Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Cụm các Trường THPT Thanh Hóa có đáp án

Chọn B

Ta có tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên suy ra $\overset{⇀}{SA}=\overset{⇀}{SB}+\overset{⇀}{BA}=\overset{⇀}{SB}+\overset{⇀}{CD}$.

Chọn C

Vectơ chỉ phương của $d$ là: $\overset{⇀}{u}=(2;-1;3)$.

Chọn C

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 3$ suy ra đường thẳng $y = 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn B

Xác suất để cả $3$ lần xuất hiện mặt ngửa là $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

Chọn D

Ta có: ${4^a} = {6^c} \Rightarrow c = {\log _6}{4^a} \Rightarrow c = a.{\log _6}4 \Rightarrow \frac{c}{a} = {\log _6}4$.

Lại có: ${3^b} = {6^c} \Rightarrow c = {\log _6}{3^b} \Rightarrow c = b.{\log _6}3 \Rightarrow \frac{{2c}}{b} = 2{\log _6}3$.

Khi đó: $\frac{c}{a} + \frac{{2c}}{b} = {\log _6}4 + 2{\log _6}3 = {\log _6}36 = 2$.

Chọn B

Ta có ${u_4} = {u_1}.{q^3} \Rightarrow {q^3} = \frac{{24}}{3} = 8 \Rightarrow q = 2$. Suy ra ${u_5} = {u_4}.q = 24.2 = 48$.

Chọn C

Ta có: $\int {{5^x}dx} = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C$.

Chọn A

Ta có: ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}$.

$\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - \frac{8}{9} = - \frac{7}{9}$.

Chọn A

Điều kiện xác định: $D = \mathbb{R}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x - 3} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.$.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 cực trị.

Chọn A

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: $41 - 16 = 25$.

a) Đúng

Gọi A là biến cố cả 3 con sống sót $P(A) = 0{,}8.0{,}9.0{,}9 = 0{,}648$

b) Sai

Gọi B là biến cố cả 3 con chết

$P(B) = (1 - 0{,}8)(1 - 0{,}9)(1 - 0{,}9) = 0{,}002$

c) Đúng

Gọi C là biến cố “ít nhất 1 con sống”

$P(C) = 1 - P(B) = 1 - 0{,}002 = 0{,}998$

d) Đúng

Có 3 trường hợp

TH1: đực chết, 2 cái sống xác suất là $(1 - 0{,}8).0{,}9.0{,}9 = 0{,}2.0{,}81 = 0{,}162$

TH2: Đực sống, cái 1 sống, cái 2 chết xác suất là $0{,}8.0{,}9.(1 - 0{,}9) = 0{,}072$

TH3: Đực sống, cái 1 chết, cái 2 sống xác suất là $P(A) = 0{,}8.(1 - 0{,}9).0{,}9 = 0{,}072$

Tổng xác suất là $0{,}162 + 0{,}072 + 0{,}072 = 0{,}306$

a) Vận tốc của ô tô kể từ lúc đạp phanh đến khi giảm về tốc độ 30km/h là $v(t) = 25 - 2t{\rm{ (m/s)}}$$v(t) = \int a (t)dt = \int - 2dt = - 2t + C$

Thay $t = 0$ và $v(0) = 25$ vào phương trình, ta có:$- 2(0) + C = 25 \Rightarrow C = 25$

Phương trình vận tốc theo thời gian của ô tô là $v(t) = 25 - 2t{\rm{ (m/s)}}$ ĐÚNG.

b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi giảm về tốc độ 30km/h là 9 giây.

Ta có: $25 - 2t = \frac{{25}}{3} \Rightarrow 2t = \frac{{50}}{3} \Rightarrow t = \frac{{25}}{3} \approx 8.33{\rm{ s}}$.

Vì $8.33 \ne 9$ SAI.

c) Quãng đường xe đi được kể từ lúc đạp phanh đến khi giảm về tốc độ 30km/h là $139{\rm{ m}}$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Quãng đường là tích phân của vận tốc trên đoạn $[0;\frac{{25}}{3}]$.

