Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2026 (Đề 2)

Ta có .

Do đó, đường thẳng có một vectơ chỉ phương là .

Ta có . Vậy là một vectơ chỉ phương của đường thẳng .

Chọn C.

Mặt cầu có tâm và bán kính nên có phương trình là

:. Chọn A.

Thể tích của một khối trụ có bán kính đáy là và chiều cao bằng là: .

Chọn D.

Đường thẳng đi qua điểm có phương trình là: .

. Chọn B.

Số trung bình của mẫu số liệu đã cho là:

.

Phương sai của mẫu số liệu đã cho là:

.

Chọn D.

Ta có:

. Chọn A.

a) Sai. Hàm số có TXĐ là . Ta có . Khi đó .

b) Đúng. Ta có .

Trên đoạn thì có nghiệm .

Bảng biến thiên:

Do đó hàm số có điểm cực trị thuộc đoạn .

c) Sai. Trên khoảng thì có nghiệm là .

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng .

d) Đúng. Trên đoạn thì có nghiệm là .

Ta có nên giá trị lớn nhất của trên đoạn là .

a) Đúng.

Quãng đường ô tô đi được trong giây với vận tốc là

Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là .

b) Đúng. Ta có vận tốc của ô tô khi bắt đầu tăng tốc là .

Gọi là thời điểm ô tô bắt đầu tăng tốc thì ta có (1).

Ô tô nhập làn sau giây tăng tốc nên ta có quãng đường ô tô đi được từ khi tăng tốc đến khi nhập làn được tính là .

Mà nên ta có . Do đó, .

Vận tốc của ô tô tại thời điểm nhập làn là .

c) Đúng. Trước khi tăng tốc ô tô đi được trong giây đầu.

Sau khi nhập làn ô tô duy trì sự tăng tốc trong giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc nên ta có quãng đường ô tô đi được trong giây đó là .

Sau giây từ khi tăng tốc ô tô duy trì vận tốc cao nhất là nên quãng đường đi được sau giây tiếp theo là .

Vậy quãng đường ô tô đi được trong giây kể từ khi ô tô cách điểm nhập làn là .

d) Sai. Vận tốc cao nhất của ô tô trong giây là nên quãng đường đi được là

Vận tốc của ô tô chuyển động chậm dần đều do đạp phanh là .

Gọi thời điểm ô tô bắt đầu đạp phanh là thì ta có .

Nên ta có .

Khi ô tô dừng hẳn .

Quãng đường ô tô đi được kể từ khi đạp phanh là .

Vậy ô tô dừng cách chướng ngại vật là .

a) Đúng. Từ bài ra, ta có bảng sau:

Phỏng vấn Thực tế	Người xem thật	Người không xem thật
Người trả lời sẽ xem (75)
Người trả lời sẽ không xem (25)

là tập hợp người được phỏng vấn trả lời sẽ xem và xem thật, do đó .

Vậy .

b) Sai. Vì là tập hợp người được phỏng vấn xem thật trận đấu nên , do đó. Vậy tỉ lệ người được phỏng vấn thực sự sẽ xem trận đấu là 65%.

Ngoài ra, ta có thể thực hiện tìm theo công thức xác suất toàn phần như sau:

Theo bài ra ta có: .

Do đó, .

c) Sai. Tổng số người được phỏng vấn thực sự sẽ xem thật trận đấu là người. Số người trả lời không xem khi được phỏng vấn là người.

Tỉ lệ người trả lời không xem khi được phỏng vấn trong số những người thực sự xem trận đấu là .

d) Đúng. Tỉ lệ người phỏng vấn thực sự sẽ không xem trận đấu trong số những người mặc áo đội bóng là .

a) Đúng. Ta có

Xét đường thẳng đi qua điểm có vectơ chỉ phương .

Phương trình đường thẳng

Gọi điểm là hình chiếu vuông góc của điểm trên . Ta có .

.

