Đề ôn luyện Toán Chương 2. Nguyên hàm và tích phân (đề số 2)

Ta có $F\left( x \right) = \int {\frac{1}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = } 2\sqrt x + C$. Mà $F\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow C = - 1$. Khi đó $F\left( x \right) = 2\sqrt x - 1$.

Suy ra $F\left( 4 \right) = 4 - 1 = 3$. Chọn D.

Theo tính chất của tích phân, ta có:

$$\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin x + 3\cos x} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2\sin x{\rm{d}}x + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {3\cos x} {\rm{d}}x} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left. {\left( { - 2\cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\left( {3\sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 3 - \left( { - 2} \right) = 5.\end{array}$$

Chọn D.

Dựa vào đồ thị, ta có diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int\limits_0^2 {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left( { - x + 6 - {2^x}} \right){\rm{d}}x}$

$= \left. {\left( { - \frac{{{x^2}}}{2} + 6x - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right)} \right|_0^2 = - 2 + 12 - \frac{4}{{\ln 2}} + \frac{1}{{\ln 2}} = 10 - \frac{3}{{\ln 2}}$. Chọn B.

Diện tích của mặt cắt hình vuông là $S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {3 - {x^2}} \,} \right)^2} = 3 - {x^2}$.

Thể tích của vật thể đã cho là:

$V = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {S\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left( {3 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {3x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } = \left( {2\sqrt 3 + 2\sqrt 3 } \right) = 4\sqrt 3$. Chọn B.

Ta xác định được hình phẳng $D$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt {{x^3} - 3}$ và hai đường $x = 2$ và $x = 3$ tại hình vẽ.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay, ta có:

$V = \pi \int\limits_2^3 {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} = \pi \int\limits_2^3 {{{\left( {\sqrt {{x^3} - 3} } \right)}^2}{\rm{d}}x}$$= \pi \int\limits_2^3 {\left( {{x^3} - 3} \right){\rm{d}}x} = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 3x} \right)} \right|_2^3 = \frac{{53}}{4}\pi$. Chọn B.

a) Sai. Ta có $h\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{dt}} = - 0{,}04{t^3} + 0{,}6{t^2} + C}$.

Tại thời điểm xuất phát $\left( {t = 0} \right)$, độ cao của khinh khí cầu là 520 m nên

$h\left( 0 \right) = 520 \Rightarrow C = 520$.

Vậy $h\left( t \right) = - 0{,}04{t^3} + 0{,}6{t^2} + 520$.

b) Đúng. Tại thời điểm $t = 3$ phút, độ cao của khinh khí cầu là $h\left( 3 \right) = 524{,}32$ m.

c) Đúng. Ta có $h'\left( t \right) = v\left( t \right) = - 0{,}12{t^2} + 1{,}2t$, suy ra $h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 10\end{array} \right.$.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy độ cao tối đa của khinh khí cầu là 540 m.

d) Đúng. Khi trở lại độ cao như lúc xuất phát thì

$h\left( t \right) = 520 \Leftrightarrow - 0{,}04{t^3} + 0{,}6{t^2} + 520 = 520 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 15\end{array} \right.$.

Vậy sau 15 phút thì khinh khí cầu quay trở lại độ cao như lúc đầu.

a) Sai. Ta có $v\left( t \right) = 10 - 5t\, \Rightarrow a\left( t \right) = v'\left( t \right) = - 5$.

b) Đúng. Xe dừng hẳn khi $v\left( t \right) = 10 - 5t\, = 0 \Leftrightarrow t = 2$.

c) Sai. Khoảng thời gian xe đi được sau 0,5 giây từ khi đạp phanh là

$\int\limits_0^{0{,}5} {\left( {10 - 5t} \right)\,} {\rm{d}}t = \frac{{35}}{8} = 4{,}375$ (m).

d) Đúng. Để giữ khoảng cách an toàn, người điều khiển xe máy phải bắt đầu đạp phanh khi cách xe đang dừng phía trước tối thiểu một khoảng $1 + \int\limits_0^2 {\left( {10 - 5t} \right)} \,{\rm{d}}t = 11$ (m).

a) Đúng. Doanh thu sau 12 năm của máy$A$ là

$R\left( {12} \right) = \int\limits_0^{12} {R'\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^{12} {\left( {650 - 3{t^2}} \right){\rm{d}}t}$ (triệu đồng).

b) Đúng. Chi phí vận hành và bảo trì của máy $A$ là $C\left( t \right) = \int {\left( {48 + 12{t^2}} \right){\rm{d}}t}$$= 48t + 4{t^3} + c$.