$S = \int_0^{\frac{{25}}{3}} {(25 - 2t)} dt = 138.89{\rm{ m}}$

ĐÚNG.

d) Khi giảm về tốc độ 30km/h, khoảng cách giữa xe và trạm thu phí là $161{\rm{ m}}$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Giai đoạn đầu: ${S_1} = \int_0^4 2 5dt = 100$

Giai đoạn sau, xe bắt đầu hãm phanh:

${S_2} = \int_0^{\frac{{25}}{3}} {(25 - 2t)} dt = \frac{{1250}}{9}$

Tổng quãng đường xe thực tế đã di chuyển là $S = {S_1} + {S_2} = 100 + 138{,}89 = 238{,}89$ m

Khoảng cách ban đầu từ xe đến trạm thu phí là 400 m, do đó khoảng cách còn lại sẽ là $400 - 238{,}89 = 161{,}11$ m.

ĐÚNG.

a) [NB] Ta có $\left( P \right):2x + y - z + 3 = 0 \Rightarrow {\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {2\,;\,1\,;\, - 1} \right)$.

Theo đề bài, ta có: $\vec n = \left( {4\,;\,2\,;\, - 2} \right) = 2\left( {2\,;\,1\,;\, - 1} \right) = 2{\vec n_{\left( P \right)}}$.

b) [TH] Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_O} + {x_A} + {x_B}}}{3} = \frac{{0 + 4 + 2}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{{y_O} + {y_A} + {y_B}}}{3} = \frac{{0 + 5 + 4}}{3} = 3\\{z_G} = \frac{{{z_O} + {z_A} + {z_B}}}{3} = \frac{{0 + 6 + 9}}{3} = 5\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {2\,;\,3\,;\,5} \right)$.

c) [TH] Vì $\left( Q \right)\,{\rm{//}}\,\left( P \right)$ nên phương trình mặt phẳng sẽ có dạng:

$2x + y - z + d = 0\quad \left( {d \ne 3} \right)$

Do mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua điểm $A\left( {4\,;\,5\,;\,6} \right)$, ta thay toạ độ $A$ vào phương trình:

$2\,.\,4 + 5 - 6 + d = 0 \Rightarrow d = - 7$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $2x + y - z - 7 = 0$.

d) [VD] Vì đường thẳng $d$ đi qua $A$ và $d\,{\rm{//}}\,\left( P \right)$ nên $d$ luôn nằm trong mặt phẳng $(Q)$. Theo kết quả ở câu c, ta có $\left( Q \right):2x + y - z - 7 = 0$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên mặt phẳng $(Q)$ và $K$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên đường thẳng $d$.

Xét tam giác $BHK$ vuông tại $H$, ta có $BK \ge BH$ hay ${\rm{d}}\left( {B,d} \right) \ge {\rm{d}}\left( {B,\left( Q \right)} \right)$

Dấu “=” xảy ra khi $K$ trùng với $H$.

Vậy khoảng cách nhỏ nhất từ $B$ đến $d$ chính là khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(Q)$:

${{\rm{d}}_{\min }} = {\rm{d}}\left( {B,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2\,.\,2 + 4 - 9 - 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{4\sqrt 6 }}{3}$.

a) Từ đồ thị, ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty$ Þ hệ số $a > 0$.

Chọn ĐÚNG.

b) Từ đồ thị, ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$; nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

Chọn SAI.

c) Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị $A\left( {0;4} \right)$ và $B\left( {2;0} \right)$

Þ$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$

Chọn ĐÚNG.

d)

Cách 1. Ta có $y' = f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c$

Vì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $A\left( {0;4} \right)$ và $B\left( {2;0} \right)$ nên ta có:

$$\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = 0\\f\left( 0 \right) = 4\\f'\left( 2 \right) = 0\\f\left( 2 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\d = 4\\12a + 4b + c = 0\\8a + 4b + 2c + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 0\\d = 4\end{array} \right.$$

Þ $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 4$

Diện tích hình $\left( H \right)$ là $S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 4} \right)dx} = \frac{{27}}{4}$.

Cách 2. Ta có $f\left( x \right) = a\left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}$

Ta có $f\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow a = 1$

Þ $f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}$

Diện tích hình $\left( H \right)$ là $S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]dx} = \frac{{27}}{4}$.

