Đề thi Cuối kì 2 Toán 8 phòng GD&ĐT Thanh Trì (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án

a Tính giá trị của biểu thức A khi x = $3$

Thay x = $3$ (TMĐK) vào biểu thức A ta được:

$$A = \frac{{3 - 5}}{{3 - 1}} = - 1$$

Vậy $A = - 1$ khi x = $3$

Thiếu TMĐK trừ 0,25đ

b Chứng tỏ rằng $B = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}$

$B = \frac{x}{{x - 1}} + \frac{3}{{x + 1}} - \frac{{6x - 4}}{{{x^2} - 1}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{x(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} + \frac{{3(x - 1)}}{{(x + 1)(x - 1)}} - \frac{{6x - 4}}{{(x - 1)(x + 1)}}\\ = \frac{{{x^2} + x + 3x - 3 - 6x + 4}}{{(x + 3)(x - 3)}}\\ = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{(x - 1)(x + 1)}}\\ = \frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}}\\ = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\end{array}$

Vậy $B = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}$ với $x \ne 1\,;\,\,x \ne - 1$.

c Cho $P = A \cdot B.$Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị là số tự nhiên.

s:

Vì P là số tự nhiên nên $P \in \left\{ {7\,;\,\,4\,;\,\,3\,;\,\,0\,;\,\,2} \right\}$.

Vậy $x \in \left\{ { - 2\,;\,\, - 3\,;\,\, - 4\,;\,\,5\,;\,\, - 7} \right\}.$

1 Một đội sản xuất dự định mỗi ngày làm được 30 chi tiết máy. Khi thực hiện mỗi ngày đội làm vượt mức so với dự định 10 chi tiết máy, vì vậy đội không những đã hoàn thành xong trước kế hoạch 2 ngày mà còn làm thêm được 45 chi tiết máy. Tính số chi tiết máy mà đội phải sản xuất theo kế hoạch.

Gọi số chi tiết máy đội phải sản xuất theo kế hoạch là x (chi tiết máy, $x \in \mathbb{N}*$)

Thời gian đội sản xuất theo kế hoạch là: $\frac{x}{{30}}$(ngày)

Thực tế, mỗi ngày đội sản xuất được 30 + 10 = 40 (chi tiết máy)

Thực tế, số chi tiết máy đội phải sản xuất được là: $x + 45$ (chi tiết máy)

Thời gian đội sản xuất theo thực tế là: $\frac{{x + 45}}{{40}}$(ngày)

Vì thực tế đội đã hoàn thành trước kế hoạch 2 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{30}} - \frac{{x + 45}}{{40}} = 2$

$\frac{{4x}}{{120}} - \frac{{3(x + 45)}}{{120}} = 2$

$\frac{{4x - 3x - 135}}{{120}} = 2$

$x - 135 = 240$

Vậy số chi tiết máy đội phải sản xuất theo kế hoạch là 375 chi tiết máy

2 Một giỏ hoa gỗ mini có dạng hình chóp tam giác đều, biết độ dài cạnh đáy là 10cm và độ dài trung đoạn bằng 20cm. Tính diện tích xung quanh giỏ hoa gỗ mini đó.

Diện tích xung quanh của giỏ hoa gỗ mini là:

$S = \,pd = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3 \cdot 20 = 300\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$

Vậy diện tích xung quanh của giỏ hoa gỗ mini là $300\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.$

a Cho hai hàm số $y = \left( {m - 1} \right)x + 3$ và $y = \left( {{m^2} - 1} \right)x + 5$ (m là tham số; $m \ne \pm 1$)

a) Vẽ đồ thị hàm số $y = \left( {m - 1} \right)x + 3$ với m = 3

Với $m = 3$(TM) ta có hàm số: $y = 2x + 3$

Bảng giá trị :

$x$ 0 $\frac{{ - 3}}{2}$

$y = 2x + 3$ $3$ 0

Vậy đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm $\left( {0\,;\,\,3} \right)$ và $\left( {\frac{{ - 3}}{2}\,;\,\,0} \right)$

b Tìm m hai đồ thị hàm số trên song song với nhau

Đồ thị hàm số $y = \left( {m - 1} \right)x + 3$ song song với đồ thị hàm số $y = \left( {{m^2} - 1} \right)x + 5$ khi

$\left\{ \begin{array}{l}m - 1 = {m^2} - 1\\3 \ne 5\end{array} \right.$

Suy ra $m - {m^2} = 0$

$m\left( {1 - m} \right) = 0$

$m = 0\,\,{\rm{(TM)}}$ hoặc $m = 1$ (loại)

Vậy $m = 0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

a Cho hình bình hành ABCD có $AB < AD.$ Kẻ CE vuông góc với AB tại E, CF vuông góc với AD tại F, BI vuông góc với AC tại I.

a) Chứng minh: và $AB.AE = AI.AC$.

