Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên năm 2022-2023) có đáp án - Mã đề 101

a) $A = \left[ { - 2;4} \right],B = \left( {3;15} \right),C = \left[ {10; + \infty } \right)$

$A \cup B = \left[ { - 2;15} \right)$; $\left( {A \cup B} \right) \cap C = \left[ {10;15} \right)$

Biểu diễn trên trục số

b)

$A\backslash B = \left[ { - 2;3} \right]$; ${C_\mathbb{R}}(A\backslash B) = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$

Biểu diễn trên trục số:

$$\widehat C = {180^\circ } - {105^\circ } - {45^\circ } = {30^\circ }$$

Gọi $BC = a,AC = b,AB = c$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{b.\sin A}}{{\sin B}} = \frac{{10.\sin {{105}^\circ }}}{{\sin {{45}^\circ }}} = 5 + 5\sqrt 3 \approx 13{,}7\\c = \frac{{b.\sin C}}{{\sin B}} = \frac{{10.\sin {{30}^\circ }}}{{\sin {{45}^\circ }}} = 5\sqrt 2 \approx 7{,}1\end{array} \right.$

Gọi x là số kg sản phẩm loại I cần sản xuất, y là số kg sản phẩm loại II cần sản xuất. $(x \ge 0,y \ge 0)$

Xưởng có 200 kg nguyên liệu nên ta có: 2x + 4y ≤ 200 ⇔ x + 2y ≤ 100

Xưởng có 1200 giờ làm việc nên ta có: 30x + 15y ≤ 1200 hay 2x + y ≤ 80

Tổng lợi nhuận là: 40000x + 30000y

***Bài toán trở thành:* **Xác định x; y sao cho F(x; y) = 40000x + 30000y đạt giá trị lớn nhất, với điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y \le 100\\2x + y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.$ (I)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ BPT (I) là miền tứ giác không tô màu trong hình vẽ sau (kể cả các cạnh của tứ giác)

GTLN của F(x; y) = 40000x + 30000y đạt tại một trong các điểm (0;0), (40;0), (0;50), (20;40).

Ta có: F(0;0) = 0, F(40;0) = 1600000, F(0;50) = 1500000, F(20;40) = 2000000

Vậy giá trị lớn nhất của F(x; y) là 2000000 khi (x; y) = (20;40)

Vậy cần sản xuất 20kg sản phẩm loại I và 40kg sản phẩm loại II để có mức lợi nhuận lớn nhất.

Ta có

$\frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} + \frac{{{h_b}}}{{{h_c}}} + \frac{{{h_c}}}{{{h_a}}} = \frac{{{h_b}}}{{{h_a}}} + \frac{{{h_c}}}{{{h_b}}} + \frac{{{h_a}}}{{{h_c}}} \Leftrightarrow \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} = \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

$\Leftrightarrow {b^2}c + a{c^2} + {a^2}b = {a^2}c + a{b^2} + b{c^2} \Leftrightarrow bc\left( {b - c} \right) - a\left( {{b^2} - {c^2}} \right) + {a^2}\left( {b - c} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {b - c} \right)\left( {bc - ab - ac + {a^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right.$. Suy ra tam giác ABC cân.