Chọn ĐÚNG.

Đáp án: 5,25.

Gọi $x$ là số lượng máy bán được trong một tháng và $p$ là giá bán (triệu đồng/chiếc).

Vì hàm cầu là hàm bậc nhất, ta có dạng: $p = ax + b$.

Theo bài ra:

Khi $p = 5$ thì $x = 100 \Rightarrow 100a + b = 5$ (1)

Khi $p = 4{,}5$ thì $x = 120 \Rightarrow 120a + b = 4{,}5$ (2)

Từ (1) và (2) ta được: $a = - 0{,}025$, $b = 7{,}5$.

Vậy hàm cầu là: $p = - 0{,}025x + 7{,}5$.

Thiết lập hàm lợi nhuận $L(x)$:

Doanh thu: $R(x) = p \cdot x = ( - 0{,}025x + 7{,}5)x = - 0{,}025{x^2} + 7{,}5x$.

Tổng chi phí: $C(x) = \bar C(x) \cdot x = \frac{{3x + 50}}{x} \cdot x = 3x + 50$.

Lợi nhuận: $L(x) = R(x) - C(x) = ( - 0{,}025{x^2} + 7{,}5x) - (3x + 50) = - 0{,}025{x^2} + 4{,}5x - 50$.

Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi $x = - \frac{{4{,}5}}{{2.\left( { - 0{,}025} \right)}} = 90$.

Khi đó giá bán tương ứng là $p = - 0{,}025.90 + 7{,}5 = 5{,}25$(triệu đồng/chiếc).

Đáp án: 3.

Ta có: $A'A \bot \left( {ABC} \right)$ nên $AB$ là hình chiếu vuông góc của $A'B$ trên mp$\left( {ABC} \right)$

$\Rightarrow \left( {A'B,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'B,AB} \right) = \widehat {A'BA} = 60^\circ$.

Trong $\Delta AA'B$ vuông tại $A$ có: $AB = AA'.\cot \widehat {AA'B} = 6.\cot 60^\circ = 2\sqrt 3$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $AM \bot BC$. Mặt khác, $AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot AM$.

Do đó, $d\left( {AA',BC} \right) = AM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = 3$.

Đáp án: 7,11.

Trong hệ tọa độ $Oxy$ chứa đường elip có hai trục $AB,CD$ ta có phương trình đường elip là đường viền chân núi là $\frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{100}^2}}} = 1$

Trong mặt phẳng chứa đường tròn đường kính $AB$ vuông góc với mặt đất thì phương trình đường tròn là ${x^2} + {y^2} = {200^2}$.

Trong mặt phẳng vuông góc với $AB$ cắt ngọn núi theo mặt cắt có dạng parabol thì diện tích mặt cắt được tính theo công thức $S = \frac{2}{3}h.D$.

Trong đó $h\left( x \right) = \sqrt {{{200}^2} - {x^2}}$, $D = 2.100\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}}} = 200\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}}}$

Vậy diện tích mặt cắt là $S\left( x \right) = \frac{2}{3}.\sqrt {{{200}^2} - {x^2}} .200.\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}}}$$= \frac{{2\left( {{{200}^2} - {x^2}} \right)}}{3}$

Khi đó thể tích ngọn núi bằng $V = \int\limits_{ - 200}^{200} {S\left( x \right)dx = \int\limits_{ - 200}^{200} {\frac{{2\left( {{{200}^2} - {x^2}} \right)}}{3}dx} }$$\approx 7{,}11$(triệu ${m^3}$)

Đáp án: $85$.

Ta có $n\left( \Omega \right) = C_{20}^4$

Gọi biến cố $A$:” Bốn số được chọn lập thành cấp số cộng “

Nhận thấy cấp số cộng có công sai $d$lớn nhất là 6.

Với $d = 6$ thì có $20 - 6.3 = 2$ cấp số cộng tương ứng.

Với $d = 5$ thì có $20 - 5.3 = 5$ cấp số cộng tương ứng.

Với $d = 4$ thì có $20 - 4.3 = 8$ cấp số cộng tương ứng.

