Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 7. Thống kê (Đề số 2)

Ta có $\overline x = \frac{{4 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 6 \cdot 6}}{{19}} \approx 4{,}21$.

Phương sai

${s^2} = \frac{{4 \cdot {{\left( {2 - 4{,}21} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {3 - 4{,}21} \right)}^2} + 5 \cdot {{\left( {4 - 4{,}21} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {5 - 4{,}21} \right)}^2} + 6 \cdot {{\left( {6 - 4{,}21} \right)}^2}}}{{19}} \approx 2{,}27$.

Suy ra $s = \sqrt {{s^2}} \approx 1{,}51$. Chọn D.

Mẫu số liệu có giá trị đại diện

Có $\overline x = \frac{{4 \cdot 3 + 8 \cdot 7 + 13 \cdot 11 + 6 \cdot 15 + 4 \cdot 19}}{{35}} = \frac{{377}}{{35}} \approx 10{,}77$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${s^2} = \frac{{4 \cdot {3^2} + 8 \cdot {7^2} + 13 \cdot {{11}^2} + 6 \cdot {{15}^2} + 4 \cdot {{19}^2}}}{{35}} - {\left( {10{,}77} \right)^2} \approx 21{,}01$. Chọn A.

Từ biểu đồ ta có bảng thống kê

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

$\overline x = \frac{{2 \cdot 7{,}3 + 4 \cdot 7{,}5 + 7 \cdot 7{,}7 + 5 \cdot 7{,}9}}{{18}} = \frac{{23}}{3}$. Chọn C.

Bảng thống kê có giá trị đại diện

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

$\overline x = \frac{{5 \cdot 75 + 10 \cdot 125 + 9 \cdot 175 + 4 \cdot 225 + 2 \cdot 275}}{{30}} = 155$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

${s^2} = \frac{{5 \cdot {{75}^2} + 10 \cdot {{125}^2} + 9 \cdot {{175}^2} + 4 \cdot {{225}^2} + 2 \cdot {{275}^2}}}{{30}} - {155^2} = 3100$.

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt {3100} \approx 55{,}68$. Chọn A.

a) Số học sinh đạt điểm 10 (trên thang điểm 20) trong kỳ thi này là 6 và là đông nhất.

b) Ta có $\overline x = \frac{{4 \cdot 9 + 6 \cdot 10 + 4 \cdot 11 + 5 \cdot 12 + 4 \cdot 13 + 3 \cdot 14 + 4 \cdot 15 + 2 \cdot 16 + 2 \cdot 17 + 1 \cdot 18}}{{35}} = \frac{{438}}{{35}}$.

Phương sai của mẫu số liệu:

$$\begin{array}{l}{s^2} = \frac{{4 \cdot {9^2} + 6 \cdot {{10}^2} + 4 \cdot {{11}^2} + 5 \cdot {{12}^2} + 4 \cdot {{13}^2} + 3 \cdot {{14}^2} + 4 \cdot {{15}^2} + 2 \cdot {{16}^2} + 2 \cdot {{17}^2} + 1 \cdot {{18}^2}}}{{35}} - {\left( {\frac{{438}}{{35}}} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{7866}}{{1225}}.\end{array}$$

Suy ra độ lệch chuẩn: $s = \sqrt {{s^2}} \approx 2{,}53$.

c) Trung vị của mẫu số liệu trên là ${x_{18}} = 12$.

d) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là ${x_{27}} = 15$.

Do đó Khôi không thuộc nhóm 25% học sinh có số điểm cao nhất kỳ thi Olympic này.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

a) Khoảng biến thiên không thay đổi và $R = 15 - 7 = 8$.

b) Có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba.

c) Số ghế trống nhiều nhất là 15 và có 3 ngày có số ghế trống là 15.

d) Xét mẫu số liệu ban đầu có ${M_e} = 12$.

Mẫu số liệu khi khảo sát thêm

Khi đó trung vị ${M_e} = 12$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

a) Ta có $n = 5 + 4 + 10 + 7 + 4 = 30$.

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{30}}$ là thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày trong tháng 11 năm 2024 theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_8} \in \left[ {20;25} \right)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm $\left[ {20;25} \right)$.

b) Ta có ${Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 5}}{4} \cdot 5 = 23{,}125$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{23}} \in \left[ {30;35} \right)$. Khi đó ${Q_3} = 30 + \frac{{\frac{{3 \cdot 30}}{4} - 19}}{7} \cdot 5 = 32{,}5$.

Suy ra ${\Delta _Q} = 32{,}5 - 23{,}125 = 9{,}375$.

c) Bảng mẫu số liệu có giá trị đại diện

Có $\overline x = \frac{{5 \cdot 17{,}5 + 4 \cdot 22{,}5 + 10 \cdot 27{,}5 + 7 \cdot 32{,}5 + 4 \cdot 37{,}5}}{{30}} \approx 27{,}67$.

Phương sai ${s^2} = \frac{{5 \cdot 17,{5^2} + 4 \cdot 22,{5^2} + 10 \cdot 27,{5^2} + 7 \cdot 32,{5^2} + 4 \cdot 37,{5^2}}}{{30}} - 27,{67^2} \approx 38{,}95$.

d) Khoảng biến thiên $R = 40 - 15 = 25$.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

a) Ta có $n = 22 + 38 + 27 + 8 + 4 + 1 = 100$.

b) Ta có $R = 33 - 15 = 18$. Do đó hiệu số thời gian của hai lần bất kì không vượt quá 18 phút.

c) Giả sử ${x_1};{x_2};...;{x_{100}}$ thời gian ông Minh đi xe buýt từ nhà đến cơ quan trong 100 lần được sắp theo thứ tự không giảm.

