Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 32

1) Tần số ghép nhóm $\left[ {30;40} \right)$ là 27

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {30;40} \right)$ là:

$\frac{{27.100}}{{60}}\% = 45\%$

1) Không gian mẫu của phép thử là: $\Omega = \left\{ {AC;AD;AE;BC;BD;BE} \right\}$

Không gian mẫu có 6 phần tử.

Các kết quả của phép thử là đồng khả năng.

+ Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố X là $AC;AD;AE$ . Xác suất của biến cố X là $P\left( X \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

1) Với $x = 25$ ( thỏa mãn điều kiện) suy ra $A = \frac{{\sqrt {25} + 1}}{{\sqrt {25} - 2}} = \frac{6}{3} = 2$.

Vậy $x = 25$ thì $A = 2$

2) Thu gọn biểu thức

$B = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + \sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{x - 4 + \sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{x + 4\sqrt x - 3\sqrt x - 12}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 2}}$

Vậy $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$ thì $B = \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 2}}$

3) Ta có: $B < A \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 2}} < \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}$

$\Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} < 0$

$\Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x - 2}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x < 2 \Leftrightarrow x < 4$

Kết hợp điều kiện suy ra $0 \le x < 4$. Mà $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$.

Vậy $x \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$ thì $B < A$

Gọi $x$ (triệu đồng), $y$ (triệu đồng) lần lượt là số tiền mà cửa hàng đã vay từ ngân hàng A và B $\left( {x > 0,y > 0} \right)$.

Cừa hàng đã vay tổng 600 triệu đồng nên: $x + y = 600$

Vì lãi suất của hai ngân hàng A và B lần lượt là $8\%$/năm và $9\%$/năm, tổng tiền lãi một năm phải trả cho cả hai ngân hàng là 50 triệu đồng nên: $8\% .x + 9\% .y = 50$ hay $8x + 9y = 5000$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\8x + 9y = 5000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$

Từ phương trình $(1)$ta có: $y = 600 - x$.

Thế $y = 600 - x$ vào phương trình $(2)$ta được: $8x + 9.(600 - x) = 5000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$

Giải phương trình $(3)$:

$$\begin{array}{l}8x + 9.(600 - x) = 5000\\8x + 5400 - 9x\,\,\,\, = 5000\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - x = - 400\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 400\end{array}$$

Ta thấy $x = 400$ thỏa mãn $x > 0$

Thay $x = 400$ vào phương trình $y = 600 - x$, ta có: $y = 600 - 400 = 200$(thỏa mãn $y > 0$)

Vậy số tiền của hàng đã vay từ ngân hàng A và B lần lượt là 400 triệu đồng và 200 triệu đồng.

Gọi số sản phẩm dự kiến làm trong mỗi ngày là $x$ (sản phẩm).

Điều kiện: $x > 0$.

Thời gian dự kiến là $\frac{{600}}{x}$ (ngày).

Thời gian làm 400 sản phẩm đầu là $\frac{{400}}{x}$ (ngày).

Thời gian làm 600 - 400 = 200 sản phẩm sau là $\frac{{200}}{{x + 10}}$ (ngày).

Vì thực tế công việc hoàn thành sớm hơn dự kiến 1 ngày nên ta có phương trình:

$$\frac{{600}}{x} - \left( {\frac{{400}}{x} + \frac{{200}}{{x + 10}}} \right) = 1$$

$$\frac{{200}}{x} - \frac{{200}}{{x + 10}} = 1$$

$$\frac{{200(x + 10) - 200x}}{{x(x + 10)}} = 1$$

$${x^2} + 10x - 2000 = 0$$

$${x^2} + 10x + 25 - 2025 = 0$$

$${(x + 5)^2} = 2025.$$

${x_1} = 40$( thỏa mãn), ${x_2} = - 50$ (loại).

Vậy số sản phẩm dự kiến làm trong mỗi ngày là 40 (sản phẩm).

