Đề thi cuối kì 1 Toán 8 Phòng GD&ĐT Thường Tín (Hà Nội) năm 2023-2024 (có đáp án)

a) $A = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) + x\left( {5 - {x^2}} \right)$

$= {x^3} + 8 + 5x - {x^3}$

$= 5x + 8.$

Vậy $A = 5x + 8.$

b) Thay $x = - 4$ vào đa thức $A = 5x + 8,$ ta được: $A = 5 \cdot \left( { - 4} \right) + 8 = - 20 + 8 = - 12.$

Vậy $A = - 12$ khi $x = - 4.$

c) Để $A = - 2$ thì $5x + 8 = - 2$

Suy ra $5x = - 10$

Do đó $x = - 2.$

Vậy $x = - 2$ thì $A = - 2.$

a) ${x^3} - 3{x^2} = {x^2}\left( {x - 3} \right).$

b) $5{x^3} - 10{x^2} + 5x = 5x\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 5x{\left( {x - 1} \right)^2}.$

a) Xét tứ giác $AFHE$ có: $\widehat {A\,\,} = \widehat {E\,} = \widehat {F\,} = 90^\circ .$

Suy ra tứ giác $AFHE$ là hình chữ nhật.

Do đó $AH = EF.$

b) Xét tứ giác $EHKF$ ta có: $EH \bot AB$ và $FK \bot AB$ nên $EH\,{\rm{//}}\,FK.$ (1)

Vì $HE = FA;\,\,FK = FA$ nên $FK = EH.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $EHKF$ là hình bình hành.

c) Xét $\Delta OIF$ và $\Delta MIH,$ có:

$OI = MI;\,\,IH = IF;\,\,\widehat {OIF} = \widehat {MIH}$

Do đó $\Delta OIF = \Delta MIH$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat {OFI} = \widehat {IHM},$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $OF\,{\rm{//}}\,MH,$ hay $OE\,{\rm{//}}\,MH.$

Xét $\Delta OEH$ và $\Delta HMO,$ có:

$OE = HM\left( { = OF} \right);$

$OH$ là cạnh chung;

$\widehat {EOH} = \widehat {OHM}$ (so le trong).

Do đó $\Delta EOH = \Delta MHO$ (c.g.c).

Suy ra $OM = EH,$ nên $OI = \frac{1}{2}EH = \frac{1}{4}AK.$

$A = 2{x^2} + {y^2} + 2xy + 2x - 2y + 2\,\,028$

$\,\,\,\,\, = {y^2} + 2y\left( {x - 1} \right) + {\left( {x - 1} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 2\,\,024$

$$\,\,\,\,\, = {\left( {y + x - 1} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 2\,\,024.$$

Ta có ${\left( {y + x - 1} \right)^2} \ge 0$ và ${\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0$

Suy ra $A = {\left( {y + x - 1} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 2\,\,024 \ge 2\,\,024.$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {y + x - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.,$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}y + x - 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right.,$ hay $\left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = - 2.\end{array} \right.$

Vậy GTNN của $A$ là 2024 đạt được khi $x = - 2;\,\,y = 3.$