Đề ôn luyện Toán Chương 8. Một số yếu tố thống kê, xác suất và lý thuyết đồ thị (đề số 1)

Cách 1. Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy của mẫu số liệu đã cho:

Ta có $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3 \cdot 24}}{4} = 18$. Nhóm $\left[ {25;35} \right)$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $18$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Cách 2. Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{24}}$ là lợi nhuận hàng tháng trong $24$ tháng và giả sử dãy này được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $\frac{{{x_{18}} + {x_{19}}}}{2}$. Do hai giá trị ${x_{18}};{x_{19}}$ thuộc nhóm $\left[ {25;35} \right)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $\left[ {25;35} \right)$. Chọn B.

Gọi $A$ là biến cố: “Chọn được 4 viên bi trong đó có nhiều nhất 2 viên bi vàng”.

TH1: Xác suất để lấy được 4 viên bi nhưng không có viên bi nào màu vàng là

$\frac{{C_{7 + 8}^4}}{{C_{7 + 8 + 6}^4}} = \frac{{C_{15}^4}}{{C_{21}^4}} = \frac{{13}}{{57}}$.

TH2: Xác suất để lấy được 4 viên bi trong đó có 1 viên bi màu vàng là $\frac{{C_{7 + 8}^3.C_6^1}}{{C_{7 + 8 + 6}^4}} = \frac{{26}}{{57}}$.

TH3: Xác suất để lấy được 4 viên bi trong đó có 2 viên bi màu vàng là: $\frac{{C_{7 + 8}^2.C_6^2}}{{C_{7 + 8 + 6}^4}} = \frac{5}{{19}}$.

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{13}}{{57}} + \frac{{26}}{{57}} + \frac{5}{{19}} = \frac{{18}}{{19}}$. Chọn D.

Cỡ mẫu $n = 120.$

Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy của mẫu số liệu đã cho:

Nhóm chứa ${Q_1}$ là $\left[ {22\,;\,31} \right)$ nên ${Q_1} = 22 + \frac{{\frac{1}{4} \cdot 120}}{{33}} \cdot 9 = \frac{{332}}{{11}}$.

Nhóm chứa ${Q_3}$ là $\left[ {49\,;\,58} \right)$ nên ${Q_3} = 49 + \frac{{\frac{3}{4} \cdot 120 - 79}}{{16}} \cdot 9 = \frac{{883}}{{16}}$.

Khoảng tứ phân vị là: $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{883}}{{16}} - \frac{{332}}{{11}} \approx 25{,}01$. Chọn B.

Tần số lớn nhất là 12 nên nhóm chứa mốt là $\left[ {40;60} \right)$.

Do đó ${M_o} = 40 + \frac{{12 - 9}}{{2 \cdot 12 - 9 - 10}} \cdot 20 = 52$. Chọn A.

Ta có bảng dưới đây:

Cỡ mẫu: $n = 15 + 14 + 7 + 12 + 10 = 58$.

Số trung bình của mẫu số liệu: $\bar x = \frac{{15 \cdot 8 + 14 \cdot 14 + 7 \cdot 20 + 12 \cdot 26 + 10 \cdot 32}}{{58}} = \frac{{544}}{{29}}$.

Phương sai:

$\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{58}}\left[ {15 \cdot {{\left( {8 - 18{,}76} \right)}^2} + 14 \cdot {{\left( {14 - 18{,}76} \right)}^2} + 7 \cdot {{\left( {20 - 18{,}76} \right)}^2}} \right.\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 12 \cdot {{\left( {26 - 18{,}76} \right)}^2} + 10 \cdot {{\left( {32 - 18{,}76} \right)}^2}} \right] = \frac{{64476}}{{841}}.\end{array}$

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {\frac{{64476}}{{841}}} \approx 8{,}76$. Chọn B.

Ta có bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu: $\overline x = \frac{{3 \cdot 1{,}6 + 5 \cdot 1{,}8 + 23 \cdot 2 + 5 \cdot 2{,}2 + 4 \cdot 2{,}4}}{{40}} = 2{,}01$.

