Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2025-2026 THCS Nguyễn Trường Tộ (Hà Nội) có đáp án

a) $5\left( {3x - 1} \right) = \left( {2x + 3} \right)\left( {3x - 1} \right)$

$\begin{array}{l}\left( {3x - 1} \right)\left[ {5 - \left( {2x + 3} \right)} \right] = 0\\\left( {3x - 1} \right)\left( {2 - 2x} \right) = 0\end{array}$

$3x - 1 = 0$ hoặc $2 - 2x = 0$

$x = \frac{1}{3}$ hoặc $x = 1.$

Vậy phương trình có nghiệm là $x \in \left\{ {\frac{1}{3};1} \right\}$

b) $\frac{{3x - 1}}{{x - 2}} - \frac{{2x - 3}}{{x + 2}} + \frac{{7x - 2}}{{4 - {x^2}}} = 0$ (ĐK: $x \ne 2,\,\,x \ne - 2).$

$$\frac{{\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{7x - 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 0$$

$\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {2x - 3} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {7x - 2} \right) = 0$

$3{x^2} + 6x - x - 2 - \left( {2{x^2} - 4x - 3x + 6} \right) - 7x + 2 = 0$

${x^2} + 5x - 6 = 0$

$\left( {x + 6} \right)\left( {x - 1} \right) = 0$

$x + 6 = 0$ hoặc $x - 1 = 0$

$x = - 6$ (thỏa mãn) hoặc $x = 1$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x \in \left\{ { - 6;\,\,1} \right\}.$

c) $\frac{{2x - 11}}{{ - 7}} < \frac{{3x + 5}}{{11}}$

$\begin{array}{l}11\left( {2x - 11} \right) > - 7\left( {3x + 5} \right)\\22x - 121 > - 21x - 35\end{array}$

$\begin{array}{l}43x > 86\\x > 2.\end{array}$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $x > 2.$

a) Hệ: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{7x - 2y = 13\,\,\left( 1 \right)}\\{3x + 5y = 29\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

Nhân (1) với 5, ta được $35x - 10y = 65.$

Nhân (2) với 2, ta được $6x + 10y = 58.$

Cộng hai phương trình: $41x = 123$ suy ra $x = 3.$

Thế vào $3x + 5y = 29$, ta được $3 \cdot 3 + 5y = 29$ suy ra $5y = 20$ nên $y = 4.$

Kết luận: $\left( {x,y} \right) = \left( {3{,}4} \right).$

b) Hệ: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\left( {x - 4} \right)\left( {2y + 1} \right) = \left( {2x + 5} \right)\left( {y - 2} \right)}\\{\left( {x + 4} \right)\left( {2y - 1} \right) = 2xy + 4x + 5y - 3}\end{array}} \right.$

Xét phương trình (1):

$\left( {x - 4} \right)\left( {2y + 1} \right) = 2xy + x - 8y - 4$

$\left( {2x + 5} \right)\left( {y - 2} \right) = 2xy - 4x + 5y - 10$

$\begin{array}{l}2xy + x - 8y - 4 - \left( {2xy - 4x + 5y - 10} \right) = 0\\5x - 13y + 6 = 0\\5x - 13y = - 6.\end{array}$

Xét phương trình (2):

$\left( {x + 4} \right)\left( {2y - 1} \right) = 2xy - x + 8y - 4$

$\begin{array}{l}2xy - x + 8y - 4 - \left( {2xy + 4x + 5y - 3} \right) = 0\\ - 5x + 3y - 1 = 0\\5x - 3y = - 1.\end{array}$

Hệ phương trìn ban đầu trở thành $\left\{ \begin{array}{l}5x - 13y = - 6\\5x - 3y = - 1\end{array} \right.$

Cộng từng vế theo vế của hai phương trình trên, ta được:

$\begin{array}{l}\left( { - 13y} \right) - \left( { - 3y} \right) = - 5\\ - 10y = - 5\\y = \frac{1}{2}.\end{array}$

Thay $y = \frac{1}{2}$ vào $5x - 3y = - 1$ ta được

$\begin{array}{l}5x - 3 \cdot \frac{1}{2} = - 1\\5x - \frac{3}{2} = - 1\\5x = \frac{1}{2}\\x = \frac{1}{{10}}.\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{{10}};\frac{1}{2}} \right).$

Gọi $x$ (triệu đồng) là giá niêm yết máy hút ẩm, $y$ (triệu đồng) là giá niêm yết quạt cây $\left( {x,y > 0} \right)$

• Tổng giá niêm yết là $20$ triệu: $x + y = 20$

• Mức giảm giá: máy hút ẩm giảm $20\% x = 0{,}2x$, quạt giảm $15\% y = 0{,}15y$.

