Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Phan Đình Giót (Hà Nội) có đáp án

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 1$.

Thay $x = 1$ (thỏa mãn điều kiện $x > 0,\,x \ne 4$) vào biểu thức $A$, ta có:

$A = \frac{{\sqrt 1 - 2}}{{\sqrt 1 + 9}} = \frac{{1 - 2}}{{1 + 9}} = \frac{{ - 1}}{{10}}$.

Vậy $A = \frac{{ - 1}}{{10}}$ khi $x = 1$.

2) Rút gọn biểu thức $B$.

$B = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{2 - \sqrt x }}$

$= \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}$

$= \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{3\sqrt x - 6 + x - 3\sqrt x - 2\sqrt x + 6 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}$.

Vậy $B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}$.

3) Cho biểu thức $P = A.B$. Tìm $x$ là số nguyên lớn nhất để $P < \frac{1}{2}$.

Ta có: $P = A.B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 9}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 9}}$

Xét $P - \frac{1}{2} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 9}} - \frac{1}{2} = \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x + 9} \right)}}{{2\left( {\sqrt x + 9} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 11}}{{2\left( {\sqrt x + 9} \right)}}$

Để $P < \frac{1}{2}$ thì $P - \frac{1}{2} < 0$.

Suy ra $\frac{{\sqrt x - 11}}{{2\left( {\sqrt x + 9} \right)}} < 0$

Mà $2\left( {\sqrt x + 9} \right) > 0$, với $x > 0,\,x \ne 4$

Do đó $\sqrt x - 11 < 0$

Vì vậy $\sqrt x < 11$

Khi đó $x < 121$.

Vì $x$ là số nguyên lớn nhất nên ta chọn $x = 120$ (thỏa mãn điều kiện $x > 0,\,x \ne 4$)

Vậy $x = 120$ thoả mãn yêu cầu đề bài.

a) $3{x^2} + 8x - 3 = 0$

Phương trình có các hệ số: $a = 3;b = 8;c = - 3$ và $\Delta = {b^2} - 4ac = {8^2} - 4.3\left( { - 3} \right) = 100 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 8 + \sqrt {100} }}{{2.3}} = \frac{1}{3}$;

${x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 8 - \sqrt {100} }}{{2.3}} = - 3$.

Vậy phương trình $3{x^2} + 8x - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = \frac{1}{3}$ và ${x_2} = - 3$.

b) ${x^2} - 6x - 7 = 0$

Phương trình có các hệ số: $a = 1;b = - 6;c = - 7$.

Ta có: $a - b + c = 1 - \left( { - 6} \right) - 7 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = - 1$;

${x_2} = \frac{{ - c}}{a} = \frac{{ - \left( { - 7} \right)}}{1} = 7$.

Vậy phương trình ${x^2} - 6x - 7 = 0$ có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = - 1$ và ${x_2} = 7$.

c) $5{x^2} + 2\sqrt {10} .x + 2 = 0$

Phương trình có các hệ số: $a = 5;b' = \sqrt {10} ;c = 2$ và $\Delta ' = {b'^2} - ac = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - 5.2 = 0$ nên phương trình có nghiệm kép:

${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a} = \frac{{ - \sqrt {10} }}{5}$.

Vậy phương trình $5{x^2} + 2\sqrt {10} .x + 2 = 0$ có nghiệm kép là ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - \sqrt {10} }}{5}$.

Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là $x$ (km/h) ($x > 0$).

Thời gian dự định của ô tô là: $\frac{{120}}{x}$ (giờ).

Sau khi đi được $1$ giờ, quãng đường còn lại ô tô phải đi là: $120 - 1.x = 120 - x$(km)

Vận tốc của ô tô khi đi trên quãng đường còn lại là: $x + 6$ (km/h)

Thời gian ô tô đã đi trên quãng đường còn lại là: $\frac{{120 - x}}{{x + 6}}$ (giờ)

Đổi: $10$phút $= \frac{1}{6}$ giờ.

Thời gian thực tế ô tô đã đi (tính cả thời gian bị chặn bởi xe cứu hoả) là: $1 + \frac{1}{6} + \frac{{120 - x}}{{x + 6}}$ (giờ)

Vì xe vẫn đến $B$đúng như thời gian đã dự định nên ta có phương trình:

$1 + \frac{1}{6} + \frac{{120 - x}}{{x + 6}} = \frac{{120}}{x}$ hay ${x^2} + 42x - 4320 = 0$.

Phương trình có các hệ số $a = 1,b' = 21,c = - 4320$.

Ta có: $\Delta ' = {b'^2} - ac = {21^2} - 1.\left( { - 4320} \right) = 4761 > 0$.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - 21 + \sqrt {4761} }}{1} = 48$;

${x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - 21 - \sqrt {4761} }}{1} = - 90$.

So với điều kiện $x > 0$, ta nhận ${x_1} = 48$.

Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là $48$km/h.