Phương sai của mẫu số liệu: ${s^2} = \frac{{3 \cdot 1,{6^2} + 5 \cdot 1,{8^2} + 23 \cdot {2^2} + 5 \cdot 2,{2^2} + 4 \cdot 2,{4^2}}}{{40}} - 2,{01^2} \approx 0{,}04$.

Chọn D.

Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số học sinh là $45$.

Thời gian trung bình (phút) sử dụng mạng xã hội của học sinh lớp 10A1 là

$\overline x = \frac{{5 \cdot 15 + 10 \cdot 25 + 15 \cdot 35 + 7 \cdot 45 + 5 \cdot 55 + 3 \cdot 65}}{{45}} \approx 36{,}3$. Chọn B.

Ta có $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) \Leftrightarrow P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + P\left( B \right) - \frac{1}{4}P\left( B \right) \Leftrightarrow \frac{3}{4}P\left( B \right) = \frac{1}{4} \Leftrightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{3}$. Chọn D.

a) Đúng. Lấy một tấm thẻ từ hộp I có 8 cách.

Lấy một tấm thẻ từ hộp II có 9 cách.

Theo quy tắc nhân, số cách lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ là $8 \cdot 9 = 72$ cách.

b) Sai. Gọi biến cố $A:$ “Lấy được hai thẻ sao cho ghép hai chữ số trên hai tấm thẻ với nhau để được một số chia hết cho 3 có hai chữ số (chữ số hàng chục là số trên tấm thẻ màu vàng và chữ số hàng đơn vị là số trên tấm thẻ màu đỏ)”.

Sau khi 2 tấm thẻ được lấy ra ta ghép hai chữ số trên hai tấm thẻ với nhau để được một số có hai chữ số (chữ số hàng chục là số trên tấm thẻ màu vàng và chữ số hàng đơn vị là số trên tấm thẻ màu đỏ). Để thu được số chia hết cho 3 có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Chọn được cả hai số hàng chục và hàng đơn vị đều chia hết cho 3 có $2 \cdot 3 = 6$ cách.

Trường hợp 2: Chọn được hai số mà số hàng chục chia 3 dư 1, số hàng đơn vị chia 3 dư 2 có $3 \cdot 3 = 9$ cách.

Trường hợp 3: Chọn được hai số mà số hàng chục chia 3 dư 2, số hàng đơn vị chia 3 dư 1 có $3 \cdot 3 = 9$ cách.

Theo quy tắc cộng, số cách chọn 2 thẻ để ghép được số chia hết cho 3 là $6 + 9 + 9 = 24$ cách.

Xác suất để thu được số chia hết cho 3 bằng $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{24}}{{72}} = \frac{1}{3}$.

c) Đúng. Gọi biến cố $B$: “Chọn được hai tấm thẻ có số giống nhau”.

Số cách chọn được hai tấm thẻ giống nhau là $n\left( B \right) = 8$.

Xác suất chọn được hai tấm thẻ có số giống nhau bằng $P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{8}{{72}} = \frac{1}{9}$.

d) Sai. Gọi biến cố $C$: “Tích các số trên hai tấm thẻ lấy được là một số chẵn”.

$\Rightarrow$ $\overline C$: “Tích các số trên hai tấm thẻ lấy được là một số lẻ”.

Để tích các số trên hai tấm thẻ là số lẻ thì cả hai số đều là số lẻ $\Rightarrow n\left( {\overline C } \right) = 4 \cdot 5 = 20$.

Do đó, $P\left( {\overline C } \right) = \frac{{n\left( {\overline C } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{20}}{{72}} = \frac{5}{{18}}$. Vậy $P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 1 - \frac{5}{{18}} = \frac{{13}}{{18}}$.

a) Đúng. Do phân xưởng thứ nhất sản xuất $60{\rm{\% }}$ tổng số sản phẩm của cả nhà máy nên xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất là 0,6.

b) Đúng. Gọi A là biến cố: “Chọn được sản phẩm từ phân xưởng thứ nhất”.

Khi đó $\overline A$ là biến cố: “Chọn được sản phẩm từ phân xưởng thứ hai”.

Gọi B là biến cố: “Chọn được sản phẩm là phế phẩm”.

