Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Mai Dịch (Hà Nội) có đáp án

a) Với $x = 9$ (TMĐK) nên $\sqrt x = 3$, thay vào $A$ ta được: $A = \frac{{3 - 2}}{{3 - 1}} = \frac{1}{2}$.

Vậy $A = \frac{1}{2}$ khi $x = 9.$

b) Với $x \ge 0;\,\,x \ne 1$, ta có:

$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{1}{{1 - \sqrt x }} + \frac{2}{{x - 1}}$$= \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x + 1} \right) + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$= \frac{{x - \sqrt x - \sqrt x - 1 + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$= \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$= \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$.

Vậy $x \ge 0;\,\,x \ne 1$ thì $B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$.

c) Với $x \ge 0;\,\,x \ne 1$, ta có: $P = A \cdot B$$= \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}$.

⦁ Với $x \ge 0;\,\,x \ne 1$, ta có: $\left| P \right| + P = 0$ suy ra $\left| P \right| = - P$ nên $P \le 0$.

Do đó $\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} \le 0$ nên $\sqrt x - 2 \le 0$ suy ra $x \le 4$.

⦁ Kết hợp điều kiện xác định, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 4\\x \ne 1\end{array} \right.$

Mà $x$ là số nguyên nên ta có: $x \in \{ 0;\,\,2;\,\,3;\,\,4{\rm{\} }}$.

Gọi số thùng sữa xe có thể chở được là $x$ (thùng) $\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)$.

Đổi: 5 tấn $= 5{\rm{ }}000$ kg.

Theo đề bài:

$$10x + 75 \le 5\,\,000$$

$x \le 492{,}5$.

Vậy xe có thể chở tối đa 492 thùng sữa.

Gọi lượng cá mà cơ sở phải mua mỗi tuần theo kế hoạch là $x$ tấn ($0 < x < 120$).

Số tuần cơ sở đó định mua cá là: $\frac{{120}}{x}$ (tuần).

Thực tế mỗi tuần cơ sở đó thu mua được số cá là: $x + 6$ (tấn).

Thực tế lượng cá cơ sở đó thu mua được là: $120 + 10 = 130$ (tấn).

Thực tế số tuần cơ sở đó thu mua cá là: $\frac{{130}}{{x + 6}}$ (tuần).

Vì cơ sở đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần nên ta có phương trình :

$\frac{{120}}{x} - \frac{{130}}{{x + 6}} = 1$

$\frac{{120\left( {x + 6} \right) - 130x}}{{x\left( {x + 6} \right)}} = 1$

$\frac{{720 - 10x}}{{{x^2} + 6x}} = 1$

${x^2} + 16x - 720 = 0$

$x = 20$ (thỏa mãn) hoặc $x = - 36$ (không thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch một tuần cơ sở đó thu mua 20 tấn cá.

a) $2{x^2} - 9x + 7 = 0$

Nhẩm $a + b + c = 2 - 9 + 7 = 0$

Chỉ ra phương trình có hai nghiệm ${x_1} = 1,{x_2} = \frac{7}{2}$.

b) ${x^2} + 6\sqrt 2 {\kern 1pt} x + 2 = 0$

Ta có $\Delta ' = {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} - 2 = 16 > 0$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = - 3\sqrt 2 + 4, {x_2} = - 3\sqrt 2 - 4$.

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: $\Delta ' = 2m + 6 > 0$ hay $m > - 3.$

Theo định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 6\\{x_1}.{x_2} = - 2m + 3\end{array} \right.$

Theo bài, $x_1^2 + x_2^2 = 20$

${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 20$

${6^2} - 2 \cdot \left( { - 2m + 3} \right) = 20$

$4m = - 10$

$m = \frac{{ - 5}}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy $m = \frac{{ - 5}}{2}$.

Chứng minh được $\widehat {AHC} = \widehat {AKC} = 90^\circ$

$\Delta AHC$ vuông tại $H$ nên ba điểm $A,H,C$ thuộc đường tròn đường kính $AC$.

$\Delta AKC$ vuông tại $K$ nên ba điểm $A,K,C$ thuộc đường tròn đường kính $AC$.

Vậy bốn điểm $A\,,H\,,K\,,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AC$ nên $AHKC\,$là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có $\widehat {DCB} = \widehat {DAB}\,$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BD)$ và $\widehat {KCH} = \widehat {KAH}\,$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung $KH)$

Suy ra $\widehat {KCH} = \widehat {DCB}$.

Xét $\Delta AIH$ và $\Delta ABD$ có:

$\widehat {AHI} = \widehat {ADB} = 90^\circ$ ($\widehat {ADB} = 90^\circ$ vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\widehat {BAD}$ là góc chung

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AD}}$ nên $AI.AD = AH.AB$.

c) Kéo dài $CP\,$cắt $AB\,$tại $M\,$.

Xét $\Delta ACM\,$có hai đường cao $AK\,$và $CH\,$cắt nhau tại $I\,$nên $I\,$ là trực tâm $\Delta ACM\,$. Suy ra $MI \bot AC\,$.

Xét nửa đường tròn $\left( O \right)$ có $\widehat {ACB} = 90^\circ \,$( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) nên $BC \bot AC\,$. Do đó $MI{\rm{//}}BC\,$.

Xét $\Delta CHB\,$có$I \in CH$, $M \in HB\,$mà $MI{\rm{//}}BC\,$suy ra $\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HM}}{{HB}}$ ( 1)

Xét $\Delta HDB{\mkern 1mu}$có$P \in HD{\mkern 1mu}$, $M \in HB{\mkern 1mu}$mà $MP{\rm{//}}DB{\mkern 1mu}$( vì cùng vuông góc với $AD{\mkern 1mu}$) suy ra $\frac{{HP}}{{HD}} = \frac{{HM}}{{HB}}$ (2)

Suy ra $\frac{{HP}}{{HD}} = \frac{{HI}}{{HC}}$ nên $IP\,{\rm{//}}\,CD\,$.

Chiếc hộp tạo thành là một hình hộp có đáy là hình vuông cạnh $12 - 2x$ (cm) và chiều cao là $x$ cm. Thể tích của hộp là $V = {\left( {12 - 2x} \right)^2}x$ $(0 < x < 6)$

Ta có: ${\left( {12 - 2x} \right)^2}x = \frac{1}{4}\left( {12 - 2x} \right)\left( {12 - 2x} \right)4x$.

⦁ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với 3 số không âm.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta được

$\left( {12 - 2x} \right)\left( {12 - 2x} \right)4x \le {\left( {\frac{{12 - 2x + 12 - 2x + 4x}}{3}} \right)^3}$

Do đó $V \le \frac{1}{4} \cdot {8^3} = 128$

Dấu “=” xảy ra khi $12 - 2x = 4x$

Khi đó $x = 2$ (thỏa mãn điều kiện).