Đề thi giữa kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5

Ta có $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.$, trong đó $x = 1$ và $x = 2$ là các nghiệm bội chẵn.

Do đó hàm số đã cho có 2 cực trị. Chọn D.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ \pm }} f\left( x \right) = + \infty$, suy ra $x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 2$, suy ra $y = - 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B.

Đồ thị hàm số qua gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$, suy ra loại phương án A và D.

Đồ thị hàm số qua điểm $\left( {1;2} \right)$, suy ra loại phương án B. Chọn C.

Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.

Trên hình vẽ, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 5 điểm nên phương trình $f\left( x \right) = 0$ có 5 nghiệm. Chọn D.

Vì $ABCD.\,A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} = - \overrightarrow {C'C}$.

Do đó, vectơ đối của vectơ $\overrightarrow {AA'}$ là vectơ $\overrightarrow {C'C}$. Chọn D.

Hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {D'C'}$ có giá song song nên cùng phương. Chọn D.

Từ đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ suy ra $f'\left( x \right) > 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x < 2\\x > 4\end{array} \right.$.

Từ đó suy ra hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0\,;\,2} \right)$ và $\left( {4\,;\, + \infty } \right)$. Chọn A.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$ nên loại A, D.

Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên $y = - x$ nên loại B. Chọn C.

Vì $SA = SB = AB$ nên tam giác $SAB$ đều, do đó $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = 60^\circ$.

Ta có $\alpha = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {AS} } \right) = 180^\circ - \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right)$$= 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Suy ra $\cos \alpha = \frac{{ - 1}}{2}$. Chọn A.

a) Đúng. Dựa vào đồ thị ta thấy hệ số $a < 0$.

b) Sai. Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có điểm cực tiểu là $\left( { - 1;\, - 1} \right)$.

c) Đúng. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 1;\,1} \right)$.

d) Sai. Đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left( { - 1;\, - 1} \right)$ và $\left( {1;\,3} \right)$ nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = - 1 \Rightarrow - a + b - c + d = - 1\\f\left( 1 \right) = 3 \Rightarrow a + b + c + d = 3\end{array} \right. \Rightarrow a + c = 2\,\,(1)$.

$f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c$ có hai nghiệm $x = 1,{\rm{ }}x = - 1$ nên $\left\{ \begin{array}{l}3a + 2b + c = 0\\3a - 2b + c = 0\end{array} \right.\,\,\,(2)$.

Từ (1) và (2), giải hệ phương trình ta suy ra $a = - 1;\,b = 0;\,c = 3;\,d = 1$.

Do đó $f\left( x \right) = - {x^3} + 3x + 1 \Rightarrow f\left( 3 \right) = - 17$.

a) Đúng. Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $BDD'B'$ là hình chữ nhật.

Suy ra $\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {B'D'}$.

b) Đúng. Ta có: $A'C' = \sqrt {A'{{B'}^2} + B'{{C'}^2}} = \sqrt 2$; $A'C = \sqrt {A'{{C'}^2} + C{{C'}^2}} = \sqrt 3$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {A'C} } \right| = A'C = \sqrt 3$. Tương tự, $\left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = AC' = \sqrt 3$.

c) Đúng. Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} + \overrightarrow {A'A}$.

Mà $\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {A'A} = \overrightarrow {D'D}$. Do đó, $\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {D'D}$.

d) Sai. Ta có: $\overrightarrow {A'C} \cdot \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)$

$= \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} - {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DD'} \cdot \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {DD'} \cdot \overrightarrow {AB}$

$= 0 - {1^2} + {1^2} - 0 + 0 - 0 = 0$.

Vậy $\overrightarrow {A'C} \cdot \overrightarrow {BD} = 0$.

Đồ thị $\left( H \right)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng ${\Delta _1}:x = - 1$ và tiệm cận ngang là đường thẳng ${\Delta _2}:y = 4$.

Gọi $M\left( {{x_0};\frac{{4{x_0} - 5}}{{{x_0} + 1}}} \right) \in \left( H \right)$, ${x_0} \ne - 1,{x_0} < 0$.

Khi đó, ta có: ${d_1} = d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \left| {{x_0} + 1} \right|$ và ${d_2} = d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{9}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}.$

$\Rightarrow {d_1} \cdot {d_2} = \left| {{x_0} + 1} \right| \cdot \frac{9}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}} = 9$.

Ta có: ${d_1} + {d_2} \ge 2\sqrt {{d_1}{d_2}} = 6$ nên $\min \left( {{d_1} + {d_2}} \right) = 6$ khi ${d_1} = {d_2} \Leftrightarrow \left| {{x_0} + 1} \right| = \frac{9}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = - 4\end{array} \right.$.

Do ${x_0} < 0$ nên chọn ${x_0} = - 4$, khi đó $M\left( { - 4;7} \right) \Rightarrow S = 9.$

Đáp án: 9.

Vì $A\left( {0;5} \right) \in \left( C \right)$ nên $b = - 5$. Suy ra $f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + ax - 5}}{{x - 1}}$.

