Đề thi Cuối kì 2 Toán 7 Trường THCS Lê Quý Đôn năm 2023-2024 có đáp án

a) Tìm hệ số cao nhất của đa thức $P\left( x \right)$. Tính $P\left( 1 \right).$

Hệ số cao nhất: 3

Tính P(1) = -2

b)

$\begin{array}{l}K\left( x \right) = 6{x^5} + x - 3{x^2} - 7{x^3} - 3{x^5} + 3{x^2} + 5 + 4{x^3}\\K(x) = 3{x^5} - 3{x^3} + x + 5\\P(x) + K(x) = 6{x^5} + 2{x^3} - 4\end{array}$

c) $H\left( x \right) = K\left( x \right) - P\left( x \right)$

$$H(x) = - 8{x^3} + 2x + 14$$

a) $A\left( x \right) = \frac{{ - 2}}{3}x + 3$

$A\left( x \right) = 0$

$\frac{{ - 2}}{3}x + 3 = 0$

$\frac{{ - 2}}{3}x = - 3$

$x = \frac{9}{2}$

Vậy $A\left( x \right)$ có một nghiệm là $x = \frac{9}{2}$

b) Ta có $B\left( x \right) = 0$

$$\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {4{x^2} - 25} \right) = 0$$

${x^2} + 3 = 0$ hoặc $4{x^2} - 25 = 0$

TH1: ${x^2} + 3 = 0$ nên ${x^2} = - 3$ vô lý vì ${x^2} \ge 0$, với mọi x.

TH2: $4{x^2} - 25 = 0$ nên $x = \pm \frac{5}{2}$.

Vậy $B\left( x \right)$ có nghiệm là $x = \pm \frac{5}{2}$.

c) $C\left( x \right) = 27{x^5} + {x^2}$

$$C\left( x \right) = 0$$

$$27{x^5} + {x^2} = 0$$

$${x^2}\left( {27{x^3} + 1} \right) = 0$$

$x = 0$ hoặc $x = - \frac{1}{3}$

Vậy $C\left( x \right)$ có nghiệm là $x \in \left\{ {0\,;\,\, - \frac{1}{2}} \right\}.$

a) $A\left( x \right) = - 5x\left( {2{x^3} - 3{x^2} + x - 4} \right)$

$$A(x) = - 10{x^4} + 15{x^3} - 5{x^2} + 20x$$

b) $B\left( x \right) = \left( {6{x^3} + 4{x^2} - 6x} \right):\left( {2x} \right) + \left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + 5} \right)$

$$B\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 3 + 2{x^3} + 10x - {x^2} - 5$$

$$B\left( x \right) = 2{x^3} + 2{x^2} + 12x - 8$$

a) Tam giác ABC cân tại A nên $AB = AC$.

Ta có $AH \bot BC$ nên $\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ$

Do đó $\Delta ABH = \Delta ACH$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

b) Chứng minh $\Delta AGN = \Delta CKN\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}$

Suy ra $\widehat {AGN} = \widehat {CKN}\,$(hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {AGN}\,;\,\,\widehat {CKN}\,$là hai góc ở vị trí so le trong suy ra $AG\,{\rm{//}}\,CK$(dhnb) hay $AH\,{\rm{//}}\,CK$

Mà$AH \bot BC$ nên $CK \bot BC$

c) Chứng minh được G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra $BG = \frac{2}{3}BN$ nên $BG = 2GN$(1)

Mà N là trung điểm của GK (do NK = NG) nên $GK = 2GN$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $BG = KG$.

Do đó G là trung điểm của BK.

Vậy I là trọng tâm của tam giác BCK.

d) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh $GM < \frac{1}{4}(BC + AG)$.

Chứng minh được BK = 4GN và $BK < BC + KC$

Chứng minh được AG = KC; GM = GN nên $GM < \frac{1}{4}\left( {BC + AG} \right)$.

Ta có $P\left( 2 \right) = 4a + 2b + c\,;\,\,P\left( { - 1} \right) = a - b + c\,;\,\,P\left( { - 3} \right) = 9a - 3b + c$

$$2P\left( 2 \right) + P\left( { - 1} \right) + P\left( { - 3} \right) = 18a + 4b = 2\left( {9a + 2b} \right) > 0.$$

Giả sử cả ba số $P\left( 2 \right)\,;\,\,P\left( { - 1} \right)\,;\,\,P\left( { - 3} \right)$ đều âm nên $2P\left( 2 \right) + P\left( { - 1} \right) + {\rm{ }}P\left( { - 3} \right) < 0$ (vô lí)

Trong ba số $P\left( 2 \right)\,;\,\,P\left( { - 1} \right)\,;\,\,P\left( { - 3} \right)$ có ít nhất một số dương.