $\left( {6 \times 4} \right) \times 2 = 48$ cách đi.

+ Các trường hợp tính trùng:

Mã đi Bước 1 và Vua đi Bước 1 cùng đứng ở ô E6, sau đó Mã đi Bước 3 và Vua đi Bước 2 cùng đứng ở ô F5.

Mã đi Bước 1 và Vua đi Bước 1 cùng đứng ở ô F5, sau đó Mã đi Bước 3 và Vua đi Bước 2 cùng đứng ở ô E6.

Do đó, có $48 + 16 + 16 + 48 - 2 = 126$ cách đi thỏa mãn.

Xác suất cần tìm: $\frac{{126}}{{1056}} = \frac{{21}}{{176}} = \frac{a}{b} \Rightarrow b - 5a = 176 - 5 \times 21 = 71$.

Đáp án: 1,6.

Tiền lì xì mỗi ngày lập thành một cấp số cộng với: ${u_1} = 3\,000\,000,d = - 300\,000$ (đồng).

Số ngày tính từ mùng 1 đến mùng 9 là $n = 9$ ngày.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: ${S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]$.

Với $n = 9$, ta có: ${S_9} = \frac{9}{2}\left[ {2 \cdot 3\,000\,000 + \left( {9 - 1} \right) \cdot \left( { - 300\,000} \right)} \right] = 16\,200\,000$ (đồng).

Kiên bắt đầu đưa tiền cho mẹ từ mùng 3 đến hết mùng 9.

Vậy số ngày Kiên đưa tiền cho mẹ là: 9 – 3 + 1 = 7 ngày.

Khi đó số tiền đã đưa cho mẹ là: $\frac{{16\,200\,000 - 5\,000\,000}}{7} = 1\,600\,000$ (đồng).

Vậy mỗi ngày Kiên đưa cho mẹ 1,6 triệu đồng.

Đáp án: 37,1

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ hình vẽ

Ta có $AB = 9$; $BC = 3$.

Điểm $C\left( {12;3;3} \right)$.

Điểm $O\left( {x;y;4} \right);2 \le x \le 12;0 \le y \le 8$.

Điểm $D\left( {0;8;3} \right)$. Điểm $E\left( {0;0;z} \right);F\left( {0;0;z + 2} \right);0 \le z \le 8$

Ta tính $CO = \sqrt {{{\left( {x - 12} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + 1}$.

$DO = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 8} \right)}^2} + 1}$

$DE = \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}}$

$EF = 2;FG = 8 - z;GH = 0{,}5$

Vì vậy tổng độ dài dây điện là

$\begin{array}{l}AB + BC + CO + OD + ED + EF + FG + GH\\ = 22{,}5 + \sqrt {{{\left( {x - 12} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + 1} + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 8} \right)}^2} + 1} + \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} - z\end{array}$.

Vì vậy tổng độ dài là ngắn nhất nếu cả hai điều sau xảy ra

${\left( {CO + OD} \right)_{\min }};{\left( {ED + FG} \right)_{\min }}$.

Vì $C,D$nằm cùng phía với mái che, nên ta lấy điểm $C'\left( {12;3;5} \right)$ điểm đối xứng với $C$ qua mặt phẳng mái che.

Đường thẳng $DC':\left\{ \begin{array}{l}x = 12t\\y = 8 - 5t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.$, giao với mặt phẳng mái che tại điểm O cần tìm là $O\left( {6;\frac{{11}}{2};4} \right)$.

Xét hàm số $f\left( z \right) = \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} - z;z \in \left[ {0;8} \right]$. Ta có đạo hàm

$f'\left( z \right) = \frac{{\left( {z - 3} \right)}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} }} - 1 < 0$. Suy ra $f\left( z \right) \ge \sqrt {{8^2} + {{\left( {8 - 3} \right)}^2}} - 8$.

Vì vậy khoảng cách ngắn nhất là

$= 22{,}5 + \sqrt {{{12}^2} + {5^2} + {2^2}} + \sqrt {{8^2} + {{\left( {8 - 3} \right)}^2}} - 8 \approx 37{,}1$.

Đáp án: 15,8

Gọi $K$ là trung điểm của $CD$ và $H = SK \cap C'D'$ khi đó $H$ là trung điểm $C'D'$. Do đó, $IH$ là đường cao của hình thang cân $ABC'D'$.

