Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 trường THCS Thanh Quan (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án - Đề số 1

Hướng dẫn giải

a) $4{x^2} - 6x = 0$

$2x\left( {2x - 3} \right) = 0$

$2x = 0$ hoặc $2x - 3 = 0$

$x = 0$ hoặc $x = \frac{3}{2}.$

Vậy $x \in \left\{ {0;\,\,\frac{3}{2}} \right\}.$

b) ${\left( {x + 2} \right)^2} - x\left( {x + 2} \right) = 3$

${x^2} + 4x + 4 - {x^2} - 2x - 3 = 0$

$2x = - 1$

$x = - \frac{1}{2}$

Vậy $x = - \frac{1}{2}.$

c) ${x^2} - 7x - 18 = 0$

${x^2} - 9x + 2x - 18 = 0$

$x\left( {x - 9} \right) + 2\left( {x - 9} \right) = 0$

$\left( {x - 9} \right)\left( {x + 2} \right) = 0$

$x - 9 = 0$ hoặc $x + 2 = 0$

$x = 9$ hoặc $x = - 2.$

Vậy $x \in \left\{ {9;\,\, - 2} \right\}.$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{2{x^2}{y^4} + 3}}{{2x{y^5}}} - \frac{3}{{2x{y^5}}}$

$= \frac{{2{x^2}{y^4} + 3 - 3}}{{2x{y^5}}}$

$= \frac{{2{x^2}{y^4}}}{{2x{y^5}}} = \frac{x}{y}.$

b) $\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 3}}:\frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{2x + 6}}$

$= \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 3}}:\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{2\left( {x + 3} \right)}}$

$= \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 3}} \cdot \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$

$= \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}}.$

Hướng dẫn giải

a) Thay $x = 3$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $B$ ta được: $B = \frac{{3 + 1}}{{3 - 2}} = 4.$

Vậy B = 4 khi $x = 3.$

b) Với $x \ne - 1;\,\,x \ne \pm 2,$ ta có:

$A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}} + \frac{{6x - 4}}{{{x^2} - 4}}$$= \frac{{x - 2}}{{x + 2}} + \frac{{6x - 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{6x - 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$$= \frac{{{x^2} - 4x + 4 + 6x - 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} + 2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$$= \frac{x}{{x - 2}}.$

Vậy với $x \ne - 1;\,\,x \ne \pm 2$ thì $A = \frac{x}{{x - 2}}.$

c) Với $x \ne - 1;\,\,x \ne \pm 2,$ ta có:

$$P = A + B = \frac{x}{{x - 2}} + \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = \frac{{2\left( {x - 2} \right) + 5}}{{x - 2}} = 2 + \frac{5}{{x - 2}}.$$

Với $x$ nguyên, để $P$ nguyên thì $5\,\, \vdots \,\,x - 2$ hay $x - 2 \in$Ư(5) = $\left\{ { \pm 1;\,\, \pm 5} \right\}.$

Ta có bảng sau:

Các giá trị $x$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy $x \in \left\{ { - 3;\,\,1;\,\,3;\,\,7} \right\}.$

Hướng dẫn giải

a) Công thức biểu diễn $y$ theo $x:$ $y = 500\,\,000 + 10\,\,000x.$

b) Để An mua được chiếc xe đạp đó thì cần số ngày là:

$\left( {1\,\,750\,\,000 - 500\,\,000} \right):10\,\,000 = 125$ (ngày).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $ME \bot AC$ (giả thiết) nên $\widehat {MEC} = \widehat {MEB} = 90^\circ .$ $MD \bot AB$ (giả thiết) nên $\widehat {MDA} = \widehat {MDB} = 90^\circ .$ $\Delta ABC$ vuông tại $B$ (giả thiết) nên $\widehat {ABC} = 90^\circ .$ Xét tứ giác $BDME$ có: $\widehat {MDB} = \widehat {MEB} = \widehat {ABC} = 90^\circ$ nên $BDME$ là hình chữ nhật.	a) Ta có: $ME \bot AC$ (giả thiết) nên $\widehat {MEC} = \widehat {MEB} = 90^\circ .$ $MD \bot AB$ (giả thiết) nên $\widehat {MDA} = \widehat {MDB} = 90^\circ .$ $\Delta ABC$ vuông tại $B$ (giả thiết) nên $\widehat {ABC} = 90^\circ .$ Xét tứ giác $BDME$ có: $\widehat {MDB} = \widehat {MEB} = \widehat {ABC} = 90^\circ$ nên $BDME$ là hình chữ nhật.
b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ có $BM$ là đường trung tuyến $(M$ là trung điểm $AC)$ nên$AM = BM = CM = \frac{{BC}}{2}$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).	b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ có $BM$ là đường trung tuyến $(M$ là trung điểm $AC)$ nên$AM = BM = CM = \frac{{BC}}{2}$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Cách 1. Xét $\Delta BMC$ có: $BM = MC$ (chứng minh trên) nên $\Delta BMC$ cân (dấu hiệu nhận biết) có đường cao $ME$ đồng thời là đường trung tuyến.	Cách 2. Xét $\Delta MEB$ và $\Delta MEC$ có: $ME\;$ chung; $BM = MC$ (chứng minh trên); $\widehat {MEC} = \widehat {MEB} = 90^\circ .$ Do đó $\Delta MEB = \Delta MEC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).	Cách 2. Xét $\Delta MEB$ và $\Delta MEC$ có: $ME\;$ chung; $BM = MC$ (chứng minh trên); $\widehat {MEC} = \widehat {MEB} = 90^\circ .$ Do đó $\Delta MEB = \Delta MEC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó $BE = BC.$

Xét tứ giác $AFCE$ có $M$là trung điểm của $EF$(do $ME{\rm{ }} = {\rm{ }}MF)$ và $M$ là trung điểm $AC$ nên $AFCE$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

c) Do $AFCE$ là hình bình hành (câu b) nên $FA\,{\rm{//}}\,CE$, $FA = CE,$ $AE = CF.$

Mà $BE = EC$ nên $FA = BE = EC.$

Xét tứ giác $AFEB$ có: $FA\,{\rm{//}}\,BE$ (do $FA\,{\rm{//}}\,CE)$ và $FA = BE$ nên $AFEB$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Hình bình hành $AFEB$ có $\widehat {ABC} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Suy ra $AE = BF,\,\,KA = KE,$ $KB = KF.$

Do đó $KE = KA = KF = KB = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}FC.$

Xét $\Delta EBF$ có hai đường trung tuyến $EK,\,\,BM$ cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trọng tâm $\Delta EBF,$ do đó $KI = \frac{1}{3}KE = \frac{1}{6}FC.$

Hướng dẫn giải

$3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 10ab$

$3{a^2} + 3{b^2} - 10ab = 0$

$3{a^2} - 9ab - ab + 3{b^2} = 0$

$\left( {a - 3b} \right)\left( {3a - b} \right) = 0$

Trường hợp 1: $a - 3b = 0$ hay $a = 3b.$ Loại vì $a < b.$

Trường hợp 2: $3a - b = 0$ hay $b = 3a.$ Khi đó $M = \frac{{a + 3a}}{{a - 3a}} = \frac{{4a}}{{ - 2a}} = - 2.$

Vậy $M = - 2.$