Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở Đà Nẵng có đáp án

Chọn B

Dựa vào phương trình đường thẳng ta được $\overrightarrow {{u_4}} = \left( {3; - 4;5} \right)$.

Chọn A

$n = 100\, \Rightarrow \,\frac{n}{2} = 50,\,\,30 < 50 < 60\, \Rightarrow \,\frac{{{u_{50}} + {u_{51}}}}{2} \in \left[ {4;6} \right)$.

Chọn A

${u_4} = {u_1}{q^3} = - {2.3^3} = - 54$.

Chọn C

$\tan x\, = \,1\, \Leftrightarrow \tan x\, = \,\tan \,\frac{\pi }{4}\, \Leftrightarrow x = \,\frac{\pi }{4}\, + k\pi ,\,k \in \,\mathbb{Z}$.

Chọn D

Ta có mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ vuông góc với đường thẳng $BB'$.

Chọn B

Điều kiện: $x > 2$.

Ta có $\log \left( {4x - 8} \right) = 2 \Leftrightarrow 4x - 8 = {10^2} \Leftrightarrow x = 27$.

Chọn A

Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AS} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AS} = \overrightarrow {SC}$.

Chọn C

Ta có tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = 2$.

Chọn A

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)dx = x + \ln \left| x \right| + C = } x + \ln x + C$ vì $x \in \left( {0; + \infty } \right)$.

Chọn B

Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( {5;1; - 2} \right)$ là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm. Suy ra phương trình mặt phẳng đó là $5\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + y - 2z + 1 = 0$.

Chọn A

Diện tích đáy $ABCD$ là ${S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.AC.BD = \frac{1}{2}.4.5 = 10$ (đvdt).

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.3.10 = 10$ (đvtt).

Chọn C

Ta có $0,{5^x} \le 4 \Leftrightarrow x \ge {\log _{0{,}5}}4 \Leftrightarrow x \ge - 2$. Vậy $\,S = \left[ { - 2; + \infty } \right)$.

a) Đúng

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}} = - \infty$.

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$.

b) Sai

Ta có $f'(x) = \frac{{({x^2} - 2x + 3)'(x - 1) - ({x^2} - 2x + 3)(x - 1)'}}{{{{(x - 1)}^2}}}$

$= \frac{{(2x - 2)(x - 1) - ({x^2} - 2x + 3)}}{{{{(x - 1)}^2}}}$

$= \frac{{{x^2} - 2x - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}$.

c) Đúng

Ta có $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 2x - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 2 (N)\\x = 1 - \sqrt 2 (N)\end{array} \right.$

$f'(x)$ không xác định khi và chỉ khi $x = 1$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số $f(x)$có 2 điểm cực trị là $x = 1 - \sqrt 2$ và $x = 1 + \sqrt 2$.

d) Sai

Từ bảng biến thiên ta thấy $\mathop {Min}\limits_{(1; + \infty )} f(x) = f(1 + \sqrt 2 ) = 2\sqrt 2$.

Hàm công suất sạc là: $P(t) = 250 \cdot {e^{ - kt}}$ (với $k > 0$, $t \ge 0$).

a) Công suất sạc ban đầu ngay khi cắm sạc là 250 kW.

Thời điểm ban đầu ứng với $t = 0$.

Thay vào hàm số: $P(0) = 250 \cdot {e^{ - k \cdot 0}} = 250 \cdot 1 = 250$ (kW).

a) Đúng.

b) Tốc độ thay đổi công suất tại thời điểm $t$ là ${P^\prime }(t) = 250k \cdot {e^{ - kt}}$.

Tốc độ thay đổi công suất chính là đạo hàm của hàm $P(t)$ theo biến $t$.

Ta có: ${P^\prime }(t) = {(250 \cdot {e^{ - kt}})^\prime } = 250 \cdot ( - k) \cdot {e^{ - kt}} = - 250k \cdot {e^{ - kt}}$.

Dấu trừ thể hiện công suất đang giảm dần. Trong biểu thức của phát biểu b thiếu dấu trừ hoặc chưa làm rõ đây là độ sụt giảm.

b) Sai

c) Công suất sạc giảm dần theo thời gian và $k = 2{,}5$.

Tại $t = 0$, tốc độ sụt giảm công suất là 625 kW/giờ nên $|{P^\prime }(0)| = 625$.

