Đề thi cuối kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 3

Đáp án đúng là: C

$F\left( x \right)$ là họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nên $f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 3{x^2} - 7 + 2{e^x}$.

Đáp án đúng là: C

$\smallint \;f\left( x \right){\rm{d}}x = \smallint \;\left( {1 - \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x}}} \right){\rm{d}}x = \smallint \;{\rm{d}}x - \frac{1}{2}\smallint \;\frac{{{\rm{d}}\left( {2x} \right)}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x}} = x - \frac{1}{2}{\rm{tan}}2x + C{\rm{.\;}}$

Đáp án đúng là: B

Phương trình của mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là: $x = 0$.

Đáp án đúng là: C

Từ phương trình mặt phẳng $(P):x - 2y + 3z - 1 = 0$ suy ra một vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow n = (1; - 2;3)$.

Đáp án đúng là: B

Thay tọa độ điểm $M\left( {3\,;\,2\,; - 3} \right)$ vào phương trình của $d$ ta được hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}3 = 1 + 2t\\2 = 3 - t\\ - 3 = 3t\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 1\end{array} \right.$.

Vậy điểm $M\left( {3\,;\,2\,; - 3} \right)$ không nằm trên $d$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1; - 2;3} \right)$ là một vectơ chỉ phương của $d$.

Đáp án đúng là: C

Ta có bán kính mặt cầu $R = \sqrt 6$. Suy ra đường kính mặt cầu bằng $2R = 2\sqrt 6$.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng đi qua $C\left( { - 1;\,1\,;1} \right)$ và song song với đường thẳng $AB$ thì nhận vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3\,;2\,;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng cần tìm là: $\frac{{x + 1}}{{ - 3}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{\overrightarrow u _{_{{d_1}}}} = \left( {1;\, - 2;\, - 3} \right)\\{{\vec u}_{{d_2}}} = \left( { - 4;\,1;\,5} \right)\end{array} \right.$.

$\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec u}_{{d_1}}}.{{\vec u}_{{d_2}}}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_{{d_1}}}} \right|.\left| {{{\vec u}_{{d_2}}}} \right|}} = \frac{{\left| { - 4 - 2 - 15} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 9} .\sqrt {16 + 1 + 25} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Suy ra $\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 30^\circ$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt cầu là:

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2}$$\Leftrightarrow$${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}2}}{{0{,}6}} = \frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Theo công thức Bayes, ta có $P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\left. B \right|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}.$

a) S, b) S, c) S, d) S

a) $\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)} dx = F\left( 3 \right) - F\left( { - 3} \right)$.

b) $\int\limits_{ - 3}^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx = \int\limits_{ - 3}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_0^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$.

c) Có $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}$$\Rightarrow \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}$

$\Rightarrow \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = - 10 - 4 = - 14$.

d) $\int\limits_1^2 {\left[ {kx - f\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_1^2 {kxdx} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}$$= \left. {\frac{{k{x^2}}}{2}} \right|_1^2 - 4 = \frac{3}{2}k - 4 = - 1 \Rightarrow k = 2$.

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Hình phẳng được tô màu giới hạn bởi 4 đường: $y = {e^x};y = 0;x = - 1;x = 1$.

b) $S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {{e^x}dx}$.

c) $S = \int\limits_{ - 1}^1 {{e^x}dx} = \left. {{e^x}} \right|_{ - 1}^1 = e - \frac{1}{e}$.

d) $V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}dx}$$= \left. {\frac{\pi }{2}{e^{2x}}} \right|_{ - 1}^1 = \frac{\pi }{2}\left( {{e^2} - \frac{1}{{{e^2}}}} \right)$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A$ nhận $\overrightarrow u$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

$- x + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + 2z - 2 = 0$.

b) Ta có $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 2;4; - 1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow n = \left( { - 2;4; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$- 2x + 4\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow - 2x + 4y - z + 5 = 0$.

c) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;2;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;1;0} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;1; - 5} \right)$.

Mặt phẳng đi qua ba điểm $C\left( {1;0;1} \right)$ nhận $\overrightarrow n = \left( { - 1;1; - 5} \right)$ có phương trình là

$- \left( {x - 1} \right) + y - 5\left( {z - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow - x + y - 5z + 6 = 0$$\Leftrightarrow x - y + 5z - 6 = 0$.

d) Ta có $P\left( { - 2;0;0} \right)$, $N\left( {0;0;5} \right)$, $A\left( {0; - 1;1} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AP} = \left( { - 2;1; - 1} \right),\overrightarrow {AN} = \left( {0;1;4} \right),\left[ {\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {AQ} } \right] = \left( {5;8; - 2} \right)$.

Mặt phẳng đi qua $P\left( { - 2;0;0} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {5;8; - 2} \right)$ có phương trình là:

$5\left( {x + 2} \right) + 8y - 2z = 0$$\Leftrightarrow 5x + 8y - 2z + 10 = 0$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Theo đề ta có $P\left( B \right) = 60\% = 0{,}6$.

b) $P\left( {A|B} \right) = 0{,}2$.

c) $P\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}15$.

d) $P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}6.0{,}2 + 0{,}4.0{,}15 = 0{,}18 = 18\%$.

Trả lời: −4

Ta có: $G\left( x \right) = F\left( x \right) + C$

$\left\{ \begin{array}{l}2F\left( 0 \right) - G\left( 0 \right) = 1\\F\left( 2 \right) - 2G\left( 2 \right) = 4\\F\left( 1 \right) - G\left( 1 \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}F(0) - C = 1\\ - F(2) - 2C = 4\\C = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}F(0) = 2\\F(2) = - 6\\C = 1\end{array} \right.$.

