Đề thi cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 03

Đáp án đúng là: D

Dựa vào bảng biến thiên ta có điểm cực đại của hàm số là $x = 6$.

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị ta thấy $\left\{ \begin{array}{l}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} f\left( x \right) = 3\\n = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} f\left( x \right) = - 2\end{array} \right. \Rightarrow M + n = 1$.

Đáp án đúng là: A

Từ bảng biến thiên ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty$ nên đường thẳng $x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 5$ nên $y = 2;y = 5$ là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã là cho 3.

Đáp án đúng là: C

Ta có tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c} = - 1$; tiệm cận đứng: $x = \frac{1}{c} = 1$.

Từ đây suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\c = 1\end{array} \right.$ mà đồ thị lại cắt trục hoành tại $x = 2$ nên $2a + b = 0$ hay $b = - 2a = 2$.

Vậy $S = a + b + c = - 1 + 2 + 1 = 2$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \frac{5}{2}\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu $f'\left( x \right)$:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$, nên loại A, B.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 1$ nên chọn D.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) = + \infty$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc hình bình hành).

Do đó $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A'C'} = 2\overrightarrow {AC}$ (vì $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'}$).

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 4\overrightarrow k$ $\Rightarrow A\left( {2; - 3;4} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {BA} = \left( {0; - 4;0} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {BC}$.

Do đó $\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC}$.

Mà tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Nên $\widehat {ABC} = 90^\circ$ nên $\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của $A\left( {2; - 3;5} \right)$ lên $Oy$. Suy ra $H\left( {0; - 3;0} \right)$.

Vì $A'$ đối xứng với $A$ qua trục $Oy$ nên $H$là trung điểm đoạn $AA'$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = - 2\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = - 3\\{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = - 5\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 2; - 3; - 5} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 45 – 20 = 25.

Đáp án đúng là: C

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là ${s^2} = \frac{1}{n}\left( {{n_1}c_1^2 + {n_2}c_2^2 + ... + {n_k}c_k^2} \right) - {\overline x ^2}$.

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;{x_0}} \right)$ với $- 2 < {x_0} < - 1$.

b) Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0,{y_{CT}} = 1$.

c) Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tọa độ $\left( {0;1} \right)$.

d) Đồ thị đi qua ba điểm $\left( { - 2;1} \right),\left( { - 1;2} \right),\left( {0;1} \right)$ và đạt cực trị tại $x = 1$ nên ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l} - 8a + 4b - 2c + d = 1\\ - a + b - c + d = 2\\d = 1\\c = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 0\\d = 1\end{array} \right. \Rightarrow 2a + 3b + c = 8$.

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có $y' = \frac{{ - 2{x^2} + 4x}}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$ và có bảng biến thiên như sau

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

b) Ta có $y\left( {\frac{3}{2}} \right) = - 7;y\left( 2 \right) = - 6;y\left( {\frac{5}{2}} \right) = - \frac{{19}}{3}$.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right]$ bằng $- 7$ đạt tại $x = \frac{3}{2}$.

c) Ta có $2x + y = 0$$\Rightarrow y = - 2x$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{2{x^2} - 2x + 2}}{{ - x + 1}} - \left( { - 2x} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{ - x + 1}} = 0$ nên đồ thị có tiệm cận xiên là đường thẳng $2x + y = 0$ hay $y = - 2x$.

d) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^2} - 2x + 2}}{{ - x + 1}} = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2{x^2} - 2x + 2}}{{ - x + 1}} = - \infty$ nên $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có ${d_1}:x - 1 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0} \right)$; ${d_2}:2x + y = 0$$\Rightarrow \overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)$.

Ta có $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.2 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$$\Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) \approx 26^\circ 33'$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có $\overrightarrow a = - 6\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + \overrightarrow k$.

b) Ta có $3\overrightarrow b = \left( {30;6;3} \right)$. Suy ra $\overrightarrow a + 3\overrightarrow b = \left( {24;10;4} \right)$.

c) Điểm đối xứng của $A$ qua Oy là $A'\left( { - 8; - 1;0} \right)$.

d) Ta có $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{ - 6.10 + 4.2 + 1.1}}{{\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {4^2} + 1} .\sqrt {{{10}^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{ - 51}}{{\sqrt {53} .\sqrt {105} }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \approx 133^\circ$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

Từ biểu đồ ta có bảng mẫu số liệu của công ty A, B là

a) Có 14 nhân viên của công ty A thu nhập từ 17 triệu đồng đến 21 triệu đồng trong một tháng.

b) Ta có $\overline {{x_A}} = \frac{{12 \cdot 7 + 45 \cdot 11 + 16 \cdot 15 + 14 \cdot 19 + 7 \cdot 23}}{{94}} \approx 13{,}26$.

$\overline {{x_B}} = \frac{{16 \cdot 7 + 40 \cdot 11 + 29 \cdot 15 + 15 \cdot 19 + 12 \cdot 23}}{{112}} \approx 13{,}82$.

Vì $\overline {{x_B}} > \overline {{x_A}}$ nên thu nhập trung bình mỗi tháng của nhân viên công ty B cao hơn nhân viên công ty A.

c) $s_A^2 = \frac{{12 \cdot {7^2} + 45 \cdot {{11}^2} + 16 \cdot {{15}^2} + 14 \cdot {{19}^2} + 7 \cdot {{23}^2}}}{{94}} - {13{,}26^2} \approx 19{,}81$.

$s_B^2 = \frac{{16 \cdot {7^2} + 40 \cdot {{11}^2} + 29 \cdot {{15}^2} + 15 \cdot {{19}^2} + 12 \cdot {{23}^2}}}{{112}} - {13{,}82^2} = 22{,}5076$.