Ta có: $| - 250k \cdot {e^{ - k \cdot 0}}| = 625 \Rightarrow 250k = 625 \Rightarrow k = \frac{{625}}{{250}} = 2{,}5$.

c) Đúng.

d) Thời gian từ lúc bắt đầu cắm sạc đến khi hệ thống tự ngắt kéo dài không quá 111 phút.

Hệ thống ngắt khi công suất giảm còn 1% so với ban đầu: $P(t) = 1\% \cdot P(0) = 0{,}01 \cdot 250 = 2{,}5$ (kW).

Thay vào phương trình với $k = 2{,}5$:

$250 \cdot {e^{ - 2{,}5t}} = 2{,}5$$\Leftrightarrow {e^{ - 2{,}5t}} = \frac{{2{,}5}}{{250}} = 0{,}01$$\Leftrightarrow - 2{,}5t = \ln (0{,}01)$$\Leftrightarrow t = \frac{{\ln (0{,}01)}}{{ - 2{,}5}} \approx 1{,}842$ (giờ).

Đổi sang phút: $1{,}842 \cdot 60 \approx 110{,}52$ phút.

Vì $110{,}52 < 111$ phút

Chọn a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng.

Xét các biến cố: $A$: "Chọn được học sinh khối 12";

$B$: "Chọn được học sinh có sử dụng hệ thống chatbot AI hỗ trợ học tập".

a) Đúng.

Xác suất để học sinh được chọn tham gia phỏng vấn thuộc khối 12 là $P\left( A \right) = \frac{{200}}{{500}} = 0{,}4$.

b) Đúng.

Ta có $P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 0{,}4$; $P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$

Xác suất để chọn được một học sinh khối 11 và em này có sử dụng chatbot AI là:

$$P\left( {\overline A B} \right) = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}24.$$

c) Sai.

Ta có $P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 0{,}4$; $P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6;P\left( A \right) = 0{,}4;\,\,P\left( {B\left| A \right.} \right) = 0{,}7$

Xác suất để học sinh được chọn có sử dụng chatbot AI là:

$$P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B\left| A \right.} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 0{,}4 \cdot 0{,}7 + 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}52.$$

d) Đúng.

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

$$P\left( {A\left| B \right.} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B\left| A \right.} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B\left| A \right.} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right)}} = \frac{{0{,}4 \cdot 0{,}7}}{{0{,}4 \cdot 0{,}7 + 0{,}6 \cdot 0{,}4}} = \frac{7}{{13}}.$$

a) Đúng

Tại thời điểm $t = 0$, Flycam ở vị trí $A(4;2;2)$ và máy bay ở vị trí $B(0; - 2;0)$.

Khoảng cách AB được tính theo công thức:

$AB = \sqrt {{{(0 - 4)}^2} + {{( - 2 - 2)}^2} + {{(0 - 2)}^2}} = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {{( - 4)}^2} + {{( - 2)}^2}}$

$AB = \sqrt {16 + 16 + 4} = \sqrt {36} = 6{\rm{ (km)}}$

b) Đúng

Máy bay bắt đầu từ điểm $B(0; - 2;0)$ và có vectơ vận tốc ${\vec v_2}(0;4;3)$.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $B$ và có vectơ chỉ phương ${\vec v_2}$ là:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0 + 0t}\\{y = - 2 + 4t}\\{z = 0 + 3t}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{y = - 2 + 4t}\\{z = 3t}\end{array}} \right.$

c) Sai

 Tốc độ máy bay (${v_2}$): Là độ dài vectơ vận tốc ${\vec v_2}(0;4;3)$.

${v_2} = \sqrt {{0^2} + {4^2} + {3^2}} = \sqrt {25} = 5$ (km/phút).

Đổi sang km/h: $5 \times 60 = 300$ (km/h).

 Tốc độ Flycam (${v_1}$): Là độ dài vectơ vận tốc ${\vec v_1}( - 1;0;0)$.

${v_1} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {0^2} + {0^2}} = 1$ (km/phút).