Với $d = 3$ thì có $20 - 3.3 = 11$ cấp số cộng tương ứng.

Với $d = 2$ thì có $20 - 2.3 = 14$ cấp số cộng tương ứng.

Với $d = 1$ thì có $20 - 1.3 = 17$ cấp số cộng tương ứng.

Suy ra $n\left( A \right) = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 57$

$P\left( A \right) = \frac{{57}}{{C_{20}^4}} = \frac{1}{{85}} \Rightarrow a = 85$.

Đáp án: 240.

+ Giả sử $BC = x\,km\,\left( {0 \le x \le 4} \right)$

Khi đó $AC = \sqrt {{3^2}\, + \,{{\left( {4 - x} \right)}^2}}$

Chi phí hoàn thành kế hoạch

$f\left( x \right) = 30x + 50\sqrt {{3^2}\, + \,{{\left( {4 - x} \right)}^2}}$

Xét hàm chi phí

$f'\left( x \right) = 30 - 50\frac{{4 - x}}{{\sqrt {{3^2}\, + \,{{\left( {4 - x} \right)}^2}} }}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 30 - 50\frac{{4 - x}}{{\sqrt {{3^2}\, + \,{{\left( {4 - x} \right)}^2}} }} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1{,}75\,(N)\\x = 6{,}75\,(L)\end{array} \right.$

Số tiền cần ít nhất là $f\left( {1{,}75} \right) = 30.1{,}75 + 50\sqrt {{3^2}\, + \,{{\left( {4 - 1{,}75} \right)}^2}} = 240$ (triệu đồng)

Đáp số: 15

Để tìm đường ngắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt khối hộp, ta "trải" các mặt liên quan lên cùng một mặt phẳng sao cho đường nối hai điểm là một đường thẳng.

Trường hợp 1: Bò qua trần nhà (Lộ trình phổ biến nhất)

Khoảng cách theo phương ngang (tổng độ cao từ A lên trần + chiều rộng trần + từ trần xuống B):${d_1} = 3{\rm{m}} + 8{\rm{m}} + 4{\rm{m}} = 15{\rm{m}}$.

Khoảng cách theo phương dọc (chênh lệch vị trí so với tường trước):${d_2} = |9{\rm{m}} - 7{\rm{m}}| = 2{\rm{m}}$.

Độ dài quãng đường ${L_1}$:${L_1} = \sqrt {{{15}^2} + {2^2}} = \sqrt {225 + 4} = \sqrt {229} \approx 15{,}13{\rm{m}}$.

Trường hợp 2: Bò vòng qua bức tường phía sau

Khoảng cách từ A đến tường sau là $12 - 7 = 5{\rm{m}}$.

Khoảng cách từ B đến tường sau là $12 - 9 = 3{\rm{m}}$.

Khoảng cách theo phương ngang (vòng qua tường sau):${d_1} = 5{\rm{m}} + 8{\rm{m}} + 3{\rm{m}} = 16{\rm{m}}$.

Khoảng cách theo phương đứng (chênh lệch độ cao so với trần):${d_2} = |4{\rm{m}} - 3{\rm{m}}| = 1{\rm{m}}$.

Độ dài quãng đường ${L_2}$:${L_2} = \sqrt {{{16}^2} + {1^2}} = \sqrt {256 + 1} = \sqrt {257} \approx 16{,}03{\rm{m}}$.

Trường hợp 3: Bò vòng qua bức tường phía trước

Khoảng cách theo phương ngang: ${d_1} = 7{\rm{m}} + 8{\rm{m}} + 9{\rm{m}} = 24{\rm{m}}$.

Khoảng cách theo phương đứng: ${d_2} = |4{\rm{m}} - 3{\rm{m}}| = 1{\rm{m}}$.

Độ dài quãng đường ${L_3}$:${L_3} = \sqrt {{{24}^2} + {1^2}} = \sqrt {577} \approx 24{,}02{\rm{m}}$.

Kết luận: So sánh các kết quả: $15{,}13 < 16{,}03 < 24{,}02$.Vậy quãng đường ngắn nhất là $\sqrt {229} \approx 15{,}13{\rm{m}}$.