Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Nguyễn Du (Hà Nội) có đáp án

1) Thay $x=16$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta có: $A=\frac{16}{\sqrt{16}-3}=\frac{16}{4-3}=16$.

Vậy $A=16$ khi $x=16$.

2) Với $x>0$, $x\ne 9$, ta có:

$B=\frac{2x-3}{x-3\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{2x-3}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}-\frac{1}{\sqrt{x}}$

$=\frac{(2x-3)-(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}=\frac{2x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}$

$=\frac{\sqrt{x}(2\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}$$=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}$.

3) Với $x>0$, $x\ne 9$, ta có:

$A-B=\frac{x}{\sqrt{x}-3}-\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{{(\sqrt{x}-1)}^{2}}{\sqrt{x}-3}$.

Mà ${(\sqrt{x}-1)}^{2}\ge 0$, do đó để $A-B<0$ thì $\sqrt{x}-3<0$ hay $\sqrt{x}<3$, tức là $x<9$.

Kết hợp với điều kiện đề bài ta được $0<x<9$.

1) Gọi $x$ (triệu đồng), $y$ (triệu đồng) lần lượt là số tiền mà bác Lan đầu tư vào trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng ($0<x<500;0<y<500$).

Theo bài, tổng số tiền bác Lan đầu tư vào hai khoản là $500$ triệu đồng nên ta có phương trình: $x+y=500$ (1)

Do lãi suất của trái phiếu là $7\%$/năm nên số tiền lãi bác Lan nhận được khi đầu tư trái phiếu là:

$x.7\%=0{,}07x$ (triệu đồng).

Do lãi suất của gửi tiết kiệm ngân hàng là $6\%$/năm nên số tiền lãi bác Lan nhận được khi gửi tiết kiệm ngân hàng là: $y.6\%=0{,}06y$ (triệu đồng).

Theo bài, mỗi năm bác Lan nhận được tiền lãi là $32$ triệu đồng từ hai khoản đầu tư đó nên ta có phương trình: $0{,}07x+0{,}06y=32$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y=500\ \ (1) \\ 0{,}07x+0{,}06y=32\ \ (2)\end{matrix}$

Từ phương trình (1), ta có $x=500-y$ (3)

Thế vào phương trình (2) ta được: $0{,}07.(500-y)+0{,}06y=32\ (4)$

Giải phương trình (4): $0{,}07.(500-y)+0{,}06y=32\$ ta được $y=300$

Thay $y=300$ vào phương trình (3) ta có: $x=500-300=200$

Ta thấy $x=200;\ y=300$ thỏa mãn điều kiện nên hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y)=(200;300)$

Vậy số tiền mà bác Lan đầu tư vào trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng lần lượt là $200$triệu đồng và $300$triệu đồng.

2) Gọi $x$ (km/h) là vận tốc của xe ô tô (ĐK: $x>20$)

Vận tốc của xe máy là $x-20$ (km/h)

Thời gian xe ô tô đi từ $A$ đến $B$là $\frac{120}{x}$ (h)

Thời gian xe máy đi từ $A$ đến $B$là $\frac{120}{x-20}$ (h)

Vì xe ô tô đến $B$ sớm hơn xe máy là $30$phút =$\frac{1}{2}$h nên ta có phương trình:

$\frac{120}{x-20}-\frac{120}{x}=\frac{1}{2}$

Giải phương trình ta tìm ra $x=80$ (thỏa mãn điều kiện) và $x=-60$ (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy vận tốc xe ô tô là $80$km/h, vận tốc xe máy là $60$km/h.

1) Ta có công thức: $s=5{t}^{2}$ với $t>0$

a) Quãng đường của vật chuyển động sau 2 giây là: ${s}_{1}=5{t}^{2}=5.{2}^{2}=20\ \text{(}\text{m}\text{)}$.

Vậy từ độ cao $125\ \text{m}$ so với mặt đất, sau 2 giây vật cách mặt đất là:

${s}_{2}=125-{s}_{1}=125-20=105\ \text{(}\text{m}\text{)}$.

b) Từ độ cao $125\ \text{m}$ vật rơi tự do (bỏ qua sức cản của không khí) đến khi tiếp đất là:

$5{t}^{2}=125$ hay ${t}^{2}=\frac{125}{5}=25$ suy ra $t=5$ (thỏa mãn) hoặc $t=-5$(loại)

Vậy sau 5 giây từ khi rơi thì vật tiếp đất.

2) Phương trình ${x}^{2}-5x-3=0$ có: $Δ={(-5)}^{2}-4\cdot 1\cdot (-3)=25+12=37>0$.

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ${x}_{1};{x}_{2}$

Áp dụng hệ thức Viète, ta có: ${x}_{1}+{x}_{2}=5$ và ${x}_{1}.{x}_{2}=-3$, suy ra ${x}_{1}\ne 1\ ;\ {x}_{2}\ne 1$

Với $A=\frac{1}{{x}_{1}-1}+\frac{1}{{x}_{2}-1}$$=\frac{{x}_{2}-1+{x}_{1}-1}{({x}_{2}-1)({x}_{1}-1)}=\frac{({x}_{1}+{x}_{2})-2}{{x}_{1}.{x}_{2}-({x}_{1}+{x}_{2})+1}$$=\frac{5-2}{-3-5+1}=\frac{3}{-7}=\frac{-3}{7}$.