Đổi sang km/h: $1 \times 60 = 60$ (km/h). (Câu c ghi 1 km/h là Sai).

d) Đúng

 Vị trí Flycam tại thời điểm $t$: ${M_1}(4 - t;2;2)$

 Vị trí máy bay tại thời điểm $t$: ${M_2}(0; - 2 + 4t;3t)$

Bình phương khoảng cách giữa hai vật thể là:

${d^2} = {(0 - (4 - t))^2} + {( - 2 + 4t - 2)^2} + {(3t - 2)^2}$

${d^2} = {(t - 4)^2} + {(4t - 4)^2} + {(3t - 2)^2}$

${d^2} = ({t^2} - 8t + 16) + (16{t^2} - 32t + 16) + (9{t^2} - 12t + 4)$

${d^2} = 26{t^2} - 52t + 36$

Khoảng cách $d$ nhỏ nhất khi ${d^2}$ nhỏ nhất và đạt được tại đỉnh của parabol có phương trình $f(t) = 26{t^2} - 52t + 36$.

Khi đó $t = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 52}}{{2 \times 26}} = 1{\rm{ (ph\'u t)}}$.

Đáp án: 26,1.

Từ hình vẽ ta thấy hình chữ nhật $OABC$ có hai kích thước là$7\,{\rm{m}},\,\,5\,{\rm{m}}$.

$\Rightarrow {S_{OABC}} = 7.5 = 35\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.

Phương trình parabol: $y = a{x^2} + bc + c\,\left( {a \ne 0} \right)$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{y\left( 0 \right) = 5}\\{y\left( 5 \right) = 0}\end{array}}\\{ - \frac{b}{{2a}} = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{c = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{25a + 5b + c = 0}\end{array}}\\{b = - 10a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = \frac{1}{5}}\\{b = - 2}\end{array}}\\{c = 5}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow y = \frac{1}{5}{x^2} - 2x + 5$.

Diện tích của phần parabol với trục hoành bằng: $S = \int\limits_0^7 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{}^{} {\left( {\frac{1}{5}{x^2} - 2x + 5} \right) = \frac{{133}}{{15}}} \,{m^2}$.

Diện tích phần tô màu là $35 - \frac{{155}}{{15}} = \frac{{392}}{{15}} \approx 26{,}1\,\,\left( {{m^2}} \right)$ .

Đáp số: 0,03.

Để Đội hạt giống số 3 giành chức vô địch, đội này phải thắng cả 3 trận (Tứ kết, Bán kết, Chung kết). Vì Đội 3 sẽ thua Đội 1 và Đội 2, điều kiện bắt buộc là Đội 1 và Đội 2 phải bị loại trước khi gặp Đội 3.

Chúng ta sẽ phân tích đường đi của hai đội mạnh nhất này:

1. Điều kiện để Đội 1 bị loại

Đội 1 mạnh nhất giải và chỉ có một điểm yếu duy nhất: thua Đội 8. Do đó, Đội 1 bắt buộc phải gặp Đội 8 để bị loại.

Nếu Đội 8 gặp bất kỳ đội nào khác ngoài Đội 1 ở Tứ kết, Đội 8 sẽ ngay lập tức bị loại (vì 8 yếu hơn tất cả các đội từ 2 đến 7). Khi đó, không còn đội nào có thể cản bước Đội 1 vô địch.

$\Rightarrow$Bắt buộc: Việc bốc thăm Tứ kết phải tạo ra cặp đấu {Đội 1, Đội 8}. (Kết quả: Đội 8 đi tiếp).

2. Điều kiện để Đội 2 bị loại

Đội 2 chỉ thua Đội 1 và Đội 7. Vì Đội 1 đã bị Đội 8 loại ở nhánh trên, Đội 2 bắt buộc phải gặp Đội 7 để bị loại.

Tương tự như Đội 8, Đội 7 rất yếu. Nếu Đội 7 bốc thăm trúng các đội 3, 4, 5, 6 ở Tứ kết, Đội 7 sẽ thua và bị loại. Đội 7 không thể ghép với Đội 8 vì Đội 8 đã bận đấu với Đội 1.

$\Rightarrow$ Bắt buộc: Việc bốc thăm Tứ kết phải tạo ra cặp đấu {Đội 2, Đội 7}. (Kết quả: Đội 7 đi tiếp).

3. Kiểm tra đường đi của Đội 3

Nếu Tứ kết đã có 2 cặp {1, 8} và {2, 7}, 4 đội còn lại là {3, 4, 5, 6} sẽ đấu với nhau.