Phương trình ${x^2} - 4\sqrt 3 x + 8 = 0$

$\Delta ' = {(2\sqrt 3 )^2} - 8 = 4 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm x1; x2

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: ${x_1} + {x_2} = 4\sqrt 3$ và ${x_1}{x_2} = 8$

Ta có: ${\rm{Q}} = {x_1}^3 + {x_2}^3$

${\rm{Q}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right)$

${\rm{Q}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 - 3{x_1}{x_2}} \right)$

$${\rm{Q}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]$$

$${\rm{Q}} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$$

Thay ${x_1} + {x_2} = 4\sqrt 3$ và ${x_1}{x_2} = 8$ vào ${\rm{Q}}$ta được:

$${\rm{Q}} = {\left( {4\sqrt 3 } \right)^3} - 3.8.4\sqrt 3 = 96\sqrt 3$$

Thể tích thân tên lửa chính là thể tích hình trụ có bán kính đáy$\;R = \frac{6}{2} = 3\;(cm)$ và chiều cao $h = 9\;(cm)$ nên ${V_1} = \pi {R^2}h = \pi {.3^2}.9 = 81\pi (c{m^3})$

-Thể tích đầu tên lửa chính là thể tích của hình nón có bán kính đấy$\;R = \frac{6}{2} = 3\;(cm)$ và chiều cao $h = 5\;(cm)$ nên ${V_2} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.3^2}.5 = 15\pi \;(c{m^3})$

- Thể tích của mô hình tên lửa là : $V = {V_1} + {V_2} = 81\pi + 15\pi = 96\pi \;(c{m^3})$

a) Vẽ đúng hình đến ý 1)

$BE \bot AC$⇒ $\widehat {BEC} = {90^0}$

$CF \bot AB$ ⇒ $\widehat {CFB} = {90^0}$

⇒ Tứ giác $BFEC$ là tứ giác nội tiếp

⇒ $\Delta AEF$ đồng dạng $\Delta ABC.$

b) Chứng minh đường thẳng $OA$ vuông góc với đường thẳng

Tứ giác BCEF nội tiếp ⇒ $\widehat {AEF} = \widehat {ABC}$

$\Delta OAC$ cân tại O ⇒ $\widehat {EAO} = \frac{{{{180}^0} - \widehat {AOC}}}{2}$

$\widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} \Rightarrow \frac{{{{180}^0} - \widehat {AOC}}}{2} = {90^0} - \widehat {ABC}$

⇒ $\widehat {AEF} + \widehat {EAO} = {90^0}$⇒ $AO \bot EF$

c) Chứng minh tứ giác $AFHI$ nội tiếp và $I,\;J,\;K$ thẳng hàng.

Chứng minh ${\rm{\Delta }}AMN$ cân tại$A$ vì$\widehat {AMN} = \widehat {MBH} + \widehat {MHB} = \widehat {NCH} + \widehat {NHC} = \widehat {ANM}$ ⇒ $AI \bot MN$

$\widehat {AFH} = \widehat {AIH} = {90^0}$ ⇒ Tứ giác $AFHI$ là tứ giác nội tiếp.

Có $\widehat {MAH} = \widehat {NAO} \Rightarrow \widehat {IAH} = \widehat {IAO} \Rightarrow IJ||AO$ suy ra $IJ$trung trực $EF$

Có $JE = JF,KE = KF \Rightarrow \;$ $KI\;$ trung trực $EF$ ⇒ $I,\;J,\;K$ thẳng hàng.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\sqrt 2 \sqrt {a + 1} \le \frac{{2 + a + 1}}{2} \le \frac{{3 + \frac{{{a^2} + 1}}{2}}}{2}$, dấu bằng xảy ra khi $a = 1$

Chứng minh tương tự suy ra $P \le 2\sqrt 2 ,$ đẳng thức xảy ra khi $a = b = 1.$

Do đó, $a\left( {\sqrt 2 - a} \right) + b\left( {\sqrt 2 - b} \right) \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2$

Ta có: $\sqrt {a + 1} + \sqrt {b + 1} \ge 1 + \sqrt {a + b + 1} \ge 1 + \sqrt {\sqrt 2 + 1}$,

Vậy GTLN của $P$ là $2\sqrt 2$ khi $a = b = 1.$

đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \sqrt 2 \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 2 \\b = 0\end{array} \right..$

Vậy GTLN của $P$ là$1 + \sqrt {\sqrt 2 + 1}$ khi$\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \sqrt 2 \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 2 \\b = 0\end{array} \right..$