Gắn hệ trục $Oxyz$ sao cho tia $IB$, $IH$ và $IS$ lần lượt trùng với $Ox,Oy,Oz$.

Suy ra, $A\left( { - 1;0;0} \right)$, $B\left( {1;0;0} \right)$, $S\left( {0;0;4} \right)$

Đặt $\left( {\left( {ABCD} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \alpha$, khi đó $\widehat {KIH} = \alpha$.

Khi đó, $K\left( {0;3\cos \alpha ;3\sin \alpha } \right)$, $H\left( {0;4{,}5;0} \right)$.

Ta lại có, $S,K,H$ thẳng hàng nên $\overrightarrow {SK} = t.\overrightarrow {SH} =$ hay $\left\{ \begin{array}{l}3\cos \alpha = t.4{,}5\\3\sin \alpha - 4 = - 4.t\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{14}}{{29}}\\t = \frac{2}{5}\end{array} \right.$

+ Với $t = \frac{{14}}{{29}}$ thì $SK = \frac{{14}}{{29}}SH$ nên $\frac{{CD}}{{C'D'}} = \frac{{SK}}{{SH}} = \frac{{14}}{{29}} \Rightarrow C'D' = \frac{{29}}{7}$.

Suy ra ${S_{ABC'D'}} = \frac{{\left( {2 + \frac{{29}}{7}} \right).4{,}5}}{2} \approx 13{,}821$.

+ Với $t = \frac{2}{5}$ thì $SK = \frac{2}{5}SH$ nên $\frac{{CD}}{{C'D'}} = \frac{{SK}}{{SH}} = \frac{2}{5} \Rightarrow C'D' = 5$.

Suy ra ${S_{ABC'D'}} = \frac{{\left( {2 + 5} \right).4{,}5}}{2} = 15{,}75 \approx 15{,}8$.

Vậy $\max {S_{ABC'D'}} \approx 15{,}8$ ${m^2}$.

Đáp án: 6375

Số tiền mua đào và mai là $4.000$ nghìn đồng.

Số tiền mua $x$ cây cảnh nhỏ là $50.x$ nghìn đồng

Tổng số tiền mua cây và phí vận chuyển là $C\left( x \right) = 4.000 + 50.x + {x^2} - 100.x + 3.000 = {x^2} - 50x + 7000$

Xét hàm số $C\left( x \right) = {x^2} - 50x + 7000$ với $0 \le x \le 40$.

$C'\left( x \right) = 2x - 50;\,C'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 50 = 0 \Leftrightarrow x = 25$

$C\left( 0 \right) = 7000;\,C\left( {25} \right) = 6375,\,C\left( {40} \right) = 6600$

$\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;40} \right]} C\left( x \right) = C\left( {25} \right) = 6375$ nghìn đồng.

Vậy tổng chi phí (tiền mua cây và tiền vận chuyển) thấp nhất mà anh Trọng cần bỏ ra để mua cây trang trí dịp tết là 6375 nghìn đồng.

Đáp án: 7,49

Bước 1: Xác định phương trình hàm số $y = f(x)$

 Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba.

 Quan sát ta thấy đồ thị hàm số $f(x)$ tiếp xúc với trục hoành tại gốc tọa độ $O(0{,}0)$ và đồ thị cắt trục hoành tại điểm $C(3{,}0)$. Vậy $f(x) = k\left( {x - 3} \right).{x^2} = k\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)$.

 Phần đồ thị nhánh cuối đi xuống nên $k < 0$, ta có $f(x) = k{x^3} - 3k{x^2}$ và $f'(x) = 3k\left( {{x^2} - 2x} \right)$

Và $f'(x) = 3k\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$$\Rightarrow {x_B} = 2,{y_B} = - 4k \Rightarrow B\left( {2; - 4k} \right)$

Bước 2: Sử dụng dữ kiện chi phí để tìm $k$

 Diện tích mảnh vườn (phần nằm dưới đồ thị $f(x)$ từ $x = 0$ đến $x = 3$):

${S_1} = \int_0^3 {k\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} {\rm{d}}x = - \frac{{27}}{4}k{\rm{(dvdt)}}$

 Diện tích hồ bơi ${S_2} = \int_0^2 {\left[ { - 4k - k\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} \right]} dx = - 4k{\rm{ (dvdt)}}$

 Vì mỗi đơn vị trục tọa độ là 10m, nên $1$ đvdt $= 10{\rm{m}}.10{\rm{m}} = 100{{\rm{m}}^2}$.

