Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Chương Dương (Hà Nội) có đáp án

a) Dựa vào kết quả đo chiều cao của 40 học sinh và chia vào cỡ áo:

Cỡ S: [146; 152), Cỡ M: [152; 158), Cỡ L: [158; 164), Cỡ XL: [164; 170).

Bảng tần số ghép nhóm – tần số tương đối ghép nhóm.

b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm ở dạng biểu đồ cột để biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm trên.

2) Đổi 1m58 = 158 cm.

Số kết quả thuận lợi là: $10 + 6 = 16$.

Xác suất để chọn được học sinh có chiều cao từ 1m58 trở lên là: $\frac{{16}}{{40}} = 0{,}4$.

1) Thay $x = 64$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$ ta được $A = \frac{2}{{\sqrt {64} - 2}} = \frac{1}{3}$.

2) Với $x \ge 0, x \ne 4$, ta có:

$B = \frac{{3\left( {\sqrt x + 2} \right) + \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$= \frac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}$.

3) Với $x \ge 0, x \ne 4$ ta có:

$P = \frac{A}{B} = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{2}{{\sqrt x + 2}}$.

$P \ge \frac{2}{{x + 2}}$ suy ra $\frac{2}{{\sqrt x + 2}} \ge \frac{2}{{x + 2}}$.

Do $2 > 0$ và $x + 2 > 0, \sqrt x + 2 > 0$

Suy ra $\sqrt x + 2 \le x + 2$ nên $\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) \ge 0$

TH1: $\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) = 0$ nên $x = 0$ (thỏa mãn) hoặc $x = 1$ (thỏa mãn).

TH2: $\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) > 0$ suy ra $\sqrt x - 1 > 0$ (vì $\sqrt x \ge 0$ với mọi $x$ thỏa mãn) nên $x > 1$.

Kết hợp với điều kiện $x \ge 0, x \ne 4$ ta được $x = 0$ hoặc $x \ge 1, x \ne 4$.

Đổi $5h50' = \frac{{35}}{6}h.$

Gọi thời gian công nhân thứ nhất làm một mình xong công việc là x (đơn vị: giờ, $x > 0$).

Thời gian công nhân thứ hai làm một mình xong công việc là $y$(đơn vị: giờ, $y > 0$).

Trong một giờ công nhân thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc).

Trong một giờ công nhân thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Vì hai công nhân làm chung công việc đó sau $\frac{{35}}{6}h$ thì xong nên ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{6}{{35}}$ (1)

Vì Sau khi làm chung 5 giờ thì người thứ nhất đi làm việc khác trong khi người thứ hai vẫn tiếp tục làm trong 2 giờ nữa mới hoàn thành xong công việc nên ta có:

phương trình $\frac{5}{x} + \frac{7}{y} = 1$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{6}{{35}}\\\frac{5}{x} + \frac{7}{y} = 1\end{array} \right.$

Giải hệ tìm được $\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 14\end{array} \right..$ (thỏa mãn)

Vậy công nhân thứ nhất làm một mình xong việc trong $10$ giờ, công nhân thứ hai làm một mình xong việc trong $14$ giờ.

Đổi 30 phút $= \frac{1}{2}$ giờ.

Gọi vận tốc riêng của ca nô là $x$ (km/h) $\left( {x > 3} \right)$.

Vận tốc xuôi dòng là $x + 3$ (km/h).

Vận tốc ngược dòng là $x - 3$ (km/h).

Thời gian xuôi dòng là $\frac{{48}}{{x + 3}}$ (giờ).

Thời gian ngược dòng là $\frac{{48}}{{x - 3}}$ (giờ).

Thời gian cả đi và về và nghỉ là: 10 giờ 36 phút – 6 giờ 30 phút = 4 giờ 06 phút = $\frac{{41}}{{10}}$ giờ.

Ta có phương trình: $\frac{{48}}{{x + 3}} + \frac{{48}}{{x - 3}} + \frac{1}{2} = \frac{{41}}{{10}}$

Giải phương trình được: ${x_1} = 27$ (thỏa mãn); ${x_2} = - \frac{1}{3}$ (loại).

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 27 km/h.

Độ dài cung tròn $AB$ là $10\pi$ (m).

Độ dài hàng rào: $10\pi + 30 \approx 61{,}4$ (m).

Diện tích hình tròn là: 225 (m$^{2}$).

Diện tích phần trồng hoa là: 75 (m$^{2}$).

Diện tích phần lát gạch là: 75 471 (m$^{2}$).

a) $\Delta BCE$ vuông tại $E$ nên $E$ thuộc đường tròn đường kính $BC$.

$\Delta BCF$ vuông tại $F$ nên $F$ thuộc đường tròn đường kính $BC$.

Suy ra $B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}E,{\rm{ }}F$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ nên tứ giác $BCEF$ nội tiếp.

b) Xét $\Delta BAD$ và $\Delta QAC$ có:

$\widehat {ADB} = \widehat {ACQ} = 90^\circ$ ($\widehat {ACQ} = 90^\circ$ vì góc nội tiếp nửa đường tròn);

$\widehat {ABC} = \widehat {AQC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn

Do đó (g.g)

Suy ra $\widehat {BAD} = \widehat {QAC}$.

Chứng minh tương tự, ta có $\widehat {ABQ} = 90^\circ$ và $\widehat {BAQ} = \widehat {EAH}$

Do đó (g.g).

Suy ra $AE.AQ = AB.AH$.

c) Tứ giác $BCEF$ nội tiếp nên $\widehat {ABI} = \widehat {AEP}$ (cùng bù với $\widehat {AEF}$).

Ta có $\widehat {BAD} = \widehat {QAC}$ nên $\widehat {BAI} = \widehat {EAP}$.

Do đó, ta có suy ra $\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AI}}{{AP}}$.

Ta có suy ra $\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AQ}}{{AH}}$

Do đó $\frac{{AI}}{{AP}} = \frac{{AQ}}{{AH}}$ nên $\frac{{AI}}{{AQ}} = \frac{{AP}}{{AH}}$

Theo định lí Thalès đảo, ta có: $PI\,{\rm{//}}\,HQ$.

Bài 5. 3 người cùng cất tài liệu quan trọng vào một cái két. Hỏi phải làm cho cái két ít nhất bao nhiêu ổ khoá và bao nhiêu chìa để két chỉ mở được nếu có mặt ít nhất 2 trong số 3 người trên.

Vì két chỉ mở được nếu có mặt ít nhất 2 người nên số ổ khoá phải lớn hơn hoặc bằng 2

a) Làm 2 ổ khoá

– Nếu làm 3 chìa thì sẽ có 2 người có cùng một loại chìa, 2 người này không mở được két.

– Nếu làm nhiều hơn 3 chìa thì ít nhất có 1 người cầm 2 chìa khác loại, vậy chỉ cần một người này đã mở được két.

b) Làm 3 ổ khoá

– Nếu làm tổng số 3 chìa thì phải đủ 3 người mới mở được két.

– Nếu làm 4 hoặc 5 chìa thì có ít nhất 2 người không mở được két.

– Nếu làm 6 chìa (mỗi ổ khoá 2 chìa), chia cho 3 người sao cho mỗi người cầm 2 chìa của hai ổ khoá khác nhau thì chỉ cần 2 người là có thể mở được két.

Vậy ít nhất phải làm 3 ổ khoá và mỗi ổ khoá làm 2 chìa.