Đề thi cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 5

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phân thức đại số là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ trong đó $A,B$ là hai đa thức và đa thức $B \ne 0$.

Do đó, $\frac{{\sqrt x }}{{x - 3}}$ không là phân thức đại số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\frac{{2xy}}{{3{x^2}y}} = \frac{{2xy:xy}}{{3{x^2}y:xy}} = \frac{2}{{3x}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Biểu thức biểu thị vận tốc một xe đạp đi từ $A$ đến $B$ trong $5$ giờ là $\frac{x}{5}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

• Thay $x = 2$ vào $2x + 1 = 5x$ được $2.4 + 1 = 5.2$ hay $9 = 10$ (vô lí)

Do đó, $x = 2$ không là nghiệm của phương trình $2x + 1 = 5x.$

• Thay $x = 2$ vào phương trình $2x - 4 = 3x - 9$ ta được $2.2 - 4 = 3.2 - 9$ hay $0 = - 3$ (vô lí)

Do đó, $x = 2$ không là nghiệm của phương trình $2x - 4 = 3x - 9$.

• Thay $x = 2$ vào phương trình $x - 3 = 2x - 5$ ta được $2 - 3 = 2.2 - 5$ hay $- 1 = - 1$ (đúng)

Do đó, $x = 2$ là nghiệm của phương trình $x - 3 = 2x - 5$.

• Thay $x = 2$ vào phương trình $2x - 8 = 3$ ta được $2.2 - 8 = 3$ hay $- 4 = 3$ (vô lí)

Do đó, $x = 2$ không là nghiệm của phương trình $2x - 8 = 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$.

Do đó, $y = - 2x - 5$ là hàm số bậc nhất.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hệ số góc của đường thẳng $y = - 3 - 2x$ là $- 2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Kết quả thuận lợi của biến cố “Gieo được mặt có số chấm là số lẻ” là: $1;3;5$.

Do đó, có ba kiết quả thuận lợi.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Kết quả thuận lợi của biến cố $B$: “Gieo được mặt có số chấm là số chẵn” là: $2;4;6$.

Do đó, có ba kết quả thuận lợi.

Vậy xác suất của biến cố $B$ là $\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\frac{{RS}}{{PQ}} = \frac{{RK}}{{PM}} = \frac{{SK}}{{QM}}$ nên $ΔRSK∽ΔPQM$ (c.c.c)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $ΔABC∽Δ{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}$ theo tỉ số $k = 2$ nên $\frac{{AB}}{{A'B'}} = 2$.

Suy ra $\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{1}{2}$. Do đó, $Δ{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}∽ΔABC$ theo tỉ số là $\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hình 1 sau khi gấp và dán lại ta sẽ được một hình chóp tứ giác đều.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường cao của hình chóp tam giác đều là đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp và trọng tâm của tam giác đáy.

Đ

a) Để hai đường thẳng $\left( d \right)$ và $\left( {d'} \right)$ cắt nhau thì $3 - m \ne 2m$ hay $m \ne 1$.

S

b) Khi $m = 3$ thì $\left( d \right):y = \left( {3 - 3} \right)x - 3 + 5$ hay $\left( d \right):y = 2$.

Lúc này đường thẳng $\left( d \right):y = 2$ không đi qua điểm điểm $A\left( {0;5} \right)$.

S

c) Với $m = 5$ thì ta có $\left( d \right):y = \left( {3 - 5} \right)x - 5 + 5$ hay $\left( d \right):y = - 2x$.

Vì $2 \ne - 2$ nên đường thẳng $\left( d \right)$ không song song với đường thẳng $y = 2x - 1.$

Đ

d) Thay $y = 5$ vào $y = - x + 9$, ta được $5 = - x + 9$, suy ra $x = 4.$

Để $\left( d \right)$ cắt $y = - x + 9$ tại điểm có tung độ là $y = 5$ thì $\left( d \right)$ đi qua điểm có tọa độ $\left( {4;5} \right)$.

Thay $x = 4,y = 5$ vào $\left( d \right):y = \left( {3 - m} \right)x - m + 5$ ta được:

$5 = \left( {3 - m} \right).4 - m + 5$ hay $5m = 12$ suy ra $m = \frac{{12}}{5}.$

S

a) Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Chiếc bút lấy ra là bút mực xanh” là: $30 - 10 = 20$.

Đ

b) Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Chiếc bút lấy ra là bút được ghi số tròn chục” là: bút ghi số $10;$ số 20 và số 30.

