Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 trường THCS Thanh Quan (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án - Đề số 2

Hướng dẫn giải

a) $6{x^2} - 10x = 0$

$2x\left( {3x - 5} \right) = 0$

$2x = 0$ hoặc $3x - 5 = 0$

$x = 0$ hoặc $x = \frac{5}{3}.$

Vậy $x \in \left\{ {0;\,\,\frac{5}{3}} \right\}.$

b) ${\left( {x + 3} \right)^2} - x\left( {x + 3} \right) = 8$

${x^2} + 6x + 9 - {x^2} - 3x - 8 = 0$

$3x = - 1$

$x = - \frac{1}{3}$

Vậy $x = - \frac{1}{3}.$

c) ${x^2} - 5x - 14 = 0$

${x^2} - 7x + 2x - 14 = 0$

$x\left( {x - 7} \right) + 2\left( {x - 7} \right) = 0$

$\left( {x - 7} \right)\left( {x + 2} \right) = 0$

$x - 7 = 0$ hoặc $x + 2 = 0$

$x = 7$ hoặc $x = - 2.$

Vậy $x \in \left\{ {7;\,\, - 2} \right\}.$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{3{x^2}{y^3} + 2}}{{3x{y^4}}} - \frac{2}{{3x{y^4}}}$

$= \frac{{3{x^2}{y^3} + 2 - 2}}{{3x{y^4}}}$

$= \frac{{3{x^2}{y^3}}}{{3x{y^4}}} = \frac{x}{y}.$

b) $\frac{{{x^2} - 9}}{{x + 2}}:\frac{{{x^2} + 6x + 9}}{{3x + 6}}$

$= \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 2}}:\frac{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{{3\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 2}} \cdot \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}$

$= \frac{{3\left( {x - 3} \right)}}{{x + 3}}.$

Hướng dẫn giải

a) Thay $x = 1$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $N$ ta được: $N = \frac{{1 + 1}}{{1 - 3}} = - 1.$

Vậy $N = - 1$ khi $x = 1.$

b) Với $x \ne - 2;\,\,x \ne \pm 3,$ ta có:

$M = \frac{{x - 3}}{{x + 3}} + \frac{{9x - 9}}{{{x^2} - 9}}$$= \frac{{x - 3}}{{x + 3}} + \frac{{9x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$

$= \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{9x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$$= \frac{{{x^2} - 6x + 9 + 9x - 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} + 3x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$$= \frac{x}{{x - 3}}.$

Vậy với $x \ne - 2;\,\,x \ne \pm 3$ thì $M = \frac{x}{{x - 3}}.$

c) Với $x \ne - 2;\,\,x \ne \pm 3,$ ta có:

$$P = M + N = \frac{x}{{x - 3}} + \frac{{x + 1}}{{x - 3}} = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = 2 + \frac{7}{{x - 3}}.$$

Với $x$ nguyên, để $P$ nguyên thì $7\,\, \vdots \,\,x - 3$ hay $x - 3 \in$Ư$\left( 7 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 7} \right\}.$

Ta có bảng sau:

Các giá trị $x$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy $x \in \left\{ { - 4;\,\,2;\,\,4;\,\,10} \right\}.$

Hướng dẫn giải

a) Công thức biểu diễn y theo x: $y = 400\,\,000 + 10\,\,000x.$

b) Để An mua được chiếc xe đạp đó thì cần số ngày là:

$\left( {1\,\,850\,\,000 - 400\,\,000} \right):10\,\,000 = 145$ (ngày).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $DE \bot BC$ (giả thiết) nên $\widehat {EDC} = \widehat {EDB} = 90^\circ .$ $EH \bot AC$ (giả thiết) nên $\widehat {EHA} = \widehat {EHC} = 90^\circ .$ $\Delta ABC$ vuông tại $C$ (giả thiết) nên $\widehat {ACB} = 90^\circ .$ Xét tứ giác $CHED$ có: $\widehat {EHC} = \widehat {EDC} = \widehat {AB}B = 90^\circ$ nên $CHED$ là hình chữ nhật.	a) Ta có: $DE \bot BC$ (giả thiết) nên $\widehat {EDC} = \widehat {EDB} = 90^\circ .$ $EH \bot AC$ (giả thiết) nên $\widehat {EHA} = \widehat {EHC} = 90^\circ .$ $\Delta ABC$ vuông tại $C$ (giả thiết) nên $\widehat {ACB} = 90^\circ .$ Xét tứ giác $CHED$ có: $\widehat {EHC} = \widehat {EDC} = \widehat {AB}B = 90^\circ$ nên $CHED$ là hình chữ nhật.
b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $C$ có $CE$ là đường trung tuyến $(E$ là trung điểm $AB)$ nên $AE = BE = CE = \frac{{BA}}{2}$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).	b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $C$ có $CE$ là đường trung tuyến $(E$ là trung điểm $AB)$ nên $AE = BE = CE = \frac{{BA}}{2}$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Cách 1. Xét $\Delta BEC$ có: $BE = EC$ (chứng minh trên) nên $\Delta BEC$ cân (dấu hiệu nhận biết) có đường cao $ED$ đồng thời là đường trung tuyến.	Cách 2. Xét $\Delta EDC$ và $\Delta EDB$ có: $ED\;$ chung; $BE = EC$ (chứng minh trên); $\widehat {EDC} = \widehat {EDB} = 90^\circ .$ Do đó $\Delta EDC = \Delta EDB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).	Cách 2. Xét $\Delta EDC$ và $\Delta EDB$ có: $ED\;$ chung; $BE = EC$ (chứng minh trên); $\widehat {EDC} = \widehat {EDB} = 90^\circ .$ Do đó $\Delta EDC = \Delta EDB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó $CD = BD.$

Xét tứ giác $AMBD$ có: $E$ là trung điểm $MD$ (do $ME = ED)$ và $E$ là trung điểm của $AB$ nên $AMBD$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

c) Do $AMBD$ là hình bình hành (câu b) nên $AM\,{\rm{//}}\,BD,$ $AM = BD,\,\,AD = MB.$

Mà $CD = BD$ nên $MA = BD = CD.$

Xét tứ giác $AMDC$ có: $AM\,{\rm{//}}\,CD$ (do $AM\,{\rm{//}}\,BD)$ và $AM = CD$ nên $AMDC$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Hình bình hành $AMDC$ có $\widehat {ACB} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Suy ra $AD = MC,\,\,IA = ID,\,\,IC = IM.$

Do đó $IM = IA = IC = ID = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}MB.$

Xét $\Delta MDC$ có hai đường trung tuyến $DI$ và $CE$ cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trọng tâm $\Delta MDC,$ do đó $IN = \frac{1}{3}ID = \frac{1}{6}MB.$

Hướng dẫn giải

$3\left( {{m^2} + {n^2}} \right) = 10mn$

$3{m^2} + 3{n^2} - 10mn = 0$

$3{m^2} - 9mn - mn + 3{n^2} = 0$

$\left( {m - 3n} \right)\left( {3m - n} \right) = 0$

Trường hợp 1: $m - 3n = 0$ hay $m = 3n.$ Loại vì $m < n.$

Trường hợp 2: $3m - n = 0$ hay $n = 3m.$ Khi đó $A = \frac{{m + 3m}}{{m - 3m}} = \frac{{4m}}{{ - 2m}} = - 2.$

Vậy $A = - 2.$