Chi phí ban đầu là 0, tức là $C\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0$. Do đó, $C\left( t \right) = 48t + 4{t^3}$.

Tổng chi phí trong 6 năm là $C\left( 6 \right) = 48 \cdot 6 + 4 \cdot {6^3} = 1152$ (triệu đồng).

c) Sai. Ta có $R\left( t \right) = \int {\left( {650 - 3{t^2}} \right){\rm{d}}t} = 650t - {t^3} + b$.

Từ lúc máy $A$ bắt đầu hoạt động $\left( {t = 0} \right)$ thì $R\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow b = 0$. Do đó, $R\left( t \right) = 650t - {t^3}$.

Lợi nhuận do máy $A$ tạo ra là $P\left( t \right) = R\left( t \right) - C\left( t \right) = \left( {650t - {t^3}} \right) - \left( {48t + 4{t^3}} \right) = 602t - 5{t^3}$.

Ta có $P'\left( t \right) = 602 - 15{t^2} = 0 \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{602}}{{15}}} \,\,\,\left( {{\rm{do}}\,t \ge 0} \right)$.

Lập bảng biến thiên ta kết luận được lợi nhuận đạt cực đại tại $t = \sqrt {\frac{{602}}{{15}}} \approx 6{,}33$ (năm) và sẽ bắt đầu giảm ngay sau đó nên tuổi thọ hữu ích không thể là 8 năm.

Lưu ý: Ta có thể xác định ngay $P'\left( t \right) = R'\left( t \right) - C'\left( t \right) = 602 - 15{t^2}$ mà không cần xác định $R\left( t \right)$.

d) Sai. Lợi nhuận do máy $A$ tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là

$\int\limits_0^{\sqrt {\frac{{602}}{{15}}} } {\left( { - 15{t^2} + 602} \right){\rm{d}}t}$$\approx 2542{,}5$ (triệu đồng).

a) Sai. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = 4$ là $S = \int\limits_0^4 {\sqrt x \,{\rm{d}}x.}$

b) Đúng. Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2{e^x}$, trục hoành và hai đường thẳng$x = 0,x = 4$ khi quay quanh trục $Ox.$

Khi đó, $V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {2{e^x}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^4 {4{e^{2x}}{\rm{d}}x} = \left. {2\pi {e^{2x}}} \right|_0^4 = 2\pi \left( {{e^8} - 1} \right)$.

c) Sai. Vì $2{e^x} - \sqrt x > 0,\forall x \in \left[ {0;4} \right]$ nên diện tích của hình H là

${S_H} = \int\limits_0^4 {\left| {2{e^x} - \sqrt x } \right|{\rm{d}}x = \int\limits_0^4 {\left( {2{e^x} - \sqrt x } \right){\rm{d}}x} = } \left. {\left( {2{e^x} - \frac{2}{3}x\sqrt x } \right)} \right|_0^4 = 2{e^4} - \frac{{22}}{3}$.

d) Đúng. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi hình H khi quay quanh trục Ox là

$V = \pi \int\limits_0^4 {\left| {{{\left( {2{e^x}} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} \right|{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^4 {\left| {4{e^{2x}} - x} \right|{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^4 {\left( {4{e^{2x}} - x} \right){\rm{d}}x} = \left. {\pi \left( {2{e^{2x}} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4 = 2\pi \left( {{e^8} - 5} \right)$.

Ta có $h\left( t \right) = \int {h'\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{5}\int {{{\left( {t + 3} \right)}^{\frac{1}{3}}}{\rm{d}}t} = \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} + C$.