Ta có tứ phân vị thứ nhất ${Q_1} = \frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}$ mà ${x_{25}};{x_{26}} \in \left[ {18;21} \right)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $\left[ {18;21} \right)$. Khi đó ${Q_1} = 18 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 22}}{{38}} \cdot 3 = \frac{{693}}{{38}}$.

Tứ phân vị thứ ba là ${Q_3} = \frac{{{x_{75}} + {x_{76}}}}{3}$ mà ${x_{75}};{x_{76}} \in \left[ {21;24} \right)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $\left[ {21;24} \right)$. Khi đó ${Q_3} = 21 + \frac{{\frac{{3 \cdot 100}}{4} - 60}}{{27}} \cdot 3 = \frac{{68}}{3}$.

Do đó ${\Delta _Q} = \frac{{68}}{3} - \frac{{693}}{{38}} = \frac{{505}}{{114}} \approx 4{,}43$.

d) Bảng thống kê có giá trị đại diện

Ta có $\overline x = \frac{{22 \cdot 16{,}5 + 38 \cdot 19{,}5 + 27 \cdot 22{,}5 + 8 \cdot 25{,}5 + 4 \cdot 28{,}5 + 1 \cdot 31{,}5}}{{100}} = 20{,}61$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

${s^2} = \frac{{22 \cdot 16,{5^2} + 38 \cdot 19,{5^2} + 27 \cdot 22,{5^2} + 8 \cdot 25,{5^2} + 4 \cdot 28,{5^2} + 1 \cdot 31,{5^2}}}{{100}} - 20,{61^2} = 10{,}7379$.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Ta có $\overline x = \frac{{1 \cdot 20 + 4 \cdot 22 + 11 \cdot 24 + 8 \cdot 25 + 3 \cdot 27 + 1 \cdot 28 + 2 \cdot 30}}{{30}} = 24{,}7$.

Đáp án: $24{,}7$.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần

7

9

9

10

10

10

11

12

12

14

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa mẫu số liệu dưới: 7; 9; 9; 10; 10 có ${Q_1} = 9$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa mẫu số liệu trên: 10; 11; 12; 12; 14 có ${Q_3} = 12$.

Do đó ${\Delta _Q} = 12 - 9 = 3$.

Đáp án: $3$.

Gọi ${x_1};...;{x_{200}}$ là độ tuổi của 200 cư dân trong một khu phố được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có ${Q_1} = \frac{{{x_{50}} + {x_{51}}}}{2}$ mà ${x_{50}};{x_{51}} \in \left[ {30;40} \right)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $\left[ {30;40} \right)$.

Khi đó ${Q_1} = 30 + \frac{{\frac{{200}}{4} - 49}}{{40}} \cdot 10 = 30{,}25$.

Ta có ${Q_3} = \frac{{{x_{150}} + {x_{151}}}}{2}$ mà ${x_{150}};{x_{151}} \in \left[ {50;60} \right)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $\left[ {50;60} \right)$.

Khi đó ${Q_3} = 50 + \frac{{\frac{{3 \cdot 200}}{4} - 137}}{{50}} \cdot 10 = 52{,}6$. Vậy ${\Delta _Q} = 52{,}6 - 30{,}25 = 22{,}35 \approx 22{,}4$.

Đáp án: $22{,}4$.

Bảng tần số có giá trị đại diện

Ta có $\overline x = \frac{{18 \cdot 9{,}5 + 10 \cdot 10{,}5 + 6 \cdot 11{,}5 + 4 \cdot 12{,}5 + 2 \cdot 13{,}5}}{{40}} = 10{,}55$.

Phương sai: ${s^2} = \frac{{18 \cdot 9,{5^2} + 10 \cdot 10,{5^2} + 6 \cdot 11,{5^2} + 4 \cdot 12,{5^2} + 2 \cdot 13,{5^2}}}{{40}} - 10,{55^2} = 1{,}4475$.

Suy ra độ lệch chuẩn: $s = \sqrt {1{,}4475} \approx 1{,}2$.

Đáp án: $1{,}2$.

Khoảng biến thiên $R = 48 - 23 = 25$. Do đó $M = 2 \cdot 2 + 5 = 9$.

Đáp án: $9$.

Dựa vào biểu đồ ta có bảng thống kê

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{501}}$ là điểm của 501 học sinh được xếp theo thứ tự tăng dần.

Ta có ${Q_1} = \frac{{{x_{125}} + {x_{126}}}}{2}$ mà ${x_{125}};{x_{126}} \in \left[ {6;7} \right)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $\left[ {6;7} \right)$.

Khi đó ${Q_1} = 6 + \frac{{\frac{{501}}{4} - 75}}{{102}} \cdot 1 = \frac{{883}}{{136}}$.

Ta có ${Q_3} = \frac{{{x_{375}} + {x_{376}}}}{2}$ mà ${x_{375}};{x_{376}} \in \left[ {7;8} \right)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $\left[ {7;8} \right)$.

Khi đó ${Q_3} = 7 + \frac{{\frac{{3 \cdot 501}}{4} - 177}}{{202}} \cdot 1 = \frac{{6451}}{{808}}$. Vậy ${\Delta _Q} = \frac{{6451}}{{808}} - \frac{{883}}{{136}} = \frac{{3617}}{{13736}} \approx 1{,}49$.

Đáp án: $1{,}49$.