Gọi $A'\left( {{x_{A'}};{y_{A'}}} \right)$ là điểm đối xứng với $A\left( {0;5} \right)$ qua điểm $I\left( {1;1} \right)$, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_{A'}} + 0}}{2} = 1\\\frac{{{y_{A'}} + 5}}{2} = 1\end{array} \right.$.

Suy ra $A'\left( {2; - 3} \right)$.

Vì $\left( C \right)$ nhận điểm $I\left( {1;1} \right)$ làm tâm đối xứng nên $A'\left( {2; - 3} \right) \in \left( C \right)$. Suy ra $\frac{{ - {2^2} + 2a - 5}}{{2 - 1}} = - 3 \Leftrightarrow a = 3$.

Vậy $T = \frac{a}{b} = \frac{3}{{ - 5}} = - 0{,}6$.

** *Đáp án:*** $- 0{,}6$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có $y' = 1 - \frac{9}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{9}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 \notin \left[ { - 4;\, - 1} \right]\\x = - 2 \in \left[ { - 4;\, - 1} \right]\end{array} \right.$.

Ta thấy $y\left( { - 4} \right) = - \frac{{29}}{5}$; $y\left( { - 2} \right) = - 5$; $y\left( { - 1} \right) = - \frac{{11}}{2}$. Vậy $\mathop {\max y}\limits_{\left[ { - 4;\, - 1} \right]} = y\left( { - 2} \right) = - 5$.

** *Đáp án:*** $- 5$.

Ta có $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'}$$= \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} = - \vec a + \vec b + \frac{1}{2}\vec c$.

Suy ra $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\begin{array}{l}m = - 1\\n = 1\end{array}\\{p = \frac{1}{2}\,\,}\end{array}} \right.$ . Vậy $26m + 3n - 4p = 26 \cdot \left( { - 1} \right) + 3 \cdot 1 - 4 \cdot \frac{1}{2} = - 25$.

** *Đáp án:*** $- 25$.

Giả sử chi phí sản suất các mặt hình trụ là như nhau và các mép nối không đáng kể.

Ta có, thể tích hình trụ là $V = \pi {r^2}h = 330{\rm{ (ml)}} = 330{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}) \Rightarrow h = \frac{{330}}{{\pi {r^2}}}{\rm{ (cm)}}{\rm{.}}$

Diện tích toàn phần của hộp đựng là: $S\left( r \right) = 2\pi {r^2} + 2\pi r \cdot h = 2\pi {r^2} + \frac{{660}}{r}$.

Ta có $S'\left( r \right) = 4\pi r - \frac{{660}}{{{r^2}}};\,\,S'\left( r \right) = 0 \Rightarrow {r^3} = \frac{{165}}{\pi } \Rightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{{165}}{\pi }}}{\rm{ (cm)}}$.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta kết luận $r = \sqrt[3]{{\frac{{165}}{\pi }}}{\rm{ (cm)}}$ thì chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất.

Gọi $x\,\,{\rm{(km/h)}}$ là vận tốc của tàu, $x > 0$.

Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là: $\frac{1}{x}$ (giờ).

Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất để tàu chạy 1 km là: $\frac{1}{x} \cdot 480 = \frac{{480}}{x}$ (nghìn đồng).

Hàm chi phí cho phần thứ hai là $p = k{x^2}$ (nghìn đồng/ giờ).

Khi $x = 10,p = 10 \Rightarrow k = 0{,}1$ nên $p = 0{,}1{x^2}$ (nghìn đồng/ giờ).

Do đó chi phí phần thứ hai để tàu chạy 1 km là: $\frac{1}{x} \cdot 0{,}1{x^2} = 0{,}1x$ (nghìn đồng).

Vậy tổng chi phí nhiên liệu để tàu chạy 1 km đường sông: $f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0{,}1x$ (nghìn đồng).

Thay $x = v = 30$ (km/giờ) vào ta có $f\left( {30} \right) = \frac{{480}}{{30}} + 0{,}1 \cdot 30 = 19$ (nghìn đồng).

Từ giả thiết, ta suy ra được:

$\overrightarrow a \bot \overrightarrow b ;\,\,\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {DAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$; $\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {BAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Giả sử lực tổng hợp là $\overrightarrow m$, tức là $\overrightarrow m = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c$.

Khi đó, ${\overrightarrow m ^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)^2}$$= {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\overrightarrow c ^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 2\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c + 2\overrightarrow c \cdot \overrightarrow a$

$= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} + 0 + 2\left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \left| {\overrightarrow c } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) + 2\left| {\overrightarrow c } \right| \cdot \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow c ,\overrightarrow a } \right)$

$= {10^2} + {10^2} + {20^2} + 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} + 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }}$

$= 600 + \frac{{800}}{{\sqrt 3 }}$.

Suy ra ${\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {\overrightarrow m ^2} = 600 + \frac{{800}}{{\sqrt 3 }}$. Do đó, $\left| {\overrightarrow m } \right| = \sqrt {600 + \frac{{800}}{{\sqrt 3 }}} \approx 32{,}6$.

Vậy độ lớn hợp lực của các lực $\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ,\,\overrightarrow c$ bằng khoảng $32{,}6$ N.