Vậy có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố trên.

S

c) Xác suất của biến cố “Chiếc bút được lấy ra là bủ mực đỏ” là: $\frac{{10}}{{30}} = \frac{1}{3}.$

Đ

d) Kết quả thuận lợi cho biến cố “Chiếc bút được lấy ra là bủ mực xanh và ghi số chia hết cho $3$” là: bút ghi số $21;24;27;30.$ Do đó, có $4$ kết quả thuận lợi cho biến cố trên.

Vậy xác suất của biến cố trên là: $\frac{4}{{30}} = \frac{2}{{15}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: $0$

Hai đường thẳng $\left( d \right)$ và $\left( {d'} \right)$ trùng nhau khi $\left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 2\\ - \left( {m - 1} \right) = - 3\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m = 3\\ - m + 1 = - 3\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}m = 3\\m = 4\end{array} \right.$ (vô lí).

Do đó, không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn để hai đường thẳng trùng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án: $0{,}04$

Các kết quả có thể xảy ra khi rủ ngẫu nhiên một thẻ trong hộp là $50$.

Kết quả thuận lợi cho biến cố “Thẻ được rút ra là bình phương của một số” là: $1;4;9;16;25;36;49.$

Nhận thấy, các số vừa là bình phương của một số và vừa chi hết cho ba có kết quả thuận lợi là: $9;36.$

Suy ra, có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố trên.

Vậy xác suất của biến cố “Số trên thẻ được rút ra là vừa là bình phương của một số và vừa chia hết cho $3$” là: $\frac{2}{{50}} = \frac{1}{{25}} = 0{,}04$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: $16$

Áp dụng định lí Pythagore vào $\Delta ABC$, ta có:

$A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}$ nên $A{B^2} = A{C^2} - B{C^2}$ hay $A{B^2} = {n^2} - 9$ (1)

Áp dụng định lí Pythagore vào $\Delta ADB$, ta có:

$A{B^2} + B{D^2} = A{D^2}$ nên $A{B^2} = A{D^2} - B{D^2}$ hay $A{B^2} = {m^2} - {\left( {2 + 3} \right)^2} = {m^2} - 25$ (2)

Từ (1) và (2) ta có ${n^2} - {9^2} = {m^2} - 25$ suy ra ${m^2} - {n^2} = 25 - 9 = 16$.

Vậy ${m^2} - {n^2} = 16.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: $8538$

Mặt đáy của hình chóp $S.ABC$ là một tam giác đều $ABC$ có cạnh $60{\rm{ cm}}{\rm{.}}$ Gọi đường cao của mặt đáy là $CH$, ta có $CH$ đồng thời là đường trung tuyến.

$HA = HB = \frac{{AB}}{2} = 30{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

Xét tam giác $BHC$ vuông tại $H$. Theo định lý Pythagore ta có: $C{B^2} = H{B^2} + H{C^2}$ hay ${60^2} = {30^2} + H{C^2}$ suy ra $C{H^2} = {60^2} - {30^2} = 2{\rm{ }}700$ nên $CH = \sqrt {2700} = 30\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Gọi $G$ là trọng tâm của mặt đáy nên $GH = \frac{1}{3}HC = \frac{{30\sqrt 3 }}{3} = 10\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Hình chóp $S.ABC$ có đường cao $SG$ nên $SG \bot HC.$

Xét tam giác $SHG$ vuông tại $G$. Theo định lý Pythagore, ta có:

$S{H^2} = S{G^2} + H{G^2}$

$S{H^2} = {90^2} + {30^2} = 9000$

Suy ra $SH = \sqrt {9000} = 30\sqrt {10} {\rm{ cm}}{\rm{.}}$

Nửa chu vi đáy là: $P = \frac{1}{2}\left( {60 + 60 + 60} \right) = 90{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp là $S = P.d = 90.30\sqrt {10} \approx 8538{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Gọi số tấn thóc thu hoạch theo dự định là $x$ (tấn) $\left( {x > 0} \right)$.

