Đề ôn luyện Toán Chương 8. Một số yếu tố thống kê, xác suất và lý thuyết đồ thị (đề số 3)

Cỡ mẫu $n = 5 + 9 + 8 + 2 + 1 = 25$.

Có $\frac{{3 \cdot 25}}{4} = 18{,}75$ mà $5 + 9 < 18{,}75 < 5 + 9 + 8$ nên ${Q_3} \in \left[ {165;170} \right)$.

Suy ra ${Q_3} = 165 + \frac{{18{,}75 - \left( {5 + 9} \right)}}{8} \cdot \left( {170 - 165} \right) \approx 167{,}97$. Chọn D.

Ta có bảng sau:

Giá trị trung bình: $\overline x = \frac{{2 \cdot 10 + 5 \cdot 30 + 7 \cdot 50 + 19 \cdot 70 + 9 \cdot 90}}{{42}} = \frac{{190}}{3}$.

Phương sai: ${s^2} = \frac{{2 \cdot {{10}^2} + 5 \cdot {{30}^2} + 7 \cdot {{50}^2} + 19 \cdot {{70}^2} + 9 \cdot {{90}^2}}}{{42}} - {\left( {\frac{{190}}{3}} \right)^2} = \frac{{29600}}{{63}}$.

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {\frac{{29600}}{{63}}} \approx 21{,}676$. Chọn B.

Ta có bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như sau:

Ta có $\frac{n}{4} = \frac{{82}}{4} = 20{,}5$.

Do đó nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn 20,5.

Xét nhóm 3 là nhóm $\left[ {7{,}5;8} \right)$ có $s = 7{,}5;{n_3} = 17,c{f_2} = 17,h = 0{,}5$.

Khi đó ${Q_1} = s + \left( {\frac{{\frac{n}{4} - c{f_2}}}{{{n_3}}}} \right) \cdot h = 7{,}5 + \frac{{20{,}5 - 17}}{{17}} \cdot 0{,}5 = \frac{{517}}{{68}}$.

Lại có $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3 \cdot 82}}{4} = 61{,}5$.

Do đó nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn 61,5

Xét nhóm 5 là nhóm $\left[ {8{,}5;9} \right)$ có $t = 8{,}5;{n_5} = 13;c{f_4} = 58;l = 0{,}5$.

Khi đó ${Q_3} = t + \left( {\frac{{\frac{{3n}}{4} - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right) \cdot l = 8{,}5 + \frac{{61{,}5 - 58}}{{13}} \cdot 0{,}5 = \frac{{449}}{{52}}$.

Vậy khoảng tứ phân vị ${\rm{\Delta }}Q = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{228}}{{221}}$. Chọn B.

Ta có: $n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42$.

Vậy trung vị của dãy số liệu là $\frac{{{x_{21}} + {x_{22}}}}{2} \in \left[ {40;60} \right)$. Chọn B.

Phép thử: “chọn ngẫu nhiên $2$ học sinh” có $n\left( \Omega \right) = C_{12}^2 = 66$.

Chọn 1 học sinh nam có 7 cách chọn.

Chọn 1 học sinh nữ có 5 cách chọn.

Nên chọn 2 học sinh gồm cả học sinh nam và học sinh nữ có $n\left( A \right) = 5 \cdot 7 = 35$ cách chọn.

Do đó xác suất để $2$ học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ là

$P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{35}}{{66}}$. Chọn C.

Không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = {\left( {C_{10}^3} \right)^2}$.

Hưng và Nga chọn 1 số ngẫu nhiên giống nhau: 10 cách

Hưng và Nga mỗi bạn chọn tiếp 2 số khác nhau: $C_9^2.C_7^2.$

Xác suất để trong hai bộ số của Hưng và Nga chọn ra có đúng một số giống nhau:

$\frac{{10 \cdot C_9^2 \cdot C_7^2}}{{{{\left( {C_{10}^3} \right)}^2}}} = \frac{{21}}{{40}}.$ Chọn A.

Ta có bảng sau:

Số trung bình $\overline x = \frac{{6{,}5 \cdot 2 + 7{,}5 \cdot 8 + 8{,}5 \cdot 18 + 9{,}5 \cdot 12}}{{40}} = 8{,}5.$

Phương sai ${s^2} = \frac{1}{{40}}\left( {6,{5^2} \cdot 2 + 7,{5^2} \cdot 8 + 8,{5^2} \cdot 18 + 9,{5^2} \cdot 12} \right) - 8,{5^2} = 0{,}7$. Chọn C.

Ta có: $53 + 82 + 48 + 39 + 18 = 240$.