$h\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} \to h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}}$.

$h\left( t \right) = 2{,}1 \Leftrightarrow \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} = 2{,}1 \Leftrightarrow {\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} \approx 18{,}33 \Rightarrow t \approx 6$.

Vậy sau khi bơm khoảng 6 giờ thì độ sâu của mực nước trong hồ là 2,1 m.

Đáp án: 6.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Xét parabol có đỉnh là gốc tọa độ và đi qua điểm $\left( {2;4} \right)$: Phương trình $\left( P \right)$ có dạng $y = a{x^2}$.

Vì $A\left( {2;4} \right) \in \left( P \right)$ nên $4 = a \cdot {2^2} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow \left( P \right):y = {x^2}$.

Xét $\Delta OAB$ vuông tại $B$, theo định lý Pythagore ta có:

$O{A^2} = A{B^2} + O{B^2} = {4^2} + {2^2} = 16 + 4 = 20 \Rightarrow R = OA = 2\sqrt 5$.

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $O$, bán kính $R = 2\sqrt 5$ là:

${x^2} + {y^2} = 20$$\Rightarrow \left| y \right| = \sqrt {20 - {x^2}}$.

Diện tích phần trồng hoa là: ${S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {20 - {x^2}} - {x^2}} \right)} \,{\rm{d}}x$.

Diện tích trồng cỏ nhung Nhật là: ${S_2} = \frac{{\pi {R^2}}}{2} - {S_1} = 10\pi - {S_1}$.

Tổng chi phí để trồng hoa và trồng cỏ nhung Nhật trong khuôn viên đó là:

$250\,000{S_1} + 150\,000{S_2} = 250\,000{S_1} + 150\,000\left( {10\pi - {S_1}} \right) \approx 5\,906\,351$ (đồng) $\approx 5{,}9$ (triệu đồng).

Vậy chi phí để trồng hoa và trồng cỏ nhung Nhật trong khuôn viên nhà bạn Thùy Dương gần bằng 5,9 triệu đồng.

Đáp án: 5,9.

Chọn hệ trục $Oxy$ sao cho gốc toạ độ $O$ trùng với giao điểm $AB,CD$.

Đường tròn lớn có phương trình: ${x^2} + {y^2} = 25 \Rightarrow y = \pm \sqrt {25 - {x^2}}$.

Ta có $OA = OB = OC = OD = \frac{4}{2} = 2$.

Đường tròn nhỏ có tâm trên trục $Ox$là $\left( {4;0} \right)$ nên có phương trình:

${\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 4 \Rightarrow y = \pm \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}}$.

Ta có: $\sqrt {25 - {x^2}} = \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \Leftrightarrow x = \frac{{37}}{8}$.

Gọi $H$ là phần hình phẳng gạch chéo.

Ta có hình phẳng $H$ giới hạn bởi các đường $y = \sqrt {25 - {x^2}} ,y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} ,y = 0$.

Đặt ${H_1} = \left\{ {y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} ,y = 0,x = 2,x = \frac{{37}}{8}} \right\}$; ${H_2} = \left\{ {y = \sqrt {25 - {x^2}} ,y = 0,x = \frac{{37}}{8},x = 5} \right\}$.

Diện tích của hình ${H_1}$ là ${S_{{H_1}}} = \int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } {\rm{d}}x$.

Diện tích của hình ${H_2}$là ${S_{{H_2}}} = \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} } {\rm{d}}x$.

Khi đó diện tích của hình $H$ là: ${S_H} = \int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } {\rm{d}}x + \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} } {\rm{d}}x$.

Diện tích của đường tròn lớn là: ${S_1} = \pi \cdot {5^2} = 25\pi$.

Diện tích phần sơn 1 mặt của chi tiết máy

$S = 25\pi - 8{S_H} = 25\pi - 8\left( {\int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } {\rm{d}}x + \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} } {\rm{d}}x} \right) \approx 39{,}7\,({\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}) = 0{,}397({{\rm{m}}^{\rm{2}}})$.