Vì $s_A^2 < s_B^2$ nên nếu so sánh về phương sai thì thu nhập mỗi tháng của nhân viên công ty A ít phân tán hơn nhân viên công ty B.

d) Xét mẫu số liệu công ty A.

Có ${Q_1} = 9 + \frac{{\frac{{94}}{4} - 12}}{{45}} \cdot \left( {13 - 9} \right) = \frac{{451}}{{45}}$; ${Q_3} = 13 + \frac{{\frac{{90 \cdot 3}}{4} - 57}}{{16}} \cdot \left( {17 - 13} \right) = \frac{{125}}{8}$.

Suy ra ${\Delta _{{Q_A}}} = \frac{{125}}{8} - \frac{{451}}{{45}} \approx 5{,}603$.

Xét mẫu số liệu công ty B

Có ${Q_1} = 9 + \frac{{\frac{{112}}{4} - 12}}{{45}} \cdot \left( {13 - 9} \right) = \frac{{469}}{{45}}$; ${Q_3} = 13 + \frac{{\frac{{112 \cdot 3}}{4} - 56}}{{29}} \cdot \left( {17 - 13} \right) = \frac{{713}}{{29}}$.

Suy ra ${\Delta _{{Q_B}}} = \frac{{713}}{{29}} - \frac{{469}}{{45}} \approx 14{,}164$.

Vì ${\Delta _{{Q_A}}} < {\Delta _{{Q_B}}}$ nên so sánh về khoảng tứ phân vị thì thu nhập trung bình mỗi tháng của công ty B đồng đều hơn công ty A.

Trả lời: 1

Ta có $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6mx;\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right..$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = - 4{m^3} + 10$ khi $x = 2m$.

Theo giả thiết ta có $- 4{m^3} + 10 = 6 \Leftrightarrow m = 1$.

Vậy $m = 1$ thỏa yêu cầu bài toán.

Trả lời: −298

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - x} \right) = 1$ và $f\left( 1 \right) = 3$, suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - x} \right) = 3$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - x} \right) = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2$, suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - x} \right) = 2$.

Vậy đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có $2$ đường tiệm cận ngang $y = 2$ và $y = 3$. Suy ra $a = 2,\,b = 3$.

Suy ra $S = a - 100b = - 298$.

Trả lời: 1,5

Gọi $x$$\left( {x > 0} \right)$ là chiều rộng hình chữ nhật đáy bể, suy ra chiều dài hình chữ nhật đáy bể là $3x.$

$V = h.x.3x = h.3{x^2} = 18$ $\Rightarrow h = \frac{{18}}{{3{x^2}}} = \frac{6}{{{x^2}}}$.

Gọi $P$ là diện tích xung quanh cộng với diện tích một đáy bể của hình hộp chữ nhật.

Nguyên vật liệu ít nhất khi $P$ nhỏ nhất.

$P = 2hx + 2.h.3x + 3{x^2} = 2.\frac{6}{{{x^2}}}.x + 2.\frac{6}{{{x^2}}}.3x + 3{x^2} = \frac{{48}}{x} + 3{x^2}.$

Đặt $f\left( x \right) = \frac{{48}}{x} + 3{x^2}$, $\left( {x > 0} \right)$.

Ta có hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$

và $f'\left( x \right) = \frac{{ - 48}}{{{x^2}}} + 6x$,$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 48}}{{{x^2}}} + 6x = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 8 \Leftrightarrow x = 2$.

Bảng biến thiên:

Suy ra vật liệu ít nhất khi $h = \frac{6}{{{x^2}}} = \frac{6}{4} = 1{,}5\left( {\rm{m}} \right)$.

Trả lời: 2024

Phương trình hoành độ giao điểm:

${x^3} - 3mx + 3 = 3x + 1$$\Leftrightarrow {x^3} - 3x + 2 = 3mx$$\Leftrightarrow 3m = \frac{{{x^3} - 3x + 2}}{x}$ (1) (Do $x = 0$không là nghiệm của phương trình).

Xét hàm $f\left( x \right) = \frac{{{x^3} - 3x + 2}}{x} = {x^2} - 3 + \frac{2}{x}$; $f'\left( x \right) = 2x - \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^3} - 2}}{{{x^2}}}$; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Bảng biến thiên.

Khi đó yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m < 0$.

Mà $m$ nguyên và $m \in \left[ { - 2024;2024} \right]$ nên có $2024$ giá trị thỏa mãn.

Trả lời: 2

Ta có: $DN = \frac{1}{3}DC' \Leftrightarrow NC' = 2ND \Rightarrow \overrightarrow {NC'} = - 2\overrightarrow {ND}$.

Suy ra điểm N chia đoạn thẳng ${\rm{D}}C'$ theo tỉ số $k = - 2$. Do đó $\overrightarrow {BN} = \frac{{\overrightarrow {BC'} + 2\overrightarrow {BD} }}{3}$ .

hay $\overrightarrow {BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC'} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BD} \Leftrightarrow \overrightarrow {BN} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BB'}$.

Vậy $x + y + z = 2$.

Trả lời: 1595

Vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $C(x;y;z)$.

Vì hướng của máy bay không đổi nên $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng.

Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ $A$ đến $B$ gấp đôi thời gian bay từ $B$ đến $C$ nên $AB = 2BC$.

Do đó $\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{940 - 800}}{2};\frac{{550 - 500}}{2};\frac{{9 - 7}}{2}} \right) = \left( {70;25;1} \right)$.

Mặt khác, $\overrightarrow {BC} = (x - 940;y - 550;z - 9)$ nên $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x - 940 = 70}\\{y - 550 = 25}\\{z - 9 = 1}\end{array}} \right.$

Từ đó $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1010}\\{y = 575}\\{z = 10}\end{array}} \right. \Rightarrow x + y + z = 1595$.