Vẽ hình đúng đến câu a

Xét $\Delta AIB$ và $\Delta AEC$ có:

$\widehat {BAI}$ chung; $\widehat {AIB} = \widehat {AEC} = 90^\circ$

Do đó (g.g)

Ta suy ra $\frac{{AI}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AC}}$.

Do đó $AB.AE = AI.AC$

b b) Chứng minh: và $AB.AE + AF.CB = A{C^2}$.

Ta có: $\widehat {BCI} = \widehat {CAF}\,\,\left( {BC\,{\rm{//}}\,AD} \right)$

Xét $\Delta CBI$và $\Delta ACF$ có:

$\widehat {BCI} = \widehat {CAF}\,\,{\rm{(cmt)}}$

$\widehat {BIC} = \widehat {CFA} = 90^\circ$

Do đó (g.g)

Ta có $AB.AE = AC.AI$(cmt)

Từ

Suy ra $\frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{CI}}{{AF}}$, do đó $AF.BC = AC.CI$.

Từ đó chứng minh được

$AB.AE + AF.CB = A{C^2}$

c c) Chứng minh: $\widehat {CEF} = \widehat {BCA}$.

Chứng minh được $\widehat {ABC} + \widehat {CBE} = 180^\circ$

$\widehat {ECF} + \widehat {FAE} = 180^\circ$

Mà $\widehat {EAF} = \widehat {EBC}$ nên $\widehat {ABC} = \widehat {ECF}$.

Chứng minh được (g.g)

Suy ra $\frac{{CE}}{{CF}} = \frac{{CB}}{{CD}}$ nên $\frac{{CE}}{{CB}} = \frac{{CF}}{{AB}}$.

Chứng minh được

Suy ra $\widehat {CEF} = \widehat {BCA}$ (đpcm)

Cho $a + b + c = 0.$ Chứng minh: $\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right)\left( {\frac{c}{{a - b}} + \frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}}} \right) = 9$ với $a,\,\,b,\,\,c \ne 0\,;\,\,a \ne b\,;\,\,b \ne c\,;\,\,c \ne a.$

Đặt $\frac{{a - b{\rm{ }}}}{{{\rm{ }}c{\rm{ }}}} = x\,;\,\,\frac{{b - c}}{{{\rm{ }}a{\rm{ }}}} = y\,;\,\,\frac{{c - a}}{{{\rm{ }}b{\rm{ }}}} = z\,\,\left( {x,\,\,y,\,\,z \ne 0} \right)$

Suy ra $\frac{c}{{{\rm{ }}a - b{\rm{ }}}} = \frac{1}{x}\,;\,\,\frac{a}{{{\rm{ }}b - c{\rm{ }}}} = \frac{1}{y}\,;\,\,\frac{b}{{{\rm{ }}c - a{\rm{ }}}} = \frac{1}{z}.$

Bài toán trở thành chứng minh: $\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = 9$

Ta có $\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = 3 + \left( {\frac{{y + z}}{x} + \frac{{x + z}}{y} + \frac{{x + y}}{z}} \right)$ (2)

Ta lại có $\frac{{y + z}}{x} = \left( {\frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{c}{{a - b}} = \frac{{{b^2} - bc + ac - {a^2}}}{{ab}} \cdot \frac{c}{{a - b}}$

$= \frac{{c\left( {a - b} \right)\left( {c - a - b} \right)}}{{ab\left( {a - b} \right)}} = \frac{{c\left( {c - a - b} \right)}}{{ab}} = \frac{{c\left[ {2c - \left( {a + b + c} \right)} \right]}}{{ab}} = \frac{{2{c^2}}}{{ab}}$ (3)

Tương tự, ta được: $\frac{{x + z}}{y} = \frac{{2{a^2}}}{{bc}}$ (4)

$\frac{{x + y}}{z} = \frac{{2{b^2}}}{{ac}}$ (5)

Thay (3), (4) và (5) vào (2) ta có

$$\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = 3 + \frac{{{\rm{ }}2{c^2}}}{{ab}} + \frac{{{\rm{ }}2{a^2}}}{{bc}} + \frac{{{\rm{ }}2{b^2}}}{{ac}} = 3 + \frac{{{\rm{ }}2}}{{abc}}\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right).$$

Từ $a + b + c = 0$ chứng minh được ${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc$ (7)

Thay (7) vào (6) ta có $\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = 3 + \frac{{{\rm{ }}2}}{{abc}} \cdot 3abc = 3 + 6 = 9.$