Chi phí để sơn hoàn thiện chi tiết máy: $2 \cdot 0{,}397 \cdot 82 \approx 65$ (nghìn đồng).

Đáp án: 65.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có $A\left( {0\,;0} \right)$, $B\left( {8\,;0} \right)$, $K\left( {3\,;0} \right)$.

Tam giác $AMB$ vuông tại $M$, $MK$ là đường cao nên $M{K^2} = AK \cdot KB = 3 \cdot 5 = 15$.

Tam giác $AMK$ vuông tại $K$ nên $AM = \sqrt {M{K^2} + A{K^2}} = \sqrt {15 + 9} = 2\sqrt 6$.

Suy ra $AD = 2\sqrt 6 \Rightarrow D\left( {2\sqrt 6 \,;0} \right)$.

Đường tròn đường kính $AB$ có phương trình ${\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 16$ $\Rightarrow y = \sqrt {8x - {x^2}}$.

Đường tròn tâm $A$ bán kính $AM$ có phương trình ${x^2} + {y^2} = 24$$\Rightarrow {y^2} = 24 - {x^2}$.

Thể tích cần tìm là: $V = \pi \int\limits_3^8 {\left( {8x - {x^2}} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_3^{2\sqrt 6 } {\left( {24 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} \approx 135{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}$.

Đáp án: 135.

Chọn hệ trục $Oxy$ sao cho $O$ là trung điểm của đoạn $AB$, điểm $A$ thuộc tia $Ox$. Suy ra điểm $I$ thuộc trục $Oy$.

Parabol $\left( P \right)$ nằm trên trục hoành có đỉnh là $I$ thuộc trục $Oy$ nên phương trình có dạng: $y = a{x^2} + c$.

Do $\left( P \right)$ đi qua điểm $I\left( {0;5} \right)$ nên $c = 5$.

Do $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( {6;0} \right)$ nên $0 = a \cdot {6^2} + 5 \Rightarrow a = - \frac{5}{{36}}$.

Suy ra $\left( P \right)$: $y = - \frac{5}{{36}}{x^2} + 5$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol:

${S_1} = 2\int\limits_{ - 6}^6 {\left( { - \frac{5}{{36}}{x^2} + 5} \right){\rm{d}}x} = 2\left. {\left( { - \frac{5}{{108}}{x^3} + 5x} \right)} \right|_{ - 6}^6 = 80$.

Diện tích phần lát gạch gốm sứ: ${S_2} = \pi \cdot {6^2} - {S_1} = 36\pi - 80$.

Tổng chi phí: $T = {S_1} \cdot 0{,}3 + {S_2} \cdot 0{,}9$ $= 80 \cdot 0{,}3 + \left( {36\pi - 80} \right) \cdot 0{,}9 \approx 54$ (triệu đồng).

Vậy tổng chi phí để hoàn thành khu vực này là $54$ triệu đồng.

Đáp án: 54.

Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ.

Phần mái của nhà kho là một phần của đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình:

${x^2} + {y^2} + ax + by + c = 0$.

Vì $\left( C \right)$ đi qua các điểm $B\left( { - 5;5} \right),C\left( {5;5} \right),H\left( {0;6} \right)$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}25 + 25 - 5a + 5b + c = 0\\25 + 25 + 5a + 5b + c = 0\\36 + 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5a + 5b + c = - 50\\5a + 5b + c = - 50\\6b + c = - 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 14\\c = - 120\end{array} \right.$.

$\Rightarrow \left( C \right):{x^2} + {y^2} + 14y - 120 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 7} \right)^2} = 169 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \sqrt {169 - {x^2}} - 7\\y = - \sqrt {169 - {x^2}} - 7\end{array} \right.$.

Vậy thể tích không gian bên trong nhà kho là:

$V = S \cdot h = \left[ {\int\limits_{ - 5}^5 {\left( {\sqrt {169 - {x^2}} - 7} \right){\rm{d}}x} } \right] \cdot 40 \approx 2269\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}$.

Đáp án: 2269.