Theo bài ra ta có $P\left( A \right) = 0{,}6;P\left( {\overline A } \right) = 0{,}4$; $P\left( {B\mid A} \right) = 0{,}16;P\left( {B\mid \overline A } \right) = 0{,}2$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B\mid \overline A } \right)$$= 0{,}6 \cdot 0{,}16 + 0{,}4 \cdot 0{,}2 = 0{,}176$.

Vậy xác suất lấy được phế phẩm là 0,176.

c) Đúng. Chọn được phế phẩm, biến cố phế phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất là $A\mid B$, áp dụng công thức Bayes, ta được:

$P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}6 \cdot 0{,}16}}{{0{,}176}} = \frac{6}{{11}} \approx 0{,}55$.

d) Sai. Khi lấy được sản phẩm tốt, để so sánh khả năng sản phẩm thuộc phân xưởng nào, ta tính xác suất để sản phẩm tốt được chọn ấy thuộc phân xưởng thứ nhất, nếu xác suất này quá bán thì khả năng sản phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất là cao hơn và ngược lại.

Ta có $P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0{,}176 = 0{,}824$; $P\left( {\overline B \mid A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 1 - 0{,}16 = 0{,}84$.

Theo công thức Bayes, ta có: $P\left( {A\mid \overline B } \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {\overline B \mid A} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0{,}6 \cdot 0{,}84}}{{0{,}824}} \approx 0{,}61 > 0{,}5$.

Vậy khả năng sản phẩm tốt được chọn từ phân xưởng thứ nhất cao hơn.

Gọi $A$ là biến cố “Người đó là trẻ em”, $B$ là biến cố “Người đó thích bộ phim” và $C$ là biến cố “Người đó xem tiếp phần 2 bộ phim”.

Xét người đi xem là trẻ em có $P\left( A \right) = 70\% = 0{,}7$.

Theo đề, ta có $P\left( {BC} \right) = 50\% = 0{,}5$; $P\left( {B\overline C } \right) = 30\% = 0{,}3$; $P\left( {\overline B \overline C } \right) = 20\% = 0{,}2$; $P\left( {\overline B C} \right) = 0$.

Xét người đi xem là người lớn có $P\left( {\overline A } \right) = 30\% = 0{,}3$.

Theo đề, ta có $P\left( {BC} \right) = 20\% = 0{,}2$; $P\left( {B\overline C } \right) = 10\% = 0{,}1$; $P\left( {\overline B \overline C } \right) = 70\% = 0{,}7$; $P\left( {\overline B C} \right) = 0$.

a) Sai. Ta có $P\left( {B|A} \right) = 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8$.

b) Đúng. Ta có $\overline C = \overline C AB \cup \overline C A\overline B \cup \overline C \overline A B \cup \overline C \overline A \overline B$.

$P\left( {\overline C } \right) = P\left( {\overline C AB} \right) + P\left( {\overline C A\overline B } \right) + P\left( {\overline C \overline A B} \right) + P\left( {\overline C \overline A \overline B } \right)$

$= 0{,}7 \cdot 0{,}3 + 0{,}7 \cdot 0{,}2 + 0{,}3 \cdot 0{,}1 + 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}59$.

c) Đúng. Ta có $P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 0{,}41$.

$P\left( {A|C} \right) = \frac{{P\left( {AC} \right)}}{{P\left( C \right)}}$.

$P\left( {AC} \right) = P\left( {AC\overline B } \right) + P\left( {ACB} \right) = 0{,}7 \cdot 0 + 0{,}7 \cdot 0{,}5 = 0{,}35$.

Suy ra $P\left( {A|C} \right) = \frac{{P\left( {AC} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{0{,}35}}{{0{,}41}} \approx 0{,}854 > 0{,}85$.

d) Đúng. $P\left( {\overline C |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline C B} \right)}}{{P\left( B \right)}}$

$P\left( {\overline C B} \right) = P\left( {\overline C BA} \right) + P\left( {\overline C B\overline A } \right) = 0{,}3 \cdot 0{,}7 + 0{,}1 \cdot 0{,}3 = 0{,}24$.

