Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2026-2027 THCS Nguyễn Trường Tộ (Hà Nội) có đáp án

a) $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{{x + 1}}{2} + \frac{{y + 3}}{3} = 3}\\{\frac{{2x + 1}}{3} - \frac{{3y - 2}}{{14}} = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$

Nhân hai vế phương trình thứ nhất với $6$ và hai vế phương trình thứ hai với $42$, ta được:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y + 3} \right) = 18}\\{14\left( {2x + 1} \right) - 3\left( {3y - 2} \right) = 21}\end{array}} \right.$ suy ra $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x + 2y = 9\,\,\left( 3 \right)}\\{28x - 9y = 1\,\,\left( 4 \right)}\end{array}} \right.$.

Nhân hai vế của phương trình (3) với $9$ và phương trình (4) với 2 ta được:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{27x + 18y = 81}\\{56x - 18y = 2}\end{array}} \right.$.

Cộng từng vế hai phương trình, ta được $83x = 83$ suy ra $x = 1$.

Thay $x = 1$ vào phương trình $3x + 2y = 9$ ta được:

$3 \cdot 1 + 2y = 9$ suy ra $y = 3$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\,3} \right)$.

b) $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2\left( {x + y} \right) - 3\left( {x - y} \right) = 4}\\{5\left( {x + y} \right) + 6\left( {x - y} \right) = 7}\end{array}} \right.$

Rút gọn hệ phương trình, ta được:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x + 2y - 3x + 3y = 4}\\{5x + 5y + 6x - 6y = 7}\end{array}} \right.$ suy ra $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - x + 5y = 4}\\{11x - y = 7}\end{array}} \right.$.

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với $5$, ta được hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} - x + 5y = 4\\55x - 5y = 35\end{array} \right.$.

Cộng từng vế hai phương trình, ta được $54x = 39$ suy ra $x = \frac{{13}}{{18}}$.

Thay $x = \frac{{13}}{{18}}$ vào phương trình $- x + 5y = 4$ ta được:

$- \frac{{13}}{{18}} + 5y = 4$ suy ra $y = \frac{{17}}{{18}}$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{{13}}{{18}};\,\,\frac{{17}}{{18}}} \right)$.

Gọi vận tốc dự định của xe máy là $x$ (km/h) và thời gian dự định là $y$ (giờ).

Điều kiện: $x > 15,\,\,y > 1$.

Quãng đường $AB$ là $xy$ (km).

Nếu tăng vận tốc thêm $15{\rm{\;km/h}}$ thì đến sớm hơn $1$ giờ nên ta có:

$\left( {x + 15} \right)\left( {y - 1} \right) = xy$ suy ra $- x + 15y = 15$ (1).

Nếu giảm vận tốc đi $15{\rm{\;km/h}}$ thì đến chậm hơn $2$ giờ nên ta có:

$\left( {x - 15} \right)\left( {y + 2} \right) = xy$ suy ra $2x - 15y = 30$ (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - x + 15y = 15}\\{2x - 15y = 30}\end{array}} \right.$.

Cộng vế theo vế của hệ ta được $x = 45$ (thỏa mãn).

Thay $x = 45$ vào phương trình $- x + 15y = 15$ ta được:

$- 45 + 15y = 15$ suy ra $15y = 60$ suy ra $y = 4$ (thỏa mãn).

Vậy quãng đường $AB$ dài $45 \cdot 4 = 180{\rm{\;km}}$.

a) Ta có:

$4\left( {3x - 1} \right)\left( {2x + 3} \right) = 5\left( {3x - 1} \right)$

$\left( {3x - 1} \right)\left[ {4\left( {2x + 3} \right) - 5} \right] = 0$

$\left( {3x - 1} \right)\left( {8x + 7} \right) = 0$.

Trường hợp 1: $3x - 1 = 0$ suy ra $x = \frac{1}{3}$.

Trường hợp 2: $8x + 7 = 0$ suy ra $x = \frac{{ - 7}}{8}$.

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{1}{3}$ và $x = - \frac{7}{8}$.

b) $\frac{{3x - 1}}{{x - 2}} + \frac{{4 - x}}{{x + 2}} = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 4}} + 2$

Điều kiện xác định: $x \ne 2$ và $x \ne - 2$.

Ta có: $\frac{{3x - 1}}{{x - 2}} + \frac{{4 - x}}{{x + 2}} = \frac{{2x - 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + 2$

$\frac{{\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {4 - x} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{2x - 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {4 - x} \right)\left( {x - 2} \right) = 2x - 1 + 2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)$

$\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {4 - x} \right)\left( {x - 2} \right) = 2x - 1 + 2\left( {{x^2} - 4} \right)$

$3{x^2} + 5x - 2 - {x^2} + 6x - 8 = 2{x^2} + 2x - 9$

$2{x^2} + 11x - 10 = 2{x^2} + 2x - 9$

$9x = 1$

$x = \frac{1}{9}$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{1}{9}$.

Gọi vận tốc xe máy là $x$ (km/h), điều kiện $x > 0$.

Vận tốc ô tô là $x + 30$ (km/h).