Vì ${x_1} = 1$ là nghiệm của phương trình nên ta thay $x = 1$vào phương trình ta được:

${1^2} + 1 + m = 0 \Rightarrow m = - 2$.

Với $m = - 2$ thay vào phương trình ta được: ${x^2} + x - 2 = 0$

Phương trình có các hệ số $a = b = 1,c = - 2$.

Ta có: $\Delta = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.1.\left( { - 2} \right) = 9 > 0$.

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 1 + \sqrt 9 }}{{2.1}} = 1$;

${x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 1 - \sqrt 9 }}{{2.1}} = - 2$.

Thay ${x_1},{x_2}$ vào biểu thức $A$, ta được: $A = 2024.1 + 2025.( - 2) = - 2026$.

Vậy giá trị của biểu thức $A$ bằng $- 2026$.

a) Diện tích của hình quạt là: $\frac{{150^\circ .\pi {{.2}^2}}}{{360^\circ }} = \frac{{5\pi }}{3}\,\left( {d{m^2}} \right)$

Vậy diện tích của hình quạt đó bằng $\frac{{5\pi }}{3}\,\,d{m^2}$.

b) Chiều dài cung tương ứng với hình quạt tròn là: $\frac{{150^\circ .\pi .2}}{{180^\circ }} = \frac{{5\pi }}{3}\,\left( {dm} \right)$

Vậy chiều dài cung tương ứng với hình quạt tròn đó bằng $\frac{{5\pi }}{3}\,\,dm$.

a) Chứng minh tứ giác $BFEC$ nội tiếp.

Vì $BE$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $BE \bot AC$.

Suy ra $\widehat {BEC} = 90^\circ$.

Do đó $\Delta BEC$ vuông tại $E$.

Vì vậy ba điểm $B,E,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$ (1)

Vì $CF$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $CF \bot AB$.

Suy ra $\widehat {BFC} = 90^\circ$.

Do đó $\Delta BFC$ vuông tại $F$.

Vì vậy ba điểm $B,F,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$ (2)

Từ (1), (2), ta suy ra bốn điểm $B,F,E,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$.

Vậy tứ giác $BFEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$.

b) Chứng minh đường thẳng $OA$ vuông góc với đường thẳng $EF$.

Vì tứ giác $BFEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$ nên $\widehat {ABC} + \widehat {FEC} = {180^0}$.

Mà $\widehat {AEF} + \widehat {FEC} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat {AEF} = \widehat {ABC}$.

Kẻ đường kính $AP$ của đường tròn $\left( O \right)$.

Xét đường tròn $\left( O \right)$, có: $\widehat {CBP} = \widehat {CAP} = \frac{1}{2}$sđ (hai góc nội tiếp chắn ).

Xét đường tròn $\left( O \right)$, có: $\widehat {ABP} = 90^\circ$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $\widehat {ABC} + \widehat {CBP} = 90^\circ$.

Do đó $\widehat {AEF} + \widehat {CAP} = 90^\circ$.

Gọi $G$ là giao điểm của $EF$ và $AP$.

Xét tam giác $AGE$, có: $\widehat {AGE} + \widehat {CAP} + \widehat {AEF} = 180^\circ$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat {AGE} + 90^\circ = 180^\circ$.

Do đó $\widehat {AGE} = 90^\circ$.

Vì vậy $OA \bot EF$ tại $G$.

Vậy đường thẳng $OA$ vuông góc với đường thẳng $EF$.

c) Đường phân giác góc $FHB$ cắt $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Gọi $I$ là trung điểm của $MN$, $J$ là trung điểm của $AH$. Chứng minh tứ giác $AFHI$ nội tiếp và ba điểm $I,J,K$ thẳng hàng.

⦁ Chứng minh tứ giác $AFHI$ nội tiếp.

Ta có: $\widehat {FHB} = \widehat {EHC}$ (hai góc đối đỉnh).

Mà $MN$ là đường phân giác góc $FHB$.

Suy ra $\widehat {MHF} = \widehat {NHE}\,\,\left( { = \frac{{\widehat {FHB}}}{2} = \frac{{\widehat {EHC}}}{2}} \right)$ (1)

Vì tam giác $MHF$ vuông tại $F$ nên $\widehat {MHF} + \widehat {AMH} = 90^\circ$ (2)

Vì tam giác $NHE$ vuông tại $E$ nên $\widehat {NHE} + \widehat {ANH} = 90^\circ$ (3)

Từ (1), (2), (3), ta suy ra $\widehat {AMH} = \widehat {ANH}$.

Do đó $\Delta AMN$ cân tại $A$.

Mà $AI$ là đường trung tuyến của $\Delta AMN$ (vì $I$ là trung điểm của $MN$).

Suy ra $AI$ cũng là đường cao của $\Delta AMN$.

Do đó $AI \bot MN$.

Vì vậy $\widehat {AIH} = 90^\circ$.

Suy ra $\Delta AIH$ vuông tại $I$.