 Diện tích thực tế: ${S_{vu\`o n}} = - 675k\;({{\rm{m}}^2})$ và ${S_{h\^o }} = - 400k\;({{\rm{m}}^2})$.

 Tổng chi phí:

$- 400k.400.000 - 675k.200.000 = 295.000.000 \Rightarrow - 295.000.000k = 295.000.000 \Rightarrow k = - 1$

 Vậy phương trình đường cong ranh giới là: $f(x) = - {x^3} + 3{x^2}$.

Bước 3: Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn đường $MN$

Ý tưởng: Khoảng cách ngắn nhất giữa hai đồ thị đạt được khi đoạn thẳng nối hai điểm đó là “đoạn vuông góc chung”, tức là đoạn thẳng đó lần lượt vuông góc với hai tiếp tuyến của hai đồ thị tại hai điểm đó.

Điều này đồng nghĩa với việc, tại điểm $M$ và điểm $N$ đó, ta sẽ có 2 tính chất sinh tử:

1. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại $M$ và tiếp tuyến đồ thị hàm số $y = g(x)$ tại $N$ phải song song với nhau.

2. Đoạn thẳng $MN$ phải vuông góc với cả hai tiếp tuyến đó.

Gọi tọa độ hai điểm $M$ và $N$

 Gọi điểm $M(a; - {a^3} + 3{a^2})$ thuộc đường cong $({C_1})$ (đồ thị hàm số $y = f(x)$).

 Gọi điểm $N\left( {b;1 + \frac{3}{{b - 2}}} \right)$ thuộc đường cong $({C_2})$ (đồ thị hàm số $y = g(x)$), với điều kiện $b > 2$.

Dùng điều kiện "Tiếp tuyến song song" để rút gọn ẩn

Hai tiếp tuyến tại $M$ và $N$ song song với nhau khi và chỉ khi lần lượt đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ tại $x = a$ và $x = b$ bằng nhau:

$f'(a) = g'(b)$$\Rightarrow - 3{a^2} + 6a = \frac{{ - 3}}{{{{(b - 2)}^2}}}$$\Rightarrow {(b - 2)^2} = \frac{1}{{{a^2} - 2a}}$

Vì $b > 2$ nên $b - 2 > 0$ và $a > 2$, ta căn bậc hai hai vế: $b - 2 = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }}$ $\Rightarrow b = 2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }}$

Lúc này, tọa độ điểm $N$ được viết lại hoàn toàn theo ẩn $a$: $N\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }};1 + 3\sqrt {{a^2} - 2a} } \right)$

Dùng điều kiện "Đoạn thẳng vuông góc" để chốt hạ

Đoạn thẳng $MN$ phải vuông góc với tiếp tuyến tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại $M$.

 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại $M$ có hệ số góc là $k = f'(a)$. Do đó, nó có một vectơ chỉ phương là $\vec u = (1;f'(a))$.

 Vectơ $\overrightarrow {MN} = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M}) = (b - a;g(b) - f(a))$.

Vì $MN$ vuông góc với tiếp tuyến nên tích vô hướng của hai vectơ này phải bằng 0:

$\overrightarrow {MN} \cdot \vec u = 0$$\Leftrightarrow (b - a) \cdot 1 + (g(b) - f(a)) \cdot f'(a) = 0$

Thay số và giải phương trình (Kết hợp máy tính)

Thay toàn bộ $b$, $f(a)$, $g(b)$, và $f'(a)$ theo biến $a$ vào phương trình trên:

$\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }} - a} \right) + \left( {1 + 3\sqrt {{a^2} - 2a} - ( - {a^3} + 3{a^2})} \right) \cdot ( - 3{a^2} + 6a) = 0$

 Bấm máy dò được nghiệm: $a \approx 2{,}369$

Suy ra $MN = \sqrt {{{\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }} - a} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3\sqrt {{a^2} - 2a} - ( - {a^3} + 3{a^2})} \right)}^2}} \approx 0{,}749$

 Đổi ra thực tế: $0{,}749 \times 10 = 7{,}49$ mét.