Thời gian xe máy đi hết quãng đường $AB$ là $\frac{{280}}{x}$ (giờ).

Thời gian ô tô đi hết quãng đường $AB$ là $\frac{{280}}{{x + 30}}$ (giờ).

Vì ô tô đến sớm hơn xe máy $3$ giờ nên ta có phương trình:

$\frac{{280}}{x} - \frac{{280}}{{x + 30}} = 3$.

$280\left( {x + 30} \right) - 280x = 3x\left( {x + 30} \right)$

$8400 = 3{x^2} + 90x$

${x^2} + 30x = 2800$

${x^2} + 30x + 225 = 3025$

${\left( {x + 15} \right)^2} = {55^2}$

$\left( {x + 15 - 55} \right)\left( {x + 15 + 55} \right) = 0$

$\left( {x - 40} \right)\left( {x + 70} \right) = 0$.

Trường hợp 1: $x - 40 = 0$ suy ra $x = 40$ (thỏa mãn).

Trường hợp 2: $x + 70 = 0$ suy ra $x = - 70$ (loại).

Vậy vận tốc xe máy là $40{\rm{\;km/h}}$.

a) $\frac{{2x - 1}}{3} > 4x - 2$

$2x - 1 > 3\left( {4x - 2} \right)$

$2x - 1 > 12x - 6$

$- 10x > - 5$

$x < \frac{1}{2}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < \frac{1}{2}$.

b) $\frac{{3x - 2}}{{ - 7}} > \frac{{2x + 1}}{3}$

Nhân hai vế của bất phương trình với $21$ ta có:

$- 3\left( {3x - 2} \right) > 7\left( {2x + 1} \right)$

$- 9x + 6 > 14x + 7$

$- 23x > 1$

$x < - \frac{1}{{23}}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < - \frac{1}{{23}}$.

Gọi số câu thí sinh trả lời đúng là $x$ (câu), điều kiện $x \in \mathbb{N}$, $x \le 12$.

Số câu trả lời sai là $12 - x$ (câu).

Số điểm thí sinh đạt được là $20 + 5x - 2\left( {12 - x} \right) = 7x - 4$ (điểm).

Để được vào vòng thi tiếp theo thì $7x - 4 \ge 55$ suy ra $7x \ge 59$ suy ra $x \ge \frac{{59}}{7} \approx 8{,}43$.

Vì $x$ là số tự nhiên nên $x \ge 9$.

Vậy thí sinh phải trả lời đúng ít nhất $9$ câu thì được vào vòng thi tiếp theo.

a)

Vì $E,\,\,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,BC$ và $AB = BC$ nên $BE = CF$.

Xét ${\rm{\Delta }}BEC$ và ${\rm{\Delta }}CFD$ có: $BE = CF$, $\widehat {EBC} = \widehat {FCD} = 90^\circ$ và $BC = CD$.

Do đó ${\rm{\Delta }}BEC = {\rm{\Delta }}CFD$ (c.g.c), suy ra $\widehat {BCE} = \widehat {CDF}$.

Mà $\widehat {CDF} + \widehat {CFD} = 90^\circ$ (vì ${\rm{\Delta }}CFD$ vuông tại $C$) nên $\widehat {BCE} + \widehat {CFD} = 90^\circ$, hay $\widehat {MCF} + \widehat {MFC} = 90^\circ$.

Suy ra $\widehat {CMF} = 90^\circ$.

Vậy $CE \bot DF$.

b) Xét ${\rm{\Delta }}DMC$ và ${\rm{\Delta }}DCF$ có: $\widehat {DMC} = \widehat {DCF} = 90^\circ$ và $\widehat {CDF}$ chung.

Do đó $\text{Δ}DMC∽\text{Δ}DCF$ (g.g), suy ra $\frac{{DM}}{{DC}} = \frac{{DC}}{{DF}}$ hay $C{D^2} = DM \cdot DF$.

Xét ${\rm{\Delta }}CMF$ và ${\rm{\Delta }}CBE$ có: $\widehat {CMF} = \widehat {CBE} = 90^\circ$ và $\widehat {BCE}$ chung.

Do đó $\text{Δ}CMF∽\text{Δ}CBE$ (g.g), suy ra $\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{CF}}{{CE}}$ hay $CM \cdot CE = CB \cdot CF$.

Suy ra $\frac{{CM \cdot CE}}{{CF}} = CB = AB$.

c)

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$, $H$ là giao điểm của $AI$ và $DM$.

Ta có $AE\,{\rm{//}}\,IC$ và $AE = IC = \frac{{AB}}{2}$ nên tứ giác $AECI$ là hình bình hành, suy ra $AI\,{\rm{//}}\,CE$.

Trong ${\rm{\Delta }}DMC$ có $I$ là trung điểm của $DC$ và $IH\,{\rm{//}}\,CM$ nên $H$ là trung điểm của $DM$.

Mặt khác $AI\,{\rm{//}}\,CE$ và $CE \bot DF$ nên $AH \bot DM$.

Do đó $AH$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của ${\rm{\Delta }}MAD$, suy ra ${\rm{\Delta }}MAD$ cân tại $A$.