Như vậy nhóm $\left[ {15{,}5;20{,}5} \right]$ chứa trung vị.

Trung vị của mẫu số liệu là $15{,}5 + \frac{{\frac{{240}}{2} - 53}}{{82}} \cdot \left( {20{,}5 - 15{,}5} \right) \approx 19{,}59$. Chọn B.

a) Sai. Vì có $5$ quả cầu chứa phiếu có thưởng trong tổng số $15$ quả cầu nên xác suất bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là $\frac{5}{{15}} = \frac{1}{3}$.

b) Đúng. Gọi $\Omega$ là không gian mẫu.

Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = 15 \cdot 14 = 210$.

Gọi biến cố $A$: “Bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng”, $B$: “Bạn An lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng”.

Ta suy ra xác suất cần tìm là $P\left( {B|A} \right)$.

Khi đó biến cố $A \cap B$: “Bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng và bạn An lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng”.

$n\left( {A \cap B} \right) = 5 \cdot 4 = 20$ nên $P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{20}}{{210}} = \frac{2}{{21}}$.

$n\left( A \right) = 5 \cdot 14 = 70$ nên $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{70}}{{210}} = \frac{1}{3}$.

Vậy $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{2}{{21}}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{7}$.

c) Đúng. Xác suất để hai bạn cùng lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là $P\left( {A \cap B} \right) = \frac{2}{{21}}$.

d) Đúng. Xác suất cần tìm là $P\left( {A|B} \right)$.

Ta có $n\left( B \right) = 5 \cdot 4 + 10 \cdot 5 = 70$ nên $P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{70}}{{210}} = \frac{1}{3}$.

Vậy $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{2}{{21}}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{7}$.

Gọi $A$ là biến cố “số điện thoại lừa đảo”, $B$ là biến cố “chặn một số điện thoại bất kỳ”.

Theo đề bài, ta có: $P\left( A \right) = 0{,}05;P\left( {\overline A } \right) = 0{,}95;P\left( {B|A} \right) = 0{,}94;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}03$.

Suy ra $P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97$.

a) Đúng. Biết rằng số điện thoại đó là số lừa đảo, xác suất để số điện thoại đó bị chặn là

$P\left( {B|A} \right) = 0{,}94$.

b) Đúng. Ta có $P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|A} \right) = 0{,}05 \cdot 0{,}94 + 0{,}95 \cdot 0{,}03 = \frac{{151}}{{2000}}$.

c) Sai. Công thức Bayes: $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}05 \cdot 0{,}94}}{{\frac{{151}}{{2000}}}} = \frac{{94}}{{151}}$.

d) Sai. Ta có $P\left( {\overline A |\overline B } \right) = \frac{{P\left( {\overline A \overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline B |\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0{,}95 \cdot 0{,}97}}{{1 - \frac{{151}}{{2000}}}} = \frac{{1843}}{{1849}}$.

a) Đúng. Xác suất 3 lần bắn trúng vòng 10 là $P_1^3 = 0{,}003375 \Rightarrow {P_1} = \sqrt[3]{{0{,}003375}} = 0{,}15$.

b) Sai. ${P_2} = 1 - 0{,}25 - 0{,}4 - 0{,}15 = 0{,}2$.

c) Sai. Để đạt 29 điểm thì cần 2 lần bắn trúng vòng 10 và 1 lần bắn trúng vòng 9.

Có 3 cách chọn lần bắn trúng vòng 9 nên xác suất là $3 \cdot 0{,}2 \cdot 0,{15^2} = 0{,}0135$.

d) Đúng. Xác suất đạt 30 điểm là 0,003375; xác suất đạt 29 điểm là 0,0135.

Tính xác suất đạt 28 điểm:

TH1: Có 2 lần bắn trúng vòng 10 và 1 lần bắn trúng vòng 8: Xác suất là $3 \cdot 0{,}25 \cdot 0,{15^2}$.

TH2: Có 1 lần bắn trúng vòng 10 và 2 lần bắn trúng vòng 9: Xác suất là $3 \cdot 0{,}15 \cdot 0,{2^2}$.

Suy ra xác suất đạt 28 điểm là: $3 \cdot 0{,}25 \cdot 0,{15^2} + 3 \cdot 0{,}15 \cdot 0,{2^2} = 0{,}034875$.

Vậy xác suất đạt ít nhất 28 điểm là $0{,}003375 + 0{,}0135 + 0{,}034875 = 0{,}05175$.

a) Đúng. Ta có $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{35}}{{40}} = 0{,}875$.

b) Đúng. Ta có $P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{30}}{{40}} = 0{,}75$.

c) Sai. $A \cup B$: “Học sinh được chọn làm tốt chủ đề Xác suất hoặc chủ đề Thống kê”.