Ở Tứ kết, Đội 3 gặp 4, 5 hoặc 6 nên chắc chắn thắng.

Bốn đội lọt vào Bán kết lúc này sẽ gồm: Đội 8, Đội 7, Đội 3 và một đội $X$ (với $X \in \{ 4{,}5{,}6\}$).

Lúc này, Đội 3 là đội có số hạt giống nhỏ nhất (mạnh nhất) trong 4 đội còn lại. Dù gặp ai ở Bán kết hay Chung kết, Đội 3 cũng chắc chắn giành chiến thắng.

4. Tính xác suất

Tính xác suất để lần bốc thăm ngẫu nhiên ở Tứ kết xuất hiện đồng thời hai cặp đấu {1, 8} và {2, 7}.

Bước 1: Chọn đối thủ cho Đội 1 từ 7 đội còn lại. Xác suất để chọn đúng Đội 8 là $\frac{1}{7}$.

Bước 2: Sau khi Đội 1 và Đội 8 đã ghép cặp, còn lại 6 đội. Chọn đối thủ cho Đội 2 từ 5 đội còn lại. Xác suất để chọn đúng Đội 7 là $\frac{1}{5}$.

Vì các bước bốc thăm diễn ra độc lập, xác suất chung để kịch bản này xảy ra là:

$= \frac{1}{7} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{{35}} \approx 0{,}03.$

Đáp án: 4050.

Gọi $x$, $y$ lần lượt là số poster loại I và số poster loại II $\left( {x,y \ge 0} \right)$.

Khi đó tổng số tờ giấy khổ lớn là $2x + 3y$; tổng số đơn vị mực màu là $x + 2y$.

Bài toán đưa về tìm $x$, $y$ là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 210\\x + 2y \le 130\\x,y \ge 0\end{array} \right.$ sao cho $P\left( {x,y} \right) = 35x + 60y$ có giá trị lớn nhất.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $OABC$ như hình trên với $A\left( {0;65} \right)$, $B\left( {30;50} \right)$ và $C\left( {105;0} \right)$. Biểu thức $P\left( {x,y} \right) = 35x + 60y$ tại một trong các đỉnh này:

+ ${P_O} = 35 \times 0 + 60 \times 0 = 0$;

+ ${P_A} = 35 \times 0 + 60 \times 65 = 3900$;

+ ${P_B} = 35 \times 30 + 60 \times 50 = 4050$;

+ ${P_C} = 35 \times 105 + 60 \times 0 = 3675$.

Vậy số tiền lớn nhất mà xưởng có thể thu được là $4050$ nghìn đồng sản xuất poster loại I và $50$ poster loại II.

Đáp án: 2

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $C \equiv O\left( {0;0;0} \right)$, $CA$ nằm trên trục $Ox$, $CB$ nằm trên trục $Oy$ và $CC'$ nằm trên trục $Oz$. Khi đó: $C\left( {0;0;0} \right)$, $A\left( {4;0;0} \right)$, $B\left( {0;4;0} \right)$, $C'\left( {0;0;4\sqrt 2 } \right)$, $A'\left( {4;0;4\sqrt 2 } \right)$. $M$ là trung điểm $AA'$ nên $M\left( {4;0;2\sqrt 2 } \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;4;0} \right)$, chọn véctơ chỉ phương của $AB$ là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;1;0} \right)$.

$\overrightarrow {C'M} = \left( {4;0; - 2\sqrt 2 } \right)$, chọn véctơ chỉ phương của $C'M$ là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;0; - \sqrt 2 } \right)$.

$\overrightarrow {AC'} = \left( { - 4;0;4\sqrt 2 } \right)$.

Tích có hướng của hai véctơ chỉ phương:

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\0&{ - \sqrt 2 }\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - 1}\\{ - \sqrt 2 }&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&1\\2&0\end{array}} \right|} \right) = \left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 ; - 2} \right)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $C'M$ là:

${\rm{d}}\left( {AB,C'M} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {AC'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - \sqrt 2 } \right) \cdot \left( { - 4} \right) + \left( { - \sqrt 2 } \right) \cdot 0 + \left( { - 2} \right) \cdot 4\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}$$= \frac{{\left| {4\sqrt 2 - 8\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {2 + 2 + 4} }} = 2$.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $C'M$ và $AB$ bằng $2$.