Khi đó ba điểm $A,H,I$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ (4)

Vì $CF$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $CF \bot AB$ hay $\widehat {AFH} = 90^\circ$.

Do đó $\Delta AFH$ vuông tại $F$.

Vì vậy ba điểm $A,F,H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ (5)

Từ (4), (5), ta thu được bốn điểm $A,F,H,I$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ hay tứ giác $AFHI$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$.

⦁ Chứng minh ba điểm $I,J,K$ thẳng hàng.

Vì $CF \bot AB$ (chứng minh trên) và $PB \bot AB$ ($\widehat {ABP} = 90^\circ$) nên $CF\parallel PB$.

Vì $BE$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $BE \bot AC$ hay $\widehat {AEH} = 90^\circ$.

Suy ra $\Delta AEH$ vuông tại $E$.

Do đó ba điểm $A,E,H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$.

Vì vậy điểm $E$ nằm trên đường tròn đường kính $AH$.

Ta có:

– Xét đường tròn $\left( O \right)$, có: $\widehat {CAP} = \widehat {CBP}$ (hai góc nội tiếp chắn ).

– Ta có: $\widehat {CBP} = \widehat {BCF}$ (hai góc so le trong của $CF\parallel PB$).

– Xét đường tròn đường kính $BC$, có: $\widehat {BEF} = \widehat {BCF}$ (hai góc nội tiếp chắn ).

– Xét đường tròn đường kính $AH$, có: $\widehat {BEF} = \widehat {MAH}$ (hai góc nội tiếp chắn ).

Do đó $\widehat {CAP} = \widehat {MAH}$.

Vì $\Delta AMN$ cân tại $A$ có $AI$ là đường trung tuyến nên $AI$ cũng là đường phân giác của $\Delta AMN$.

Suy ra $\widehat {MAI} = \widehat {NAI}$.

Mà $\widehat {MAI} = \widehat {MAH} + \widehat {HAI};\widehat {NAI} = \widehat {CAP} + \widehat {PAI}$ và $\widehat {CAP} = \widehat {MAH}$ (chứng minh trên).

Do đó $\widehat {HAI} = \widehat {PAI}$.

Vì vậy $\widehat {HAP} = 2\widehat {HAI}$.

Xét đường tròn đường kính $AH$, có: $\widehat {HJI} = 2\widehat {HAI}$ ( góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn ).

Mà $\widehat {HAP} = 2\widehat {HAI}$ (chứng minh trên).

Suy ra $\widehat {HJI} = \widehat {HAP}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Do đó $JI\,{\rm{//}}\,AP$ (6)

Ta có:

– Vì $E,F \in \left( J \right)$ nên $JE = JF$.

– Vì $E,F \in \left( K \right)$ nên $KE = KF$.

Do đó $JK$ là đường trung trực của đoạn thẳng $EF$.

Suy ra $JK \bot EF$.

Mà $AP \bot EF$ (chứng minh trên).

Vì vậy $JK\,{\rm{//}}\,AP$ (7)

Từ (6) và (7), ta thu được ba điểm $I,J,K$ thẳng hàng.

Gọi $x$ là số lần giảm giá tour du lịch của công ty trên, mỗi lần giảm $100$nghìn đồng.

Giá vé tour sau $x$ lần giảm giá vé là: $2000 - 100x$ (nghìn đồng).

Số người tham gia sau $x$ lần giảm giá là: $150 + 20x$ (người).

Doanh thu của công ty là: $(2000 - 100x)(150 + 20x)$ (nghìn đồng).

Đặt $A = (2000 - 100x)(150 + 20x)$

$$A = - \left( {2000{x^2} - 25000x - 300000} \right)$$

$$A = - {\left( {20\sqrt 5 \,x - 125\sqrt 5 } \right)^2} + 378125$$

Ta có: ${\left( {20\sqrt 5 \,x - 125\sqrt 5 } \right)^2} \ge 0$, với mọi $x$.

Suy ra $- {\left( {20\sqrt 5 \,x - 125\sqrt 5 } \right)^2} \le 0$ với mọi $x$.

Do đó $- {\left( {20\sqrt 5 \,x - 125\sqrt 5 } \right)^2} + 378125 \le 378125$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left( {20\sqrt 5 \,x - 125\sqrt 5 } \right)^2} = 0$ hay $20\sqrt 5 \,x - 125\sqrt 5 = 0$.

Nghĩa là, $20\sqrt 5 \,x = 125\sqrt 5$.

Khi đó $\,x = \frac{{125\sqrt 5 }}{{20\sqrt 5 }}$.

Vì vậy $\,x = \frac{{25}}{4}$.

Suy ra $x = 6{,}25$.

Số tiền công ty phải giảm giá tour là: $100x = 100.6{,}25 = 625$ (nghìn đồng).

Vậy công ty phải giảm giá tour $625$ nghìn đồng để doanh thu của công ty từ tour đó là lớn nhất.