$n\left( {A \cup B} \right) = 40 - 4 = 36 \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = \frac{{36}}{{40}} = 0{,}9$.

d) Đúng. Ta có $AB$ là biến cố: “Học sinh làm tốt cả hai chủ đề Xác suất và Thống kê”.

Từ công thức cộng xác suất, ta suy ra

$P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right) = 0{,}875 + 0{,}75 - 0{,}9 = 0{,}725$.

Một số đường đi có thể từ A đến D và thời gian tương ứng là:

$1:A \to F \to E \to D:\,2 + 13 + 11 = 26$.

$2:A \to F \to G \to D:\,2 + 6 + 18 = 26$.

$3:A \to F \to G \to C \to D:\,2 + 6 + 9 + 10 = 27$.

$4:A \to F \to G \to E \to D:\,2 + 6 + 6 + 11 = 25$.

$5:A \to G \to D:\,13 + 18 = 31$.

$6:A \to G \to C \to D:\,13 + 9 + 10 = 32$.

$7:A \to B \to C \to D:\,4 + 18 + 10 = 32$.

$8:A \to B \to G \to D:\,4 + 7 + 18 = 29$.

Như vậy, tiếp tục tính thì ta thấy tổng thời gian ngắn nhất để di chuyển từ điểm A đến điểm D trên hình là 25 phút với con đường $A \to F \to G \to E \to D$.

Đáp án: 25.

Gọi $A$ là biến cố: “Chọn nhân viên có trình độ đại học”.

Gọi $B$ là biến cố: “Chọn nhân viên bị tinh giản biên chế thông qua phỏng vấn”.

Tỷ lệ nhân viên của cơ quan thuộc hai nhóm trình độ: đại học, cao đẳng lần lượt là $65\%$ và $35\%$ nên $P\left( A \right) = 0{,}65 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0{,}35$.

Qua phỏng vấn thì tỷ lệ nhân viên bị tinh giản của nhóm đại học là $10\%$, nhóm cao đẳng là $15\%$ nên $P\left( {B|A} \right) = 0{,}1$ và $P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}15$.

Chọn một nhân viên bất kỳ đã bị tinh giản thì xác suất để người này có trình độ đại học là $P\left( {A|B} \right)$.

Theo công thức Bayes, ta có:

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{0{,}65 \cdot 0{,}1}}{{0{,}65 \cdot 0{,}1 + 0{,}35 \cdot 0{,}15}} = 0{,}55$.

Đáp án: 0,55.

Từ giả thiết của đề bài, ta có đồ thị sau:

Ta thấy đây là một đơn đồ thị có 4 đỉnh, mỗi đỉnh đều có bậc là 3 không nhỏ hơn $\frac{4}{2} = 2$ nên theo định lí Dirac thì đồ thị này có một chu trình Hamilton.

Ta xét tất cả các trường hợp sau:

ABCDA: $9 + 7 + 5 + 14 = 35$.

ABDCA: $9 + 8 + 5 + 11 = 33$.

ACBDA: $11 + 7 + 8 + 14 = 40$.

ACDBA: $11 + 5 + 8 + 9 = 33$.

ADCBA: $14 + 5 + 7 + 9 = 35$.

ADBCA: $14 + 8 + 7 + 11 = 40$.

Vậy con đường ngắn nhất đi từ A qua các kho B, C, D và trở về A ngắn nhất là ABDCA hoặc ACDBA, với quãng đường dài $33\,\,{\rm{km}}$.

Vậy thời gian tối thiểu là: $\frac{{33}}{{40}} \cdot 60 + 3 \cdot 30 = 139{,}5$ (phút).

Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị là $140$.

Đáp án: 140.

Gọi biến cố $A$: “Kinh tế suy thoái”; biến cố $B$: “Trái phiếu có lợi nhuận cao”.

Khi đó, biến cố $\overline A$: “Kinh tế tăng trưởng”.

Theo bài ra, ta có $P\left( A \right) = 0{,}4$ (Kinh tế suy thoái);

$P\left( {B|A} \right) = 0{,}7$ (Trong khi kinh tế suy thoái, xác suất trái phiếu lợi nhuận cao);

$P\left( {\overline A } \right) = 0{,}6$ (Kinh tế tăng trưởng);

$P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}3$ (Trong khi kinh tế tăng trưởng, xác suất trái phiếu lợi nhuận cao).