Vậy giá trị của biểu thức $A=\frac{-3}{7}$.

a) Chứng minh bốn điểm $A,B,D,E$ cùng thuộc một đường tròn.

Có $AD,BE,CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$ nên $AD\perp BC$ tại $D$; $BE\perp AC$ tại $E$; $CF\perp AB$ tại $F$

Suy ra $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90^{\circ}$ ; $\widehat{BEA}=\widehat{BEC}=90^{\circ}$; $\widehat{CFA}=\widehat{CFB}=90^{\circ}$

Có $ΔABD$ vuông tại $D$ nên $ΔABD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$ suy ra ba điểm $A,B,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$(1)

Có $ΔABE$ vuông tại $E$ nên $ΔABE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$ suy ra ba điểm $A,B,E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$(2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm $A,B,D,E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$.

b) * Chứng minh: $DB.DC=DH.DA$

Có bốn điểm $A,B,D,E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$ suy ra $\widehat{EBD}=\widehat{EAD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $DE$)

Xét $ΔHBD$ và $ΔCAD$ có:

$\widehat{BDH}=\widehat{ADC}=90^{\circ}$ và $\widehat{EBD}=\widehat{EAD}$ (cmt)

Do đó $ΔHBD∽ΔCAD$ (g.g)

Suy ra $\frac{DB}{AD}=\frac{HD}{CD}$ nên $DB.DC=DH.DA$.

* Chứng minh $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$

Xét đường tròn $(O;R)$ đường kính $AK$ có: $\widehat{ACK}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đườn tròn) nên $AC$ vuông góc với $CK$ (1)

Lại có $BE\perp AC$ suy ra $BE\ \text{/}\text{/}\ CK$.

Chứng minh tương tự có: $CF\ \text{/}\text{/}\ BK$.

Xét tứ giác $BHCK$có: $CH\ \text{/}\text{/}\ BK$; $BH\ \text{/}\text{/}\ CK$ suy ra $BHCK$ là hình bình hành.

Lại có $I$ là giao điểm của $HK$ và $BC$ nên $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$.

c)

Có ${S}_{ΔABC}={S}_{ΔHAB}+{S}_{ΔHAC}+{S}_{ΔHBC}$

Ta có $\frac{{S}_{ΔHAB}}{{S}_{ΔABC}}=\frac{\frac{1}{2}.HF.AB}{\frac{1}{2}.CF.AB}=\frac{HF}{CF}$

$\frac{{S}_{ΔHAC}}{{S}_{ΔABC}}=\frac{\frac{1}{2}.HE.AC}{\frac{1}{2}.BE.AC}=\frac{HE}{BE}$

$\frac{{S}_{ΔHAC}}{{S}_{ΔABC}}=\frac{\frac{1}{2}.HD.BC}{\frac{1}{2}.AD.BC}=\frac{HD}{AD}$

Có $\frac{AH}{AD}+\frac{BH}{BE}+\frac{CH}{CF}=1-\frac{HD}{AD}+1-\frac{HE}{BE}+1-\frac{HF}{CF}$

$=3-(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF})$ $=3-(\frac{{S}_{ΔHBC}}{{S}_{ΔABC}}+\frac{{S}_{ΔHAC}}{{S}_{ΔABC}}+\frac{{S}_{ΔHAB}}{{S}_{ΔABC}})$

$=3-(\frac{{S}_{ΔABC}}{{S}_{ΔABC}})=3-1=2$.

Gọi độ dài $IA$ và $AB$ lần lượt là $a,b(0<a,b<8)$.

Vì chu vi của cửa sổ là $8\ \text{m}$ nên ta có: $πa+(2a+2b)=8$.

Suy ra $b=\frac{8-πa-2a}{2}$.

Diện tích của cửa sổ phần hình chữ nhật là:

${S}_{1}=AD.AB=2ab=2a.\frac{8-πa-2a}{2}=8a-(π+2){a}^{2}({m}^{2})$.

Diện tích của cửa sổ mái vòm là: ${S}_{2}={\frac{πIA}{2}}^{2}=\frac{π{a}^{2}}{2}({m}^{2})$.

Diện tích của sổ là:

$S={S}_{1}+{S}_{2}=8a-(π+2){a}^{2}+\frac{π{a}^{2}}{2}$

$S=-\frac{π+4}{2}\cdot ({a}^{2}-\frac{16}{π+4}a)$

$S=-\frac{π+4}{2}\cdot [{(a-\frac{8}{π+4})}^{2}-\frac{64}{{(π+4)}^{2}}]$

$S=\frac{32}{π+4}-\frac{π+4}{2}\cdot {(a-\frac{8}{π+4})}^{2}\ge \frac{32}{π+4}$.

Dấu “=” xảy ra khi $a-\frac{8}{π+4}=0$ hay $a=\frac{8}{π+4}$, khi đó $b=\frac{8}{π+4}$.

Diện tích lớn nhất của cửa sổ là $\frac{32}{π+4}{\text{m}}^{\text{2}}$.

Vậy hình chữ nhật có các kích thước là $\frac{16}{π+4}$ và $\frac{8}{π+4}$ đơn vị độ dài.