Đề thi giữa kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2

Đáp án đúng là: D

Vì ${\left( {{x^5} + C} \right)^\prime } = 5{x^4}$ nên $\int {5{x^4}dx} = {x^5} + C$.

Đáp án đúng là: B

$\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$, $\alpha \ne - 1$.

Đáp án đúng là: A

$\int_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]} dx$$= \int_0^2 {f\left( x \right)} dx + 3\int_0^2 {g\left( x \right)} dx$$= 3 + 3.7 = 24$.

Đáp án đúng là: B

$\int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)} dx = f\left. {\left( x \right)} \right|_{ - 1}^2 = f\left( 2 \right) - f\left( { - 1} \right) = 1 + 8 = 9$.

Đáp án đúng là: C

$\int\limits_2^5 {3f\left( x \right)dx}$$= 3\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} = 3.2 = 6$.

Đáp án đúng là: A

$V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}dx}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 6; - 4} \right) = 2\left( {1; - 3; - 2} \right) = 2\overrightarrow {{n_4}}$.

Do đó $\overrightarrow{{n}_{4}}=(1\ ;\ -3\ ;\ -2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Đáp án đúng là: B

Thay tọa độ điểm $\left( { - 2;1; - 5} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right): - 2x + y - 5 = 0$ ta được:

$- 2.\left( { - 2} \right) + 1 - 5 = 0$ (luôn đúng).

Vậy điểm $\left( { - 2;1; - 5} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$.

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng $3x + y - 7z - 3 = 0$ nhận $\overrightarrow n = \left( {3;1; - 7} \right)$ là một vectơ pháp tuyến.

Đáp án đúng là: D

$F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\sin 2xdx} = - \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Vì $F\left( 0 \right) = 1$ nên $- \frac{1}{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{3}{2}$.

Do đó $F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{3}{2}$.

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) + {e^x}} \right]dx}$$= 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx}$$= 2.2 + \left. {{e^x}} \right|_0^1$$= 3 + e$.

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M\left( {2; - 1;1} \right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)$ có phương trình là:

$\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow x - 2y + 2z - 6 = 0$.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Ô tô dừng lại thì $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 2t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 10$ giây.

b) $s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt}$.

c) Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại là:

$s\left( t \right) = \int\limits_0^{10} {\left( { - 2t + 20} \right)dt} = 100$ (m).

d) Quãng đường mà ô tô đi được trong 15 giây cuối bằng $20.5 + 100 = 200$(m).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Mặt phẳng song song với $\left( \alpha \right)$ có dạng $x + 2y - z + m = 0$ với $m \ne 1$.

b) Có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 3; - 4} \right)$.

Có $\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 1.2 + 2.\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) = 0$. Do đó $\left( P \right) \bot \left( Q \right)$.

c) $\left( P \right)$ đi qua $A\left( {2; - 3;1} \right)$ nên $2 + 2.\left( { - 3} \right) - 1 + m = 0 \Leftrightarrow m = 5$ (thỏa mãn).

Vậy $\left( P \right):x + 2y - z + 5 = 0$.

d) Thay tọa độ điểm $M\left( {1;2; - 1} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ ta được:

$1 + 2.2 - \left( { - 1} \right) + 5 \ne 0$. Vậy $\left( P \right)$không đi qua điểm $M\left( {1;2; - 1} \right)$.

Trả lời: 27

Ta có $F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + {C_1}\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\{x^3} + 4x + {C_2}\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.$.

Vì $F\left( 0 \right) = 2$ nên $F\left( 0 \right) = {0^3} + 4.0 + {C_2} = 2 \Rightarrow {C_2} = 2$.

Vì $F\left( x \right)$ liên tục nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)$$\Leftrightarrow 6 + {C_1} = 7 \Rightarrow {C_1} = 1$.

Do đó $F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + 1\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\{x^3} + 4x + 2\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.$.

Ta có $F\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + 4.\left( { - 1} \right) + 2 = - 3;F\left( 2 \right) = {2^2} + 5.2 + 1 = 15$.

Do đó $F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = - 3 + 2.15 = 27$.

Trả lời: 11

Ta có $9 = \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_2^5 = F\left( 5 \right) - F\left( 2 \right) = F\left( 5 \right) - 2 \Rightarrow F\left( 5 \right) = 11$.

Trả lời: −4

Ta có $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {7; - 3;m} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1; - 3;4} \right)$.

Để $\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_\beta }} = 0 \Leftrightarrow 7.1 + \left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) + m.4 = 0 \Leftrightarrow m = - 4$.

Trả lời: −2,5

Mặt phẳng $\left( P \right)//\left( \alpha \right)$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng: $2x - y + d = 0\left( {d \ne - 1} \right)$.

Vì $(P)$ đi qua $M\left( {1;0;0} \right)$ nên $2.1 - 0 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 2$.

Do đó $(P):2x - y - 2 = 0$ $\Leftrightarrow - x + \frac{1}{2}y + 1 = 0$.

Suy ra $b = \frac{1}{2};c = 0;d = 1$. Do đó $b + c - 3d = - 2{,}5$.

Ta có: $g\left( 3 \right) = \int\limits_0^3 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {f\left( t \right){\rm{d}}t} + \int\limits_1^2 {f\left( t \right){\rm{d}}t} + \int\limits_2^3 {f\left( t \right){\rm{d}}t}$

$= \int\limits_0^1 {{\rm{2d}}t} + \int\limits_1^2 {{\rm{2}}t{\rm{d}}t} + \int\limits_2^3 {\left( {12 - 4t} \right){\rm{d}}t}$

$= \left. {2t} \right|_0^1 + \left. {{t^2}} \right|_1^2 + \left. {\left( {12t - 2{t^2}} \right)} \right|_2^3 = 7$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $A\left( {30;0} \right),B\left( {0;20} \right)$.

Khi đó, parabol $\left( P \right)$ có đỉnh là $B\left( {0;20} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {30;0} \right)$ nên $\left( P \right)$ có phương trình là $y = - \frac{1}{{45}}{x^2} + 20$.

Khi đó tổng diện tích các phần parabol là $4\int\limits_0^{30} {\left( { - \frac{1}{{45}}{x^2} + 20} \right)dx} = 1600$ (m$^{2}$).

Vậy diện tích phần sân chơi là $60.80 - 1600 = 3200$ (m$^{2}$).

Giả sử $A\left( {1;1;10} \right),B(4;3;1),C(3;2;5)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {3;2; - 9} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2;1; - 5} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)$.

Chọn $\overrightarrow n = \left( {1;3;1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.

Suy ra $\left( P \right)$ có phương trình là $\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 1} \right) + \left( {z - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y + z - 14 = 0$.