Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Ba Đình (Hà Nội) có đáp án

a) Thay $x = - 3,\,\,y = 18$ vào công thức hàm số$y = \left( {m-3} \right){x^2}$, ta được:

$$18 = \left( {m-3} \right) \cdot {\left( { - 3} \right)^2}$$

$$9\left( {m-3} \right) = 18$$

$m - 3 = 2$

$m = 5$ (thỏa mãn).

Vậy $m = 5$.

b) Với $m = 5$ hàm số có dạng $y = 2{x^2}$.

Phương trình xác định hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$ là:

$2{x^2} = - 7x + 4$

$2{x^2} + 7x - 4 = 0$

$x = \frac{1}{2}$ hoặc $x = - 4$.

Với $x = \frac{1}{2}$ ta có $y = \frac{1}{2}$.

Với ta có $y=32$.

Suy ra toạ độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là $(\frac{1}{2};\frac{1}{2})$ và $(-4;32)$.

1) Thay $x=25$ (tmđk) vào biểu thức $P$ ta được: $P=\frac{\sqrt{25}-6}{\sqrt{25}}=\frac{-1}{5}$.

b) Với $x>0,\ \ x\ne 9$, ta có:

$Q=\frac{6-8\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}+\frac{2}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$

$Q=\frac{6-8\sqrt{x}+2\sqrt{x}-6+x+3\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$

$Q=\frac{x-3\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$

$Q=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$.

c) Với $x>0,\ \ x\ne 9$, ta có: $T=\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+3}=1-\frac{9}{\sqrt{x}+3}$.

Vì $T\in ℤ$ nên $\frac{9}{\sqrt{x}+3}\in ℤ$

TH1: $x\in ℤ,\sqrt{x}$ là số vô tỉ, loại.

TH2: $x\in ℤ,\ \ \sqrt{x}\in ℤ$ nên $\sqrt{x}+3\in$Ư(9) , mà $\sqrt{x}+3>3$ nên $\sqrt{x}+3=9$.

Tính được $x=36$ và $T=0$ (không thoả mãn).

Gọi số xe đội dự định sử dụng là $x$ (xe, $x\in ℕ*$).

Số tấn hàng mỗi xe phải chở theo dự định là $\frac{60}{x}$ (tấn).

Số xe thực tế đội đã sử dụng là $x-2$ (xe).

Số tấn hàng mỗi xe phải chở thực tế là $\frac{60}{x-2}$ (tấn).

Vì thực tế mỗi xe phải chở nhiều hơn so với dự định 1 tấn nên ta có phương trình:

$\frac{60}{x-2}-\frac{60}{x}=1$

$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x}=\frac{1}{60}$

$\frac{x-(x-2)}{x(x-2)}=\frac{1}{60}$

$\frac{2}{x(x-2)}=\frac{1}{60}$

${x}^{2}-2x=120$

$x=12$ (thỏa mãn) hoặc $x=-10$ (không thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch đội dự định sử dụng 12 xe để vận chuyển.

a) Với $m = 1$ phương trình có dạng ${x^2} - 3x + 1 = 0$.

Phương trình có $\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};\,\,{x_2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}$.

b) Phương trình đã cho có $\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot m = 9--4m.$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta > 0$ hay $m < \frac{9}{4}$.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = m\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Theo bài, ${x_1} - 2{x_2} = 6$ nên ${x_1} = 2{x_2} + 6$, thay vào (1) ta có:

$2{x_2} + 6 + {x_2} = 3$ nên ${x_2} = - 1$.

Suy ra ${x_1} = 4$.

Thay ${x_1} = 4$ và ${x_2} = - 1$ vào (2), ta được: $m = - 4$.

a) Bán kính đáy của thùng tôn là $0{,}6:2 = 0{,}3$ (m).

Thể tích thùng tôn đó là: $V = \pi {R^2}h = \pi .0,{3^2}.1 \approx 0{,}2826$ (m$^{3}$).

b) Diện tích xung quanh của thùng tôn đó là: $S = 2\pi Rh = 0{,}6\pi$ (m$^{2}$).

Số tiền doanh nghiệp cần chi là: $0{,}6\pi .100.500 \approx 94200$ (nghìn đồng).

Vậy số tiền doanh nghiệp cần chi khoảng 94 200 nghìn đồng (94 200 000 đồng).

Chứng minh $\widehat {ADB} = \widehat {AEB} = 90^\circ$ .

$\Delta ADB$ vuông nội tiếp đường tròn đường kính $BE$.

$\Delta AEB$ vuông nội tiếp đường tròn đường kính $BE$.

Suy ra 4 điểm $A,\;B,\;D,\;E$ thuộc đường tròn đường kính $BE$.

b) $\left( O \right)$ có: $\widehat {ACK} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\widehat {ABD} = \widehat {ACK}$ (hai góc nội tiếp chắn cung $AC$)

Chứng minh được (g.g)

Suy ra $\frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{AD}}{{AC}}$ nên $AB.AC\; = \;2AD.R$

c)

Cho $ΔABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Hai đường cao $AD,BE$ của $ΔABC$ cắt nhau tại $H$.

(a) Chứng minh $A,E,D,B$ cùng thuộc một đường tròn.

(b) Kẻ đường kính $AK$ của $(O)$. Chứng minh và $AB.AC=2AD.R$.

$\Delta BOC$ cân tại $O$ có $OM$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao, suy ra $OM$ vuông góc với $BC$, nên $\widehat {OMB} = 90^\circ$.

$\widehat {OFB} = 90^\circ$

Suy ra tứ giác $BOFM$ nội tiếp

Tứ giác $BOFM$ nội tiếp nên $\widehat {BOM} = \widehat {BFM}$

Mà $\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}$, $\widehat {BAE} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}$

Suy ra $\widehat {BAE} = \widehat {BFM}$ (1)

Tứ giác $AEFB$ nội tiếp nên $\widehat {AFE} = \widehat {ABE}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {AFE} + \widehat {BFM} = \widehat {ABE} + \widehat {BAE} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {AFE} + \widehat {BFM} + \widehat {AFB} = 180^\circ$ nên $E,\;F,\;M$ thẳng hàng.

Gọi chiều ngang phần chứa chữ lần là $x$ (cm, $x > 0)$

Chiều dọc phần chứa chữ là $\frac{{384}}{x}$ (cm)

Chiều ngang và chiều dọc của trang tạp chí là $x + 4$ và$\frac{{384}}{x} + 6$ (cm).

Diện tích trang giấy là $S = \left( {x + 4} \right)\left( {\frac{{384}}{x} + 6} \right)$ (cm$^{2}$).

⦁ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương:

$S = 6x + \frac{{1536}}{x} + 408 \ge 2\sqrt {6x.\frac{{1536}}{x}} + 408 = 600$.

Dấu = xảy ra khi $x = 16$

Vậy để diện tích chữ là 384 cm$^{2}$ thì diện tích trang tạp chí nhỏ nhất là 600 cm$^{2}$ khi chiều ngang 20 cm, chiều dọc 30 cm.