Tổng tiền giảm là $3{,}62$ triệu: $0{,}2x + 0{,}15y = 3{,}62$

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 20}&{(1)}\\{0{,}2x + 0{,}15y = 3{,}62}&{(2)}\end{array}} \right.$

Nhân $(2)$ với $100$, ta được $20x + 15y = 362$.

Nhân $(1)$ với $20$, ta được: $20x + 20y = 400$.

Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất theo vế, ta được:

$5y = 38$ suy ra $y = 7{,}6$.

Thế vào (1), ta được: $x = 20 - 7{,}6 = 12{,}4.$

Kết luận: Giá niêm yết máy hút ẩm $12{,}4$ triệu, quạt cây $7{,}6$ triệu.

Gọi $x$ (chi tiết/ngày) là số chi tiết dự định làm mỗi ngày theo kế hoạch, $t$ (ngày) là thời gian theo kế hoạch.

• Theo kế hoạch: $xt = 600$ (1)

• Thực tế: mỗi ngày hơn $25$ chi tiết nên mỗi ngày làm được $x + 25$ (chi tiết/ngày) và hoàn thành sớm $4$ ngày nên thời gian là $t - 4$ (ngày); sản lượng vẫn là 600 sản phẩn nên ta có số sản phẩm là $\left( {x + 25} \right)\left( {t - 4} \right) = 600$

Vậy ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}xt = 600\\\left( {x + 25} \right)\left( {t - 4} \right) = 600\end{array} \right.$

Xét phương trình thứ hai:

$xt - 4x + 25t - 100 = 600$

$\begin{array}{l}600 - 4x + 25t - 100 = 600\\ - 4x + 25t - 100 = 0\\25t = 4x + 100 & \left( 3 \right)\end{array}$

Từ (1) ta có $t = \frac{{600}}{x}$.

Thế vào (3) ta được:

$25 \cdot \frac{{600}}{x} = 4x + 100$

$\frac{{15000}}{x} = 4x + 100$

$15000 = 4{x^2} + 100x$

${x^2} + 25x - 3750 = 0.$

$\left( {x - 50} \right)\left( {x + 75} \right) = 0$.

Suy ra $x = 50$ (vì $x + 75 > 0)$.

Khi đó $t = \frac{{600}}{x} = 12$.

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày làm $50$ chi tiết, thời gian $12$ ngày.

1. a) Xét tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

⦁ $\tan \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}}$, suy ra $AC = AB.\tan \widehat {ABC} = 5 \cdot \tan 64^\circ \approx 10{,}25$ (cm).

⦁ $\cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}},$ suy ra $BC = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABC}}} = \frac{5}{{\cos 64^\circ }} \approx 11{,}41$ (cm).

b) Ta có ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC$ nên $AB.AC = AH.BC$

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ có: $\sin \widehat {ABC} = \frac{{AH}}{{AB}}$

Suy ra $AH = AB.\sin \widehat {ABC} = 5.\sin 64^\circ \approx 4{,}49$ (cm).

$\Delta AHD$ vuông tại $D$ có:

$\cos \widehat {HAD} = \frac{{AD}}{{AH}}$, suy ra $AD = AH.\cos \widehat {HAD} \approx 4{,}04$ (cm).

$\sin \widehat {HAD} = \frac{{HD}}{{AH}}$, suy ra $HD = AH.\sin \widehat {HAD} \approx 1{,}97$ (cm).

Suy ra: $BD=AB-AD=5-4{,}04=0{,}96$ (cm).

$CE = AC - AE = AC - HD = 10{,}25 - 1{,}97 = 8{,}28$ (cm).

c) Diện tích tứ giác $BDEC$ là

$${S_{BDEC}} = {S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta ADE}}$$

$$= \frac{1}{2}AB.AC - \frac{1}{2}AD.AE$$

$$\begin{array}{l} = \frac{1}{2}(AB.AC - AD.AE)\\ = \frac{1}{2}.(5.10{,}25 - 4{,}04\,.\,1{,}97)\\ = 21{,}65\end{array}$$

Vậy diện tích của tứ giác $BDEC$ là $21{,}65$ (cm2).