Số ngày để thu hoạch hết số thóc theo dự định là $\frac{x}{{20}}$ (ngày)

Số tấn thóc thực tế thu hoạch được là: $x + 10$ (tấn)

Số tấn thóc thực tế mỗi ngày thu hoạch được là $20 + 6 = 26$ (tấn)

Số ngày thu hoạch hết số thóc theo thực tế là $\frac{{x + 10}}{{26}}$ (ngày)

Vì hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{20}} - 1 = \frac{{x + 10}}{{26}}$

$\frac{{13x - 260}}{{260}} = \frac{{10\left( {x + 10} \right)}}{{260}}$

$13x - 260 = 10x + 100$

$3x = 360$

$x = 120$ (thỏa mãn)

Vậy số thóc theo dự định là $120$ tấn.

a) Xét $\Delta AED$ và $\Delta ADB$ có:

$\widehat A$ chung

$\widehat {AED} = \widehat {ADB} = 90^\circ$

Suy ra $ΔAED∽ΔADB$ (g.g)

Suy ra $\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{AB}}$, suy ra $AE.AB = A{D^2}$ (1)

Xét $\Delta AFD$ và $\Delta ADC$ có:

$\widehat A$ chung

$\widehat {AFD} = \widehat {ADC} = 90^\circ$ (gt)

Suy ra $ΔAFD∽ΔADC$ (g.g)

Suy ra $\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{AC}}$ suy ra $AF.AC = A{D^2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AE.AB = A{D^2} = AF.AC.$

Do đó, $\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AB}}$.

Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ACB$có:

$\widehat A$ chung

$\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AB}}$ (cmt)

Suy ra $ΔAEF∽ΔACB$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {AEF} = \widehat {ACB}$.

b) Vì $ΔAEF∽ΔACB$ (cmt) suy ra $\widehat{AEF}=\widehat{ACB}$

Mà $\widehat {AEF} = \widehat {IEB}$ (2 góc đối đỉnh)

Suy ra $\widehat {ACB} = \widehat {IEB}$ (3)

Ta có: $\widehat {IDF} = \widehat {DFC} + \widehat {ACB}$ (góc ngoài tam giác $DFC$)

Suy ra $\widehat {IDF} = 90^\circ + \widehat {ACB}$ (4)

Và $\widehat {IED} = \widehat {IEB} + \widehat {BED} = \widehat {IEB} + 90^\circ$ (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra $\widehat {IDF} = \widehat {IED}$.

Xét $\Delta IED$ và $\Delta IDF$ có:

$\widehat I$ chung

$\widehat {IED} = \widehat {IDF}$ (cmt)

Suy ra $ΔIED∽ΔIDF$ (g.g)

Suy ra $\frac{{IE}}{{ID}} = \frac{{ID}}{{IF}}$ nên $I{D^2} = IE.IF$ (đpcm)

d) Vì $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$ nên $BH \bot AC$.

Mà $DF \bot AC$ nên $BH\parallel DF$, suy ra $\widehat {EFD} = \widehat {EKB}$ (hai góc đồng vị) (6)

Theo câu b) ta có $ΔIED∽ΔIDF$ nên $\widehat {IDE} = \widehat {IFD}$ suy ra $\widehat {BDE} = \widehat {EFD}$ (7)

Từ (6) và (7) suy ra $\widehat {EKB} = \widehat {BDE}$.

Gọi $L$ là giao điểm của $BK$ và $ED$.

Xét $\Delta EKL$ và $\Delta BDL$ có:

$\widehat {EKL} = \widehat {LDB}$ (cmt)

$\widehat {ELK} = \widehat {DLB}$ (đối đỉnh)

Suy ra $ΔEKL∽ΔBDL$(g.g)

Suy ra $\frac{{EL}}{{LB}} = \frac{{KL}}{{LD}}$.

Xét $\Delta EBL$ và $\Delta KDL$ có: $\frac{{EL}}{{LB}} = \frac{{KL}}{{LD}}$ (cmt) và $\widehat {ELB} = \widehat {DLK}$ (2 góc đối đỉnh)

Suy ra $ΔEBL∽ΔKDL$ (g.g)

Suy ra $\widehat {DKL} = \widehat {BEL} = 90^\circ$ hay $DK \bot BH$ tại $K$.

Hướng dẫn giải

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab = 1 + 2ab$, do đó $2ab = {\left( {a + b} \right)^2} - 1$ (do ${a^2} + {b^2} = 1$)

Đặt $x = a + b$, suy ra $2ab = {x^2} - 1$.

Mặt khác ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ với mọi $a,b$

Suy ra ${a^2} + {b^2} \ge 2ab$ hay $1 \ge {x^2} - 1$ suy ra ${x^2} \le 2$.

Ta có $P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = x - 1$.

Do đó, ${\left( {P + 1} \right)^2} = {\left( {x - 1 + 1} \right)^2} = {x^2} \le 2$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b = \sqrt {\frac{1}{2}} .$