$P\left( B \right) = P\left( {BA\overline C } \right) + P\left( {BAC} \right) + P\left( {B\overline A C} \right) + P\left( {B\overline A \overline C } \right)$

$= 0{,}7 \cdot 0{,}3 + 0{,}7 \cdot 0{,}5 + 0{,}3 \cdot 0{,}2 + 0{,}3 \cdot 0{,}1 = 0{,}65$.

Suy ra $P\left( {\overline C |B} \right) = \frac{{0{,}24}}{{0{,}65}} \approx 0{,}37$.

a) Đúng. Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Dũng là:

${\bar x_D} = \frac{{3 \cdot 6{,}34 + 7 \cdot 6{,}58 + 5 \cdot 6{,}82 + 20 \cdot 7{,}06 + 5 \cdot 7{,}30}}{{40}} = \frac{{276{,}88}}{{40}} \approx 6{,}92$ (m).

b) Sai. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Dũng là:

$\begin{array}{l}s_D^2 \approx \frac{1}{{40}}\left[ {3 \cdot {{\left( {6{,}34 - 6{,}92} \right)}^2} + 7 \cdot {{\left( {6{,}58 - 6{,}92} \right)}^2} + 5 \cdot {{\left( {6{,}82 - 6{,}92} \right)}^2}} \right.\\\left. { + \,20 \cdot {{\left( {7{,}06 - 6{,}92} \right)}^2} + 5 \cdot {{\left( {7{,}30 - 6{,}92} \right)}^2}} \right] \approx 0{,}07.\end{array}$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${s_D} \approx \sqrt {0{,}07} \approx 0{,}27$ (m).

c) Sai. Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Huy là:

${\bar x_H} = \frac{{2 \cdot 6{,}34 + 5 \cdot 6{,}58 + 8 \cdot 6{,}82 + 19 \cdot 7{,}06 + 6 \cdot 7{,}30}}{{40}} = \frac{{278{,}08}}{{40}} \approx 6{,}95$ (m).

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Huy là:

$s_H^2 = \frac{1}{{40}}\left[ {2 \cdot {{\left( {6{,}34 - 6{,}95} \right)}^2} + 5 \cdot {{\left( {6{,}58 - 6{,}95} \right)}^2}} \right. + 8 \cdot {\left( {6{,}82 - 6{,}95} \right)^2} + 19 \cdot {\left( {7{,}06 - 6{,}95} \right)^2}$

$\left. { + \,6 \cdot {{\left( {7{,}30 - 6{,}95} \right)}^2}} \right] = \frac{{2{,}5288}}{{40}} \approx 0{,}06$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${s_H} \approx \sqrt {0{,}06} \approx 0{,}24$ (m).

d) Sai. Do ${s_H} \approx 0{,}24 < {s_D} \approx 0{,}26$ nên kết quả nhảy xa của vận động viên Huy đồng đều hơn kết quả nhảy xa của vận động viên Dũng.

Số phần tử của không gian mẫu là $9!$.

Ta xếp $6$học sinh lớp 11 thành hàng ngang thì có số cách xếp là $6!$, khi đó tạo thành 7 khe trống để xếp 3 học sinh lớp 12 thì có số cách là $A_7^3$.

Vậy xác suất để xếp ngẫu nhiên $9$ học sinh đó sao cho không có hai học sinh lớp 12 nào đứng cạnh nhau bằng $\frac{6!.{A}_{7}^{3}}{9!}=\frac{5}{12}\Rightarrow a=5;b=12\Rightarrow 2a+b=22$

Đáp án: 22.

Liệt kê và so sánh:

Vậy chi phí thấp nhất của xe giao hàng là $5300$ nghìn đồng.

Đáp án: 5300.

Gọi $X,Y,Z$ tương ứng là các biến cố: Công ty trúng thầu dự án $X,\,Y,\,Z$.

Các biến $X,Y,Z$ độc lập và $P\left( X \right) = a;\,\,P\left( Y \right) = b;\,\,P\left( Z \right) = 0{,}8$.

