Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 trường THCS Tam Hiệp (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án

Hướng dẫn giải

a) $3{x^2}y\left( {2{x^2} - y} \right) - 4{x^2}\left( {{x^2}y - {y^2}} \right)$

$= 6{x^4}y - 3{x^2}{y^2} - 4{x^4}y + 4{x^2}{y^2}$

$= 2{x^4}y + {x^2}{y^2}.$

b) $3x\left( {x - 2} \right) - 5x\left( {1 - x} \right) - 8\left( {{x^2} - 3} \right)$

$= 3{x^2} - 6x - 5x + 5{x^2} - 8{x^2} + 24$

$= - 11x + 24.$

Hướng dẫn giải

a) ${\left( {5x - 1} \right)^2} - \left( {5x - 4} \right)\left( {5x + 4} \right) = 7$

$25{x^2} - 10x + 1 - \left( {25{x^2} - 16} \right) = 7$

$25{x^2} - 10x + 1 - 25{x^2} + 16 = 7$

$- 10x = - 10$

$x = 1$

Vậy $x = 1$.

b) $C = {\left( {x + y - 7} \right)^2} - 2\left( {x + y - 7} \right)\left( {y - 6} \right) + {\left( {y - 6} \right)^2}$

$= {\left[ {\left( {x + y - 7} \right) - \left( {y - 6} \right)} \right]^2}$

$= {\left( {x - 1} \right)^2}.$

Thay $x = 101$ vào biểu thức $C$ đã thu gọn, ta có: $C = {\left( {101 - 1} \right)^2} = {100^2} = 10\,\,000.$

Vậy với $x = 101$ thì $C = 10\,\,000.$

Hướng dẫn giải

a) $3{x^3} - 6x$

$= 3x\left( {{x^2} - 2} \right).$

c) $5{x^2} - 10xy + 5{y^2} - 20{z^2}$

$= 5\left( {{x^2} - 2xy + {y^2} - 4{z^2}} \right)$

$= 5\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} - {{\left( {2z} \right)}^2}} \right]$

$= 5\left( {x - y - 2z} \right)\left( {x - y + 2z} \right).$

b) ${x^2}\left( {x - 1} \right) + 25\left( {1 - x} \right)$

$= {x^2}\left( {x - 1} \right) - 25\left( {x - 1} \right)$

$= \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 25} \right)$

$= \left( {x - 1} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right).$

d) ${x^3} - 3{x^2} + 3x - 1$

$= {\left( {x - 1} \right)^3}.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $E$ là trung điểm của $AB;$ $F$là trung điểm của $AC.$

Suy ra $EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

Nên $EF = \frac{1}{2}BC,$ do đó $BC = 2EF = 2 \cdot 4{,}5 = 9{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).$

Vậy độ rộng của hồ bơi là 9 m.

Hướng dẫn giải

a) Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat {NAP} = 90^\circ .$

Vì $MN \bot AB$ nên $\widehat {MNA} = 90^\circ .$

Vì $MP \bot AC$ nên $\widehat {MPA} = 90^\circ .$

Xét tứ giác $ANMP$ có:

$\widehat {NAP} = \widehat {MNA} = \widehat {MPA} = 90^\circ .$

Do đó tứ giác $AMNB$ là hình chữ nhật.

b) Gọi $I$ là giao điểm của $BK$ và $HN.$

Vì $MK\,{\rm{//}}\,AH$ và $AH \bot BC$ nên $MK \bot BC.$

Xét $\Delta KBC$ có $KM$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyên nên $\Delta KBC$ cân tại $K.$ Suy ra $\widehat {KBC} = \widehat {KCB},$ hay $\widehat {IBH} = \widehat {ACB}.$

Xét $\Delta ABC$ có $MN\,{\rm{//}}\,AC$ (cùng vuông góc với $AB)$ và $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác.

Do đó $N$ là trung điểm của $AB,$ nên $NA = NB = \frac{1}{2}AB.$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ có đường trung tuyến $HN$ nên $NH = \frac{1}{2}AB.$

Suy ra $NA = NB = NH = \frac{1}{2}AB.$ Do đó $\Delta NBH$ cân tại $N,$ nên $\widehat {NHB} = \widehat {NBH},$ hay $\widehat {IHB} = \widehat {ABC}.$

Xét $\Delta IBH$ có $\widehat {BIH} + \widehat {IBH} + \widehat {IHB} = 180^\circ$ (tổng ba góc của tam giác)

Suy ra $\widehat {BIH} = 180^\circ - \left( {\widehat {IBH} + \widehat {IHB}} \right) = 180^\circ - \left( {\widehat {ACB} + \widehat {ABC}} \right)$

Mặt khác, $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat {ACB} + \widehat {ABC} = 90^\circ$ (hai góc nhọn của tam giác vuông bằng $90^\circ ).$

Do đó $\widehat {BIH} = 180^\circ - \left( {\widehat {ACB} + \widehat {ABC}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .$

Vậy $BK \bot HN.$

Hướng dẫn giải

Ta có: ${x^2} + 55 = 4{y^2}$

$4{y^2} - {x^2} = 55$
$\left( {2y - x} \right)\left( {2y + x} \right) = 55$

Nhận xét: $x + 2y \ge 2y - x > 0$ nên ta có:

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{array}{l}2y + x = 55\\2y - x = 1\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 27\\y = 14\end{array} \right.$

Trường hợp 2: $\left\{ \begin{array}{l}2y + x = 11\\2y - x = 5\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\x = 3\end{array} \right.$

Vậy $\left( {x;y} \right)$ có thể là $\left( {27;14} \right)$ và $\left( {3;4} \right).$