Khi đó $P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}4 \cdot 0{,}7 + 0{,}6 \cdot 0{,}3 = 0{,}46$.

Áp dụng định lý Bayes: $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}7 \cdot 0{,}4}}{{0{,}46}} \approx 0{,}61$.

Đáp án: 0,61.

Ta có không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = 10!$.

Gọi A là biến cố: “Không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau”;

$\overline A$ là biến cố “Có ít nhất 2 học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau”;

${A_1}$ là biến cố: “Học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau”;

${A_2}$ là biến cố: “Học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau”.

Khi đó $n\left( {\overline A } \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) - n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right)$.

- Đếm $n\left( {{A_1}} \right)$: Trước hết cặp ghế cho 2 học sinh 12A ngồi có 5 cách, đổi chỗ 2 bạn này có $2!$ cách xếp; xếp 8 học sinh còn lại có $8!$ cách. Do đó $n\left( {{A_1}} \right) = 5 \cdot 2!\, \cdot 8!$.

- Đếm $n\left( {{A_2}} \right)$: Chọn cặp ghế chứa 2 học sinh lớp 12B có 5 cách, chọn 2 học sinh lớp 12B xếp vào cặp ghế này có $A_3^2$ cách; xếp 8 học sinh còn lại có $8!$ cách. Do đó $n\left( {{A_2}} \right) = 5 \cdot A_3^2 \cdot 8!$.

- Đếm $n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right)$: Chọn 2 cặp ghế trong 5 cặp ghế có $C_5^2$ cách; trong 2 cặp này chọn 1 cặp cho 2 học sinh lớp 12A có 2 cách, đổi chỗ 2 học sinh này có $2!$ cách; chọn 2 học sinh lớp 12B xếp vào cặp ghế còn lại có $A_3^2$ cách; xếp 6 học sinh còn lại có $6!$ cách.

Do đó $n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) = C_5^2 \cdot 2 \cdot 2! \cdot A_3^2 \cdot 6!$.

Suy ra $n\left( {\overline A } \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) - n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) = 1\,440\,000$.

Từ đó $P\left( {\overline A } \right) = \frac{{25}}{{63}} \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{38}}{{63}} \approx 0{,}6$.

Đáp án: 0,6.

Ta có $x + 120 + y + 70 + 60 = 400$$\Leftrightarrow x + y = 150$.

Trường hợp 1: $x > 100 \Rightarrow 0 < y < 50$.

Ta có ${Q_1} \in \left[ {0;20} \right)$ nên ${Q_1} = 0 + \frac{{\frac{{400}}{4}}}{x}.\left( {20 - 0} \right) = \frac{{2000}}{x}$.

Ta có ${Q_3}$$\in \left[ {60;\,80} \right)$ nên ${Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3 \cdot 400}}{4} - \left( {x + y + 120} \right)}}{{70}} \cdot \left( {80 - 60} \right)$$= \frac{{480}}{7}$.

${\Delta _Q} = \frac{{845}}{{21}}$$\Leftrightarrow {Q_3} - {Q_1} = \frac{{845}}{{21}}$$\Leftrightarrow \frac{{480}}{7} - \frac{{2000}}{x} = \frac{{845}}{{21}} \Leftrightarrow x = \frac{{1200}}{{17}} < 100$ (không thỏa mãn).

Trường hợp 2: $0 < x \le 100 \Rightarrow 50 \le y < 150$.

Khi đó, ${Q_1}$$\in \left[ {20;\,40} \right)$. Suy ra ${Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{400}}{4} - x}}{{120}} \cdot \left( {40 - 20} \right) = 20 + \frac{{100 - x}}{6}$.

Ta có ${Q_3}$$\in \left[ {60;\,80} \right)$. Suy ra ${Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3 \cdot 400}}{4} - \left( {x + y + 120} \right)}}{{70}} \cdot \left( {80 - 60} \right)$$= \frac{{480}}{7}$.

${\Delta _Q} = \frac{{845}}{{21}}$$\Leftrightarrow {Q_3} - {Q_1} = \frac{{845}}{{21}}$$\Leftrightarrow \frac{{480}}{7} - \left( {20 + \frac{{100 - x}}{6}} \right) = \frac{{845}}{{21}}$$\Leftrightarrow x = 50$ (thỏa mãn).

Suy ra $y = 100$.

Vậy ta có mẫu số liệu hoàn thiện như sau:

Thời gian tự học trung bình của 400 học sinh là

$\frac{{10 \cdot 50 + 30 \cdot 120 + 50 \cdot 100 + 70 \cdot 70 + 90 \cdot 60}}{{400}} = 48{,}5$.

Đáp án: 48,5.