Theo bài ra ta có: $\left\{ \begin{array}{l}P\left( {X \cup Y \cup Z} \right) = 0{,}964\\P\left( {X \cap Y \cap Z} \right) = 0{,}224\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P\left( {\bar X \cap \bar Y \cap \bar Z} \right) = 0{,}036\\P\left( {X \cap Y \cap Z} \right) = 0{,}224\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P\left( {\bar X} \right)P\left( {\bar Y} \right)P\left( {\bar Z} \right) = 0{,}036\\P\left( X \right)P\left( Y \right)P\left( Z \right) = 0{,}224\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - 0{,}8} \right) = 0{,}036\\0{,}8 \cdot a \cdot b = 0{,}224\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab = 0{,}28\\a + b = 1{,}1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0{,}7\\b = 0{,}4\end{array} \right.$ (do điều kiện $a > b$).

Vậy $2a + b = 1{,}8.$

Gọi $A$ là biến cố: “Đội bóng chuyền của Hà Nội thắng trận thứ 1”.

Gọi $B$ là biến cố: “Đội bóng chuyền của Hà Nội thắng trận thứ 2”.

Ta có $P\left( A \right) = 0{,}6 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0{,}4$.

Nếu đội bóng chuyền của Hà Nội thắng trận trước đó, họ sẽ hưng phấn và xác suất để họ thắng trận thứ hai là $0{,}7$ hay $P\left( {B|A} \right) = 0{,}7$.

Nếu đội bóng chuyền của Hà Nội thua trận trước thì họ sẽ mất tinh thần và xác suất để họ thắng trận thứ hai là $0{,}5$ hay $P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}5$.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có

$P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}7 \cdot 0{,}6 + 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}62$.

Vậy xác suất để đội bóng chuyền Hà Nội thắng trận thứ 2 là $0{,}62$.

Đáp án: 0,62.

Gọi biến cố $A$: “Bạn được chọn là nam” và $B$: “Bạn được chọn tham gia biểu diễn văn nghệ”.

Khi đó, $\overline A$: “Bạn được chọn là nữ” và $\overline B$: “Bạn được chọn tham gia thi đấu thể thao”.

Lớp 12A có $60\%$ số học sinh tham gia thi đấu thể thao và còn lại $40\%$ số học sinh tham gia biểu diễn văn nghệ nên $P\left( B \right) = 0{,}4$ và $P\left( {\overline B } \right) = 0{,}6$.

Các bạn nữ đều tham gia biểu diễn văn nghệ nên $P\left( {B|\overline A } \right) = 1$.

Trong số các bạn nam có $20\%$ tham gia văn nghệ và $80\%$ tham gia thi đấu thể thao nên ta có $P\left( {B|A} \right) = 0{,}2$ và $P\left( {\overline B |A} \right) = 0{,}8$.

Ta có $P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right)P\left( A \right) + P\left( {B|\overline A } \right)P\left( {\overline A } \right)$

$\Leftrightarrow 0{,}4 = 0{,}2\left[ {1 - P\left( {\overline A } \right)} \right] + 1 \cdot P\left( {\overline A } \right) \Leftrightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0{,}25$.

Khi đó, xác suất để chọn ra một học sinh là nữ với điều kiện có tham gia biểu diễn văn nghệ là

$P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {B|\overline A } \right)P\left( {\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( {\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}25}}{{0{,}4}} = 0{,}625 = 62{,}5\%$.

Đáp án: 62,5.

Nhận thấy đồ thị chỉ có 2 đỉnh bậc lẻ (vị trí cửa vào và nhà hát) nên ta có thể tìm được một đường đi Euler từ cửa vào đến nhà hát (đường này đi qua mỗi cạnh đúng một lần).

Ta có một đường đi Euler xuất phát từ cửa vào đến nhà hát như sau: cửa vào → nhà bóng → nhà ăn → nhà mưa → nhà bóng → nhà hát → cửa vào → nhà mưa → nhà hát.

Tổng độ dài của con đường trên là: $140 + 145 + 80 + 60 + 90 + 165 + 80 + 80 = 840$ (m).

Để quay trở lại điểm xuất phát và có đường đi ngắn nhất, ta cần tìm con đường ngắn nhất đi từ nhà hát đến cửa vào, đường đi ngắn nhất là: nhà hát → nhà mưa → cửa vào và đường đi này có độ dài là $80 + 80 = 160$ (m).

Vậy quãng đường ngắn nhất cần tìm có độ dài là: $840 + 160 = 1000$ (m).

Đáp án: 1000.