Đáp án: 25

Thời gian di chuyển là: $t = \frac{S}{v} = \frac{{1000}}{v}$ (giờ)

Tổng chi phí cho toàn bộ chuyến đi là: $C\left( v \right) = \left( {0{,}02.{v^3} + 625} \right).\frac{{1000}}{v} = 20{v^2} + \frac{{625000}}{v}$ (USD)

Ta có: $C\left( v \right) = 20{v^2} + \frac{{625000}}{v} = 20\left( {{v^2} + \frac{{31250}}{v}} \right) = 20\left( {{v^2} + \frac{{15625}}{v} + \frac{{15625}}{v}} \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$$C\left( v \right) \ge 20.3.\sqrt[3]{{{v^2}.\frac{{15625}}{v}.\frac{{15625}}{v}}} = 37500$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi: ${v^2} = \frac{{15625}}{v} \Leftrightarrow v = 25$

Vậy tàu cần duy trì vận tốc trung bình là 25 hải lý/giờ để tổng chi phí cho toàn bộ chuyến đi là thấp nhất (37 500 USD).

Đáp án: 409

Chứng minh bổ đề:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và đơn điệu nghiêm ngặt (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến) trên đoạn $[a,b]$. Khi đó, tồn tại hàm số ngược $x = {f^{ - 1}}\left( x \right)$ xác định trên đoạn có hai đầu mút là $f\left( a \right)$ và $f\left( b \right)$. Ta luôn có đẳng thức sau:

$\int_a^b f \left( x \right){\rm{d}}x + \int_{f\left( a \right)}^{f\left( b \right)} {{f^{ - 1}}} \left( x \right){\rm{d}}x = b \cdot f\left( b \right) - a \cdot f\left( a \right)$.

Chứng minh:

- Tích phân $\int_a^b f \left( x \right){\rm{d}}x$ chính là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $f\left( x \right)$, trục hoành $Ox$, và hai đường thẳng $x = a,x = b$.

- Bây giờ, hãy nhìn đồ thị $y = f\left( x \right)$ từ góc độ của trục tung $Oy$. Theo định nghĩa hàm ngược, diện tích nằm giữa đồ thị $f\left( x \right)$, trục tung $Oy$ và hai đường thẳng $y = f\left( a \right),y = f\left( b \right)$ chính là tích phân $\int_{f\left( a \right)}^{f\left( b \right)} {{f^{ - 1}}} \left( y \right){\rm{d}}y$.

· Hình chữ nhật lớn: Có các cạnh là $b$ và $f\left( b \right) \Rightarrow {S_L} = b \cdot f\left( b \right)$.

· Hình chữ nhật nhỏ: Có các cạnh là $a$ và $f\left( a \right) \Rightarrow {S_N} = a \cdot f\left( a \right)$.

Vì vậy, tổng hai tích phân chính bằng: ${S_L} - {S_N} = b \cdot f\left( b \right) - a \cdot f\left( a \right)$.

Hoàn tất chứng minh.

Trở lại bài toán:

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = {2^{{x^2}}}$ (với $x \ge 1$).

Ta có ${\log _2}y = {x^2} \Rightarrow x = \sqrt {{{\log }_2}y}$.

Do đó, hàm số $g\left( x \right) = \sqrt {{{\log }_2}x}$ chính là hàm ngược của $f\left( x \right)$, hay $g\left( x \right) = {f^{ - 1}}\left( x \right)$.

Áp dụng công thức tích phân hàm ngược:

$$S = \int_1^{20} f \left( x \right){\rm{d}}x + \int_2^{{2^{400}}} g \left( x \right){\rm{d}}x = \int_1^{20} f \left( x \right){\rm{d}}x + \int_{f\left( 1 \right)}^{f\left( {20} \right)} g \left( x \right){\rm{d}}x$$

$$= 20 \cdot f\left( {20} \right) - 1 \cdot f\left( 1 \right) = 20 \cdot {2^{400}} - 2 = \left( {5 \cdot 4} \right) \cdot {2^{400}} - 2 = 5 \cdot {2^{402}} - 2$$

Suy ra: $a = 5$ (là số nguyên tố);

$b = 402$ (là số nguyên);

$c = 2$ (là số nguyên tố);

$a + b + c = 5 + 402 + 2 = {\bf{409}}$.