Do đó, . Thiên thạch gần Trái Đất nhất khi thiên thạch đi qua .

Khoảng cách gần nhất của thiên thạch với Trái Đất là:

b) Sai. Từ vị trí thiên thạch đổi hướng lao xuống Trái Đất theo phương thẳng thì tại vị trí phương thẳng tiếp xúc với Trái Đất (phương thẳng là tiếp tuyến với Trái Đất) quãng đường dài nhất thiên thạch có thể va chạm với Trái Đất bằng quãng đường .

Ta có tam giác vuông tại , có .

Khi đó, .

Nên quãng đường dài nhất xấp xỉ bằng: .

c) Sai.

Ta có mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là .

Do đó các vệ tinh nằm trong mặt phẳng và nằm quay quanh các đường tròn tâm có bán kính lần lượt là .

Khoảng cách giữa hai vệ tinh lớn nhất khi nằm giữa và .

Khoảng cách xa nhất của 2 vệ tinh có thể đạt được là:

.

d) Đúng. Để thiên thạch và vệ tinh va chạm vào nhau thì chúng va chạm tại điểm là giao của và mặt phẳng vì vệ tinh di chuyển trên mặt phẳng

Ta có .

Thời gian để thiên thạch đi hết quãng đường là: .

Ta có là trung điểm của . Nên quãng đường vệ tinh di chuyển từ đến bằng nửa chu vi đường tròn bán kính và bằng: .

Thời gian để vệ tinh di chuyển từ đến : .

Suy ra do đó thiên thạch và vệ tinh va chạm với nhau.

Đáp án: .

Gọi là điểm đối xứng với qua .

Khi đó ta có .

Dựng , dựng .

Khi đó

.

Ta có nên tam giác vuông tại , do đó .

Mà là trung điểm của nên là đường trung bình của tam giác .

Do đó, . Mặt khác

Khi đó .

Đáp án: 26.

Bán kính đáy cốc

Để uống được nước con quạ phải thả các viên bi vào cốc sao cho mực nước trong cốc dâng lên ít nhất

Thể tích mực nước cần dâng lên:

Thể tích 1 viên sỏi hình cầu:

Ta có Vậy để uống được nước thì con quạ cần thả ít nhất 26 viên sỏi.

Đáp án: .

Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì thiết diện là tam giác đều cạnh .

Khi đó diện tích thiết diện là: .

Suy ra thể tích của vật thể đó là: .

Đáp án: 253.

Ta có chi phí ;

.

Ta có lợi nhuận thu được tính như sau:

* Xét trường hợp khi :

.

BBT:

* Xét trường hợp khi :

.

BBT:

Vì số sản phẩm sản xuất được là số tự nhiên, từ BBT trên ta so sánh và .

Ta có: và .

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất 253 sản phẩm thì lợi nhuận là lớn nhất.

Đáp án: .

Mặt cầu có tâm và bán kính .

Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là: .

Giả sử .

Gọi là đường thẳng qua và song song với . Suy ra .

Gọi là mặt trụ có trục và bán kính ; là mặt phẳng qua vuông góc với cắt theo thiết diện là đường tròn . Khi đó tiếp xúc với .

Ta có .

Vậy khoảng cách lớn nhất từ điểm đến mặt phẳng bằng .

Đáp án: 20.

Gọi là biến cố: “Hai viên bi chuyển từ hộp I sang hộp II là bi trắng”,

là biến cố: “Hai viên bi chuyển từ hộp I sang hộp II là bi đỏ”,

là biến cố: “Hai viên bi chuyển từ hộp I sang hộp II có 1 bi trắng và 1 bi đỏ”.

Ba biến cố tạo thành một hệ đầy đủ.

Ta có: .

Gọi là biến cố: “Viên bi lấy ra từ hộp II là bi trắng”.

Ta có: .

Cần tính xác suất . Theo công thức Bayes, ta có:

Thay số ta được: