Đề thi Giữa kì 1 Toán 8 năm 2024-2025 THCS Ba Đình (Hà Nội) có đáp án

a) Bậc của đơn thức $A$ là: $6$

b) Thay $x = - 1;\,y = \frac{1}{2};z = 5$ vào đơn thức $A$, ta được:

$A = \frac{{ - 3}}{4}.{\left( { - 1} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}.5 = \frac{{15}}{{16}}$

Vậy với $A = \frac{{ - 3}}{4}{x^3}{y^2}z$ thì $A = \frac{{15}}{{16}}$

c) $M = A.B = \frac{{ - 3}}{4}{x^3}{y^2}z.\frac{1}{3}x{y^3}{z^3} = \frac{{ - 1}}{4}{x^4}{y^5}{z^4}$

a) $x\left( {{x^2} + 2xy + 3x} \right) - 3{x^2} + 2{x^2}y$

$= {x^3} + 2{x^2}y + 3{x^2} - 3{x^2} + 2{x^2}y$

$= {x^3} + 4{x^2}y$

b) $3{x^2} + \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)$

$= 3{x^2} + {x^2} - {y^2} = 4{x^2} - {y^2}$

c) $\left( {10{x^5}{y^3} - 15{x^5}{y^2}} \right):5{x^4}{y^2} - \left( {2x - 3} \right)\left( {x + y} \right)$

$= 2xy - 3x - \left( {2{x^2} + 2xy - 3x - 3y} \right)$

$= 2xy - 3x - 2{x^2} - 2xy + 3x + 3y$

$= - 2{x^2} + 3y$

a) $x\left( {3x - 5} \right) + 7x - 3{x^2} = 10$

$$\begin{array}{l}3{x^2} - 5x + 7x - 3{x^2} = 10\\2x = 10\\x = 5\end{array}$$

b) $\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + {\left( {2x + 1} \right)^2} + 1 = 5{x^2} - 3x$

$$\begin{array}{l}{x^2} - 4 + 4{x^2} + 4x + 1 + 1 = 5{x^2} - 3x\\7x = 2\\x = \frac{2}{7}\end{array}$$

c) ${\left( {x + 1} \right)^3} - \left( {3x + 1} \right)\left( {2x - 2} \right) = {x^3} + 7x - 9$

$$\begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - 6{x^2} + 6x - 2x + 2 = {x^3} + 7x - 9\\ - 3{x^2} + 12 = 0\\ - 3\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\\{x^2} - 4 = 0\\{x^2} = 4\end{array}$$

$x = 2$ hoặc $x = - 2$

Vậy $x \in \left\{ { - 2;2} \right\}$

a) Diện tích mảnh vườn theo $x,y$ là: $2y\left( {2x + 10} \right)\left( {{m^2}} \right)$

b) Diện tích khu trồng hoa theo $x,y$ là: $2y\left( {x + 1} \right)\left( {{m^2}} \right)$

Diện tích khu đất trồng rau theo $x,y$ là: $2y\left( {2x + 10} \right) - 2y\left( {x + 1} \right) = 2y\left( {2x + 10 - x - 1} \right) = 2y\left( {x + 9} \right)\left( {{m^2}} \right)$

Với $x = 4,y = 5$ ta có diện tích khu đất trồng rau là $2.5\left( {4 + 9} \right) = 130{m^2}$

a) Chứng minh: Tứ giác $BHCD$ là hình bình hành.

Xét tứ giác $BHCD$ có $HM = MD$, $BM = MC$.

Do đó tứ giác $BHCD$ là hình bình hành.

b) Chứng minh: Tứ giác $ABDH$ là hình chữ nhật.

Vì $BHCD$ là hình bình hành (câu a) nên $BD{\rm{ // }}HC$hay $BD{\rm{ // }}AH$

Vì $MH \bot AC$ (gt) hay $DH \bot AC$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\DH \bot AC\end{array} \right.$ nên $AB{\rm{ // }}DH$

Xét tứ giác $ABDH$ có: $BD{\rm{ // }}AH$ và $AB{\rm{ // }}DH$ nên $ABDH$ là hình bình hành.

Xét hình bình hành $ABDH$có $\widehat {BAH} = 90^\circ$ nên $ABDH$ là hình chữ nhật.

c) Chứng minh: Tứ giác $AMCK$ là hình thoi.

• Xét tứ giác $AMCK$ có: $AK\,{\rm{//}}\,MC$ (cmt) và $CK{\rm{ // }}AM$ (gt) nên $AMCD$ là hình bình hành.

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ (gt) nên $AM$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$.

• Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến và $AM = \frac{{BC}}{2}$ (tính chất).

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ (gt) nên $MC = \frac{{BC}}{2}$ (tính chất).

• Xét hình bình hành $AMCD$ có $AM = MC$( cùng bằng $\frac{{BC}}{2}$).

Do đó $AMCD$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết).

d) Tam giác $ABC$ cần có thêm điều kiện gì để tứ giác $AMCK$ là hình vuông.

Vì tứ giác $AMCK$ là hình thoi nên để tứ giác $AMCK$ là hình vuông khi $AM \bot MC$ hay $AM \bot BC$

Xét $\Delta ABC$ có $AM$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên $\Delta ABC$cân tại $A$.

Vậy $\Delta ABC$ cần có thêm điều kiện $AB = AC$thì $AMCK$ là hình vuông.

Cách không dùng nhận xét tam giác cân

Vì tứ giác $AMCK$ là hình thoi nên để tứ giác $AMCK$ là hình vuông khi $AM \bot MC$ hay $AM \bot BC$

Suy ra $\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 90^\circ$

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$ có:

$AM$ chung; $\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\,\,{\rm{(cmt)}}$; $MB = MC$ (câu c)

Do đó $\Delta AMB = \Delta AMC$ (c.g.c).

Suy ra $AB = AC$ (hai cạnh tương ứng).

Vậy $\Delta ABC$ cần có thêm điều kiện $AB = AC$thì $AMCK$ là hình vuông.

Ta có: $a + b + c = 6$

$$\begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} = {6^2}\\{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = 36\\\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \left( {2ab + 2bc + 2ca} \right) = 36\\12 + 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 36\\2\left( {ab + bc + ca} \right) = 24\\ab + bc + ca = 12\end{array}$$

Ta có ${\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2}$

$$= {a^2} - 2ab + {b^2} + {b^2} - 2bc + {c^2} + {c^2} - 2ca + {a^2}$$

$$\begin{array}{l} = \left( {{a^2} + {a^2}} \right) + \left( {{b^2} + {b^2}} \right) + \left( {{c^2} + {c^2}} \right) + \left( { - 2ab - 2bc - 2ca} \right)\\ = 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\ = 2.12 - 2.12 = 0\end{array}$$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\,{{\left( {a - b} \right)}^2} \ge 0\,;\,\,{{\left( {b - c} \right)}^2} \ge 0\,;\,\,{{\left( {c - a} \right)}^2} \ge 0} \right)\\c - a = 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right.$.

Thay $a = b = c$ vào $a + b + c = 6$ ta được $c + c + c = 6$ nên $c = 2$.

Suy ra $a = b = c = 2$.

Thay $a = b = c = 2$ vào $P = {\left( {a - 3} \right)^{2023}} + {\left( {b - 3} \right)^{2024}} + {\left( {c - 3} \right)^{2025}}$ có

$P = {\left( {2 - 3} \right)^{2023}} + {\left( {2 - 3} \right)^{2024}} + {\left( {2 - 3} \right)^{2025}} = \left( { - 1} \right) + 1 + \left( { - 1} \right) = - 1$.

Vậy $P = - 1$.