2. Ta có $AB\, \bot \,AC$, $HE\, \bot \,AC$ suy ra $AB\,{\rm{//}}\,HE$ nên: $\widehat {ABH} = \widehat {ECH}$ .

Xét $\Delta HAB\,$ và $\Delta ECH$ có:

$\widehat {AHB} = \widehat {HEC} = 90^\circ$ và $\widehat {ABH} = \widehat {ECH}$

Do đó $ΔHAB∽ΔECH$ (g.g).

Xét $\Delta AHB\,$ và $\Delta ABC$ có:

$\widehat {ADH} = \widehat {BAC} = 90^\circ$ và $\widehat {HAD} = \widehat C$.

Do đó $ΔDAH∽ΔACB$ (g.g).

Suy ra $\frac{{DA}}{{AC}} = \frac{{DH}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{BC}}$.

Khi đó $\frac{{{S_{\Delta DAH}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}DA \cdot DH}}{{\frac{1}{2}AB \cdot AC}} = \left( {\frac{{DA}}{{AC}}} \right) \cdot \left( {\frac{{DH}}{{AB}}} \right) = \left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right) \cdot \left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right) = {\left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right)^2}$ $(1)$

Trong $\Delta AHB\,$ vuông tại $H,$ có $\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}$

$\Delta AB\,C$ vuông tại $A,$ có $\sin C = \frac{{AB}}{{BC}}$;

Suy ra $\frac{{AH}}{{AB}}.\frac{{AB}}{{BC}} = \sin B.\sin C$

$$\frac{{AH}}{{BC}} = \sin B.\sin C$$

${\left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right)^2} = {\sin ^2}B.{\sin ^2}C$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $\frac{{{S_{\Delta DAH}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\sin ^2}B.{\sin ^2}C$ hay ${S_{\Delta DAH}} = {S_{\Delta ABC}}.{\sin ^2}B.{\sin ^2}C$

Suy ra ${S_{\Delta DAH}} = {S_{\Delta ABC}} \cdot \left( {1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B} \right) \cdot {\sin ^2}C$.

3. Vì $J$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $EC$ nên $JE = JC$ (3)

Do tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật nên $I$ là trung điểm $AH$ nên $I$ là trung điểm của $DE$

Mà $DE \bot \,IJ$ nên $IJ$ là đường trung trực của đoạn thẳng $EC$, suy ra $JE = JD$ (4)

Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm $BD$ và $EC$.

Gọi $O$ là giao điểm của các đường trung trực của $BD$ và $EC$.

Khi đó $OE = OC;\,\,OB = OD$.

Ta có: $AE.AC = \left( {AQ - QE} \right)\left( {AQ + QE} \right)$

$\begin{array}{l}AE.AC = A{Q^2} - Q{E^2}\\ = \left( {A{Q^2} + O{Q^2}} \right) - \left( {O{Q^2} - Q{E^2}} \right)\\ = 0{A^2} - O{E^2}\end{array}$

Tương tự, ta có: $AD.AB = O{A^2} - O{D^2}$

Mà $AE.{\rm{ }}AC = {\rm{ }}AD.{\rm{ }}AB$, nên $O{A^2} - O{E^2} = O{A^2} - O{D^2}$.

Suy ra $OE = OD$

Vậy $OE = OC = OB = OD.$

Mặt khác, $J$ là đường trung trực của $DE$ và $EC$ mà điểm $O$ nằm trên giao điểm các đường trung trực $DE$ và $EC$ nên $O$ và $J$ |trùng nhau.

Vậy điểm $J$ cách đều các điểm $B,D,E$ và $C$.

Gọi số xe loại thứ nhất và thứ hai lần lượt là $x,y$ (xe, $x \in \mathbb{N},y \in \mathbb{N}$ )

Khi đó, tổng số tấn hàng được chở là: $15x + 10y$ (tấn)

Do công ty phải chở 76 tấn hàng nên: $15x + 10y \ge 76$.

Do $x \in \mathbb{N},y \in \mathbb{N}$ và $\left( {15x + 10y} \right) \vdots 5$ nên $15x + 10y \ge 80$.

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $15x + 10y = 80$ hay $3x + 2y = 16$

Từ đó, ta có các trường hợp:

TH1: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 0}\\{y = 8}\end{array}} \right.$ thì chi phí cần trả là: $0.13 + 8.9 = 72$ (triệu đồng).

TH2: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2}\\{y = 5}\end{array}} \right.$ thì chi phí cần trả là: $2.13 + 5.9 = 71$ (triệu đồng).

TH3: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 4}\\{y = 2}\end{array}} \right.$ thì chi phí cần trả là: $4.13 + 2.9 = 70$ (triệu đồng).

Vậy cho phí thấp nhất là: 70 (triệu đồng)