Do đó $\int\limits_0^2 f \left( x \right){\rm{d}}x = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right) = - 8$.

Vậy $\int\limits_1^{{e^2}} {\,\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{{2x}}} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^{{e^2}} {\,\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{2}} \,{\rm{d}}\left( {\ln x} \right) = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( u \right)} \,{\rm{d}}u = - 4$.

Trả lời: 14,8

Ta có $F\left( x \right) = \int {\left( {3{x^2} - 2} \right)dx} = {x^3} - 2x + C$.

Mà $F\left( 1 \right) = 10$ nên $1 - 2 + C = 10 \Leftrightarrow C = 11$. Do đó $F\left( x \right) = {x^3} - 2x + 11$.

Có $F\left( 2 \right) = {2^3} - 2.2 + 11 = 15$.

$G\left( x \right) = \int {\frac{{x - 2}}{{{x^2}}}} dx = \int {\left( {\frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \ln \left| x \right| + \frac{2}{x} + C'$.

Mà $G\left( 1 \right) = 15$ nên $\ln \left| 1 \right| + \frac{2}{1} + C' = 15 \Rightarrow C' = 13$.

Do đó $G\left( x \right) = \ln \left| x \right| + \frac{2}{x} + 13$. Suy ra $G\left( 3 \right) = \ln 3 + \frac{2}{3} + 13 \approx 14{,}8$.

Trả lời: 2,66

Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây là

$\int\limits_0^6 {h'\left( t \right)dt} = \int\limits_0^6 {\frac{1}{5}\sqrt[3]{{t + 8}}dt}$$= \frac{1}{5}\left. {.\frac{3}{4}{{\left( {t + 8} \right)}^{\frac{4}{3}}}} \right|_0^6 \approx 2{,}66$.

Trả lời: 43,3

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {18;25; - 5} \right)$.

Đường trượt của du khách là một đường thẳng đi qua điểm $A\left( {3;2{,}5;15} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {18;25; - 5} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 18t\\y = 2{,}5 + 25t\\z = 15 - 5t\end{array} \right.$.

Khi du khách ở độ cao 12 m tức là $z = 12 \Leftrightarrow 15 - 5t = 12 \Leftrightarrow t = \frac{3}{5}$.

Với $t = \frac{3}{5}$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 18.\frac{3}{5}\\y = 2{,}5 + 25.\frac{3}{5}\\z = 12\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{69}}{5}\\y = \frac{{35}}{2}\\z = 12\end{array} \right.$.

Suy ra $M\left( {\frac{{69}}{5};\frac{{35}}{2};12} \right)$. Do đó $T = \frac{{69}}{5} + \frac{{35}}{2} + 12 = 43{,}3$.

Trả lời: 2

Theo đề ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_M} + 1} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 6} \right)^2} + {\left( {{z_M} - 3} \right)^2} = 36\\{\left( {{x_M} - 4} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 8} \right)^2} + {\left( {{z_M} - 1} \right)^2} = 49\\{\left( {{x_M} - 9} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 6} \right)^2} + {\left( {{z_M} - 7} \right)^2} = 144\\{\left( {{x_M} + 15} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 18} \right)^2} + {\left( {{z_M} - 7} \right)^2} = 576\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_M^2 + y_M^2 + z_M^2 + 2{x_M} - 12{y_M} - 6{z_M} = - 10\\x_M^2 + y_M^2 + z_M^2 - 8{x_M} - 16{y_M} - 2{z_M} = - 32\\x_M^2 + y_M^2 + z_M^2 - 18{x_M} - 12{y_M} - 14{z_M} = - 22\\x_M^2 + y_M^2 + z_M^2 + 30{x_M} - 36{y_M} - 14{z_M} = - 22\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_M^2 + y_M^2 + z_M^2 + 2{x_M} - 12{y_M} - 6{z_M} = - 10\\ - 2{x_M} + 12{y_M} + 6{z_M} - 8{x_M} - 16{y_M} - 2{z_M} = - 22\\ - 2{x_M} + 12{y_M} + 6{z_M} - 18{x_M} - 12{y_M} - 14{z_M} = - 12\\ - 2{x_M} + 12{y_M} + 6{z_M} + 30{x_M} - 36{y_M} - 14{z_M} = - 12\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}_{M}^{2}+{y}_{M}^{2}+{z}_{M}^{2}+2{x}_{M}-12{y}_{M}-6{z}_{M}=-10 \\ -10{x}_{M}-4{y}_{M}+4{z}_{M}=-22 \\ -20{x}_{M}-8{z}_{M}=-12 \\ 28{x}_{M}-24{y}_{M}-8{z}_{M}=-12\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 1\\{y_M} = 2\\{z_M} = - 1\end{array} \right.$. Suy ra $T = {x_M} + {y_M} + {z_M} = 2$.

Trả lời: 65

Gọi $A$ là biến cố “Người đó tiêm vắc xin phòng bệnh A”.

$B$ là biến cố “Người đó mắc bệnh A”.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = 0{,}65;P\left( {B|A} \right) = 0{,}05;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}17$.

Xác suất để người đó mắc bệnh A là

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}65.0{,}05 + 0{,}35.0{,}17 = \frac{{23}}{{250}} = 0{,}092$.

Do đó $P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}35.0{,}17}}{{0{,}092}} = \frac{{119}}{{184}}$.

Suy ra $a = 119;